《數(shù)學(xué)分析》中極限問題的淺析

齊齊哈爾大學(xué)成人高等教育畢業(yè)設(shè)計（論文）用紙PAGEPAGE11《數(shù)學(xué)分析》中極限問題的淺析極限理論是數(shù)學(xué)分析這門學(xué)科的基礎(chǔ)，極限方法是數(shù)學(xué)分析的基本方法，通過極限思想、借助極限工具使數(shù)學(xué)分析內(nèi)容更加嚴(yán)謹(jǐn)，可以說，極限貫穿整個數(shù)學(xué)分析的始末，學(xué)好極限十分重要。完整的極限理論的建立，依賴于實數(shù)的基本性質(zhì)，即實數(shù)系的所謂連續(xù)性，我們已經(jīng)熟悉的單調(diào)有界原理，就是連續(xù)性的一個等價命題。極限問題類型很多，變化復(fù)雜，解決極限問題在數(shù)學(xué)分析中更顯得尤為重要。這里舉一些比較典型的實例，希望從中歸納出解決極限問題的方法。下面舉例說明求解極限問題的若干方法，其主要是根據(jù)極限的定義、運算法則和性質(zhì)、定理，以及數(shù)學(xué)上的其他知識和技巧。一求數(shù)列極限（一）利用迫斂性定理求極限首先說明迫斂性定理[1]求極限，這是一種簡單而常用的方法。limlim例1、證明（1）(a>0)limlim（2） 證明：（1）當(dāng)a=1時，等式顯然成立。(hn(hn>0)當(dāng)a>1時，令 則：a=(1+hn)n=1+nhn+由迫斂性定理由迫斂性定理故0<hn<limlim hn=0limlimlimlim即：(1+hn)=1limlim1lim=1當(dāng)0<alimlim1lim=1其中hn>0其中hn>0n=(1+hn)n=1+nhn+即：0<hn即：0<hn<>limlim 由迫斂性定理得hn=0(1+hn)=1limlim(1+hn)=1limlim從而：limlim例：求極限令令即：en由迫斂性定理可得：limlim從而：由連續(xù)函數(shù)定義知：limlim極限定義是判定極限是某個數(shù)的充要條件，因此有時要用到它的否定形式[2]，現(xiàn)敘述如下：（二）單調(diào)有界原理求極限單調(diào)有界原理是判定極限存在的重要法則，雖然它不能判定極限是什么數(shù)，但許多問題當(dāng)斷定極限存在時，極限值是不難求出的。例：單調(diào)數(shù)列收斂于a的充要條件是存在子列使得a證：不妨設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增數(shù)列，必要性顯然。a則：充分性：若則：對任意的，存在k0，當(dāng)k≥k0時：1Xnka1=aXnk< 當(dāng)n≥nk時：有此即為： 例：設(shè)lim收斂，并求求證lim收斂，并求求證xn xnlimlim證：當(dāng)x0=0時顯然xn=0(n=1.2.…)故：xn=0 …… 故可得：故xn是單調(diào)有上界的函數(shù)，從而收斂。limlim記a=xn由于又由于方程lim從而 lim從而所以limlim當(dāng)例：設(shè)a>0,xn(n=1、2、……)為由以下各式：(n=0、1、2，……(n=0、1、2，……)x0>0,limlim所確定的數(shù)列，求證證：由假設(shè)x0>0,又由算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間的關(guān)系得：（n=1、2、……）（n=1、2、……） （n=1、2、……（n=1、2、……） limlim 由單調(diào)有界原理，則：將 lim lim從上面幾個例子中看出，在某些數(shù)列的極限問題中，由數(shù)列各項間的遞推關(guān)系，由單調(diào)有界定理可以比較巧妙地證明極限的存在。并計算出極限。（三）柯西收斂準(zhǔn)則求極限下面舉例說明柯西收斂準(zhǔn)則[4]的應(yīng)用。 證明數(shù)列xn是收斂的。證明：（n=1、2……（n=1、2……） （n=1、2……（n=1、2……） 可歸納得到： 對任意的m>n, 故：xn是柯西數(shù)列，從而它是收斂的。 例：判斷數(shù)列 解：設(shè)m>n, 這時：10m-n=10n+1>2(N+1) 由柯西收斂準(zhǔn)則，知數(shù)列an發(fā)散?？挛魇諗繙?zhǔn)則在證明極限的存在性上有很重要的意義，在此，給出柯西收斂準(zhǔn)則的否定形式，便于應(yīng)用?？挛魇諗繙?zhǔn)則否定形式：有正整數(shù)mN,nN存在，盡管mN,nN>N,（四）定積分求極限由于定積分[5]是積分和的極限，故此，某些和式問題可以化為定積分的計算，使運算得以完成。在這里，僅舉幾例，來說明這種求極限的方法。 （n等分.取右端點）。在運用這一方法時，要巧妙轉(zhuǎn)化，找出其積分原型，并發(fā)現(xiàn)其積分區(qū)間，（一般為[0，1]），恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，可使問題簡化。（五）施篤茲定理求極限定理[6]，下面給出定理和它的兩個難論：定理：（stolz定理） 1)存在N0為自然數(shù)，當(dāng)n>N0時，yn+1>yn. 解：由stolz定理： 從而從而 二、求函數(shù)極限在前面，我們主要針對數(shù)列極限的求解作了詳細(xì)地論述，接下來，我們來看一下函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系。一般函數(shù)的極限可以歸結(jié)為數(shù)列的極限。（一）羅畢塔法則求極限（二）利用兩個重要極限求極限在函數(shù)極限的證明和計算中，除可以用以上各種方法外還可用其他方法。如利用兩個重要極限，進行計算：（三）求分段函數(shù)的極限 對于分段函數(shù)[9]的極限，在討論此類極限的存在時，要先求出分段點處的左右極限，再由此進行判斷該點的極限是否存在。 在本文的最后，給出函數(shù)極限的施篤茲定理：設(shè)T為正常數(shù)，若函數(shù) 滿足：(1)g(x+T)>g(x) (2)求極限在數(shù)學(xué)中是一重要問題和研究工具。其在幾何學(xué)和生活中都有重要應(yīng)用。本文在確定了論題之后，圍繞著論題作了大量細(xì)致深入的調(diào)研，對極限中的數(shù)列極限和函數(shù)極限進行了深入的研究，綜合的討論了求極限問題的方法。致謝在畢業(yè)論文的書寫過程中，我的指導(dǎo)教師王洪老師對論文題目的選擇，論題的調(diào)研、定稿提出了許多指導(dǎo)性建議，付出了辛勤的勞動，幫助我完成了畢業(yè)論文。在此對導(dǎo)師所作的工作表示衷心的感謝。同時，在畢業(yè)論文的書寫過程中，借鑒了許多前輩的著作和科研成果，在此一并表示感謝。參考文獻1．劉廣云數(shù)學(xué)分析選講黑龍江教育出版社20012．?dāng)?shù)學(xué)分析華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等教育出版社19993．周忠群數(shù)學(xué)分析方法選講西南師大出版社19904．王仲春何平劉夫孔極限的基本理論與方法甘肅人民出版社5．翟連林姚正安數(shù)學(xué)分析方法論北京農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社19926．王向東數(shù)學(xué)分析的概念與方法上?？茖W(xué)技術(shù)文獻出版社19897．周家云劉一鳴解際太數(shù)學(xué)分析的方法山東教育出版社19918．