經(jīng)濟數(shù)學基礎作業(yè)講評

《經(jīng)濟數(shù)學基礎》課程作業(yè)（一）講評（一）填空題1．正確答案：1可能出現(xiàn)的錯誤：答案為0，分析：同學是將視為第一個重要極限。的確，形式上很象第一個重要極限，但是，仔細注意一下，第一個重要極限是，它們的自變量的變化趨勢不同，而是無窮小量乘以有界變量，故，正確解法：。2．，則。正確答案：或可能出現(xiàn)的錯誤：答案為，或。分析：這個題目是求函數(shù)值的問題，解法應是將中的換之以，而，因為。正確解法：。3．設，若在處連續(xù)，則_________。正確答案：1可能出現(xiàn)的錯誤：答案為，或或不清楚。分析：二、單項選擇題1．當時，下列變量是無窮小量的有（）A．B．C．D．正確答案：C分析：根據(jù)無窮小量的定義進行判別。關于A，不是無窮小量；關于B，不是無窮小量；關于C，是無窮小量；關于D，不是無窮小量。2．下列極限計算正確的是（）A．B．C．D．正確答案：B分析：A和B選項中的函數(shù)是分段函數(shù)，且是分段點，應考慮左、右極限，且左極限，右極限，所以不存在。關于C和D選項，應考慮第2個重要極限的擴展形式，即關于A不存在；關于B，正確；關于C的錯誤在于它不是第2個重要極限的擴展形式，因此也就不能得到第2個重要極限的結(jié)果，此極限式在時極限式正確，即；關于D正確解法是：。3．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）A．B．C．D．正確答案：D分析：根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論，“初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的”進行判別。因為函數(shù)是初等函數(shù)，所以其定義區(qū)間就是連續(xù)區(qū)間。又函數(shù)的定義域為，所以B選項正確。4．若，則（）。A．B．C．D．正確選項：D分析：此題要求？但是并沒有告訴我們，已知條件是，因此，先要求出，再求其導數(shù)。正確解答：因為，所以，于是，正確選項為D。5．設，則（）A．B．C．1D．4正確選項：D分析：極限式是在處導數(shù)的定義式，即又因為，則，，所以正確選項為D。注意，函數(shù)在某點處的導數(shù)一定是一個數(shù)值，而不是函數(shù)，所以不能選擇A。(三)解答題1．計算極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．設函數(shù)，問：（1）當為何值時，在處有極限存在？（2）當為何值時，在處連續(xù).答案：（1）當，任意時，在處有極限存在；（2）當時，在處連續(xù)。3．計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分：（1），求答案：（2），求答案：（3），求答案：（4），求答案：（5），求答案：（6），求答案：（7），求答案：（8），求答案：（9），求答案：（10），求答案：4.下列各方程中是的隱函數(shù)，試求或（1），求答案：（2），求答案：5．求下列函數(shù)的二階導數(shù)：（1），求答案：（2），求及答案：，經(jīng)濟數(shù)學基礎形成性考核冊作業(yè)（二）評講（一）填空題1.若，則.答案：2..答案：3.若，則.答案：4.設函數(shù).答案：05.若，則.答案：（二）單項選擇題1.下列函數(shù)中，（）是xsinx2的原函數(shù)．A．cosx2B．2cosx2C．-2cosx2D．-cosx2答案：D2.下列等式成立的是（）．A． B． C． D．答案：C3.下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（）．A．，B．C．D．答案：C4.下列定積分計算正確的是（）．A．B．C．D．答案：D5.下列無窮積分中收斂的是（）．A．B．C．D．答案：B(三)解答題：1.計算下列不定積分本類題考核的知識點是不定積分的計算方法。常用的積分方法有：⑴運用積分基本公式直接積分；⑵第一換元積分法(湊微分法)；⑶分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘。（1）正確答案：分析：采用第一換元積分法(湊微分法)，將被積函數(shù)變形為，利用積分公式求解，這里.，正確解法：==.（利用對數(shù)的性質(zhì)，可能出現(xiàn)的錯誤：①不能將被積函數(shù)看成為，因此不知用什么公式求積分；②；③用錯公式，.（2）正確答案：分析：將被積函數(shù)變形為，利用基本積分公式直接求解，.正確解法：===可能出現(xiàn)的錯誤：①不能將被積函數(shù)變形為，因此不知用什么公式求積分；②公式記錯，例如，=.（3）正確答案：分析：將被積函數(shù)化簡為()，利用積分運算法則和基本積分公式求解。正確解法：原式=（4）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)?)，利用湊微分方法將原積分變形為，再由基本積分公式進行直接積分。正確解法：原式=（5）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)?，利用湊微分方法將原積分變形為，.再由基本積分公式進行直接積分。正確解法：（6）正確答案：分析：將積分變量變?yōu)?，利用湊微分方法將原積分變形為，再由基本積分公式進行直接積分。正確解法：原式=（7）正確答案：分析：這是冪函數(shù)與正弦函數(shù)相乘的積分類型，所以考慮用分部積分法。正確解法：設，則，所以根據(jù)不定積分的分部積分法：原式=（8）正確答案：分析：這是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型。同上，可考慮用分部積分法。正確解法：設，則，所以根據(jù)不定積分的分部積分法：原式==2.計算下列定積分本類題考核的知識點是定積分的計算方法。常用的積分方法有：⑴運用積分基本公式直接積分；⑵第一換元積分法(湊微分法)；需要注意的是，定積分換元，一定要換上、下限，然后直接計算其值(不要還原成原變量的函數(shù)。)⑶分部積分法，主要掌握被積函數(shù)是以下類型的不定積分：①冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘；②冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘；③冪函數(shù)與正(余)弦函數(shù)相乘。（1）正確答案：分析：將絕對值符號打開，把原積分分成兩段，然后用積分基本公式直接求解。正確解法：原式==（2）正確答案：分析：采用湊微分法，將原積分變量為：，再用基本積分公式求解。正確解法：原式=（3）正確答案：2分析：采用湊微分法，將原積分變量為：，再用基本積分公式求解。正確解法：原式=（4）正確答案：分析：本題為冪函數(shù)與余弦函數(shù)相乘的積分類型。可考慮用分部積分法。正確解法：設，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=（5）正確答案：分析：本題為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘的積分類型?？煽紤]用分部積分法。正確解法：解：設，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=（6）正確答案：分析：先用積分的運算法則，將被積函數(shù)拆成兩個函數(shù)的積分，其中第一個積分用基本積分公式求解，第二個積分為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積分類型，考慮用分部積分法。正確解法：原式=設，則，所以根據(jù)定積分的分部積分法：原式=經(jīng)濟數(shù)學基礎形成性考核冊作業(yè)（三）評講（一）填空題1.設矩陣，則的元素3.2.設均為3階矩陣，且，則=.3.設均為階矩陣，則等式成立的充分必要條件是.4.設均為階矩陣，可逆，則矩陣的解.5.設矩陣，則.（二）單項選擇題1.以下結(jié)論或等式正確的是（C）．A．若均為零矩陣，則有B．若，且，則C．對角矩陣是對稱矩陣D．若，則2.設為矩陣，為矩陣，且乘積矩陣有意義，則為（A）矩陣．A． B．C． D．3.設均為階可逆矩陣，則下列等式成立的是（C）．A．，B．C．D．4.下列矩陣可逆的是（A）．A．B．C．D．5.矩陣的秩是（B）．A．0B．1C．2D三、解答題1．計算本題考核的知識點是矩陣的乘法運算。（1）分析：根據(jù)矩陣乘法運算的定義，采用“行乘列”計算。計算中注意行乘列后的位置排列。解：原式=（2）分析：同上。解：原式=（3）分析：同上。解：原式=注：這是矩陣，不是數(shù)02．計算分析：本題考核的知識點是矩陣的加法、減法和乘法的混合運算。解：原式==3．設矩陣，求。分析：本題考核的知識點是矩陣的乘法和行列式的計算。注意矩陣與行列式的區(qū)別。解：=4．設矩陣，確定的值，使最小。分析：本題考核的知識點是對矩陣的秩的概念的掌握和矩陣的初等行變換。其中對參數(shù)的的確定解題的關鍵。解：所以當時，秩最小為2。5．求矩陣的秩。分析：本題考核的知識點是對矩陣的秩的概念的掌握和矩陣的初等行變換。即將矩陣通過初等行變換，將矩陣化為階梯形矩陣，看其非零行的個數(shù)來確定矩陣的秩。解：所以秩=26．求下列矩陣的逆矩陣：分析：本題考核的知識點是對矩陣的逆矩陣的概念的掌握和矩陣的初等行變換。（1）解：所以。（2）A=．解：所以。7．設矩陣，求解矩陣方程．分析：本題是通過求逆矩陣和矩陣相乘來求解矩陣方程的。因此，重點還是求逆矩陣。解：四、證明題1．試證：若都與可交換，則，也與可交換。證明：∵，∴即，也與可交換。2．試證：對于任意方陣，，是對稱矩陣。證明：∵∴，是對稱矩陣。3．設均為階對稱矩陣，則對稱的充分必要條件是：。證明：充分性∵，，∴必要性∵，，∴即為對稱矩陣。4．設為階對稱矩陣，為階可逆矩陣，且，證明是對稱矩陣。證明：∵，∴即是對稱矩陣。經(jīng)濟數(shù)學基礎形成性考核冊作業(yè)（四）評講（一）填空題1.函數(shù)的定義域為.2.函數(shù)的駐點是，極值點是，它是極小值點.3.設某商品的需求函數(shù)為，則需求彈性.4.行列式4.5.設線性方程組，且，則時，方程組有唯一解.（二）單項選擇題1.下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（B ）．A．sinxB．exC．x2 D．3-x2.設，則（C）．A．B．C．D．3.下列積分計算正確的是（A）．A．B．C．D．4.設線性方程組有無窮多解的充分必要條件是（D）．A．B．C．D．5.設線性方程組，則方程組有解的充分必要條件是（C）．A．B．C．D．三、解答題1．求解下列可分離變量的微分方程：(1)解：原方程變形為：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：（2）解：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：2.求解下列一階線性微分方程：（1）解：原方程的通解為：*（2）解：原方程的通解為：3.求解下列微分方程的初值問題：(1),解：原方程變形為：分離變量得：兩邊積分得：原方程的通解為：將代入上式得：則原方程的特解為：(2),解：原方程變形為：原方程的通解為：將代入上式得：則原方程的特解為：4.求解下列線性方程組的一般解：（1）解：原方程的系數(shù)矩陣變形過程為：由于秩()=2<n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為：（其中為自由未知量）。（2）解：原方程的增廣矩陣變形過程為：由于秩()=2<n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為：（其中為自由未知量）。5.當為何值時，線性方程組有解，并求一般解。解：原方程的增廣矩陣變形過程為：所以當時，秩()=2<n=4，原方程有無窮多解，其一般解為：6．為何值時，方程組有唯一解、無窮多解或無解。解：原方程的增廣矩陣變形過程為：討論：（1）當為實數(shù)時，秩()=3=n=4，方程組有唯一解；（2）當時，秩()=2<n=4，方程組有無窮多解；（3）當時，秩()=3≠秩()=2，方程組無解；7．求解下列經(jīng)濟應用問題：（1）設生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,求：①當時的總成本、平均成本和邊際成本；②當產(chǎn)量為多少時，平均成本最小？解：①∵平均成本函數(shù)為：（萬元/個）邊際成本為：∴當時的總成本、平均成本和邊際成本分別為：（萬元/個）（萬元/個）②由平均成本函數(shù)求導得：令得駐點（個），（舍去）由實際問題可知，當產(chǎn)量為20個時，平均成本最小。（2）.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件時的總成本函數(shù)為（元），單位銷售價格為（元/件），問產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？最大利潤是多少？解：①收入函數(shù)為：（元）②利潤函數(shù)為：（元）③求利潤函數(shù)的導數(shù)：④令得駐點（件）⑤由實際問題可知，當產(chǎn)量為件時可使利潤達到最大，最大利潤為（元）。（3）投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為(萬元/百臺)．試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低．解：①產(chǎn)量由