實際問題與與二次函數(shù)

PAGE《實際問題與與二次函數(shù)》練習(xí)1.某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？2.（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）當(dāng)每件商品的售價高于60元時，定價為多少元使得每個月的利潤恰為2250元？3.某公司經(jīng)銷一種綠茶，每千克成本為50元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)在一段時間內(nèi)，銷售量w（千克）隨銷售單價x（元/千克）的變化而變化，具體關(guān)系式為：w=﹣2x+240．（1）請寫出這種綠茶在這段時間內(nèi)的銷售利潤y(元)與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)銷售單價x（元/千克）定為多少時能使銷售利潤最大？最大利潤是多少？（3）如果物價部門規(guī)定這種綠茶的銷售單價不得高于90元/千克，公司想要在這段時間內(nèi)獲得2250元的銷售利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？

4.施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道(正中間是一條寬1米的隔離帶)，其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高5米的特種車輛？請通過計算說明；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上。B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下.DyDyPxOMABC圖25.某汽車城銷售某種型號的汽車，每輛進價為25萬元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價為29萬元時，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售價每降低0.5萬元時，平均每周能多售出4輛，如果設(shè)每輛汽車降價萬元，平均每周的銷售利潤為萬元。（1）（2）銷售部經(jīng)理說通過降價促銷，可以使每周最大利潤突破50萬元，他的說法對嗎？（3）要使每周的銷售利潤不低于48萬元，那么銷售單價應(yīng)該定在哪個范圍內(nèi)？

6.星光中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成。已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米。（1）若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；（3）當(dāng)這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍。7.如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的解析式；（2）已知從某時刻開始的40小時內(nèi)，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數(shù)關(guān)系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當(dāng)水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行？

8.要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根2.25m的水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m．（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐標(biāo)為（0，2.25），水柱的最高點的坐標(biāo)為（1，3），求出此坐標(biāo)系中拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝排水地漏，相鄰軌道之間的寬度為0.3m，最內(nèi)軌道的半徑為m，其上每0.3m的弧長上安裝一個地漏，其它軌道上的個數(shù)相同，水柱落地處為最外軌道，其上不安裝地漏．求當(dāng)為多少時池中安裝的地漏的個數(shù)最多？9.某外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克收購了2000千克香菇存放入冷庫中．據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售．（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出自變量x的范圍）．（2）李經(jīng)理想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（利潤＝銷售總金額－收購成本－各種費用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

10.如圖1，一座拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．（1）如圖2，將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中，求該拋物線的解析式（不需要寫出自變量x的取值范圍）；（2）求支柱EF的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說明你的理由．11.某小區(qū)為了改善居住環(huán)境，準(zhǔn)備修建一個矩形花園ABCD，為了節(jié)約材料并種植不同類花，決定花園一邊靠墻，三邊用柵欄圍住，中間用一段垂直于墻的柵欄隔成兩塊，已知所用柵欄的總長為60米，墻長為30米（如圖），設(shè)花園垂直于墻的一邊的長為x米。（1）若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，這個矩形花園的面積最大？最大值是多少？（柵欄占地面積忽略不計）；（3）當(dāng)這個花園的面積不小288平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍。AABCD30m

12.某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件．設(shè)每件商品的售價為x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）當(dāng)售價的范圍是多少時，使得每件商品的利潤率不超過80%且每個月的利潤不低于2250元？13.某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓(xùn)練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）.在跳某個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最高處距水面米，入水處距池邊的距離為4米，運動員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會出現(xiàn)失誤．（1）求這條拋物線的解析式；O（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中完成規(guī)定的翻騰動作并調(diào)整好入水姿勢時，距池邊的水平距離為米，問此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由．O

14（1）若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？（2）若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根據(jù)（1）、（2），該方案是否具有實施價值？15.某科技開發(fā)公司研制出一種新型的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元．（1）商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？（2）設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲得的利潤反而減少這一情況．為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲得的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元？（其它銷售條件不變）

16.某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完．該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y1（元）與國內(nèi)銷售量x（千件）的關(guān)系為：y1=若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為（1）用x的代數(shù)式表示t為：t=_________；當(dāng)0＜x≤4時，y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2=_________；當(dāng)_________＜x＜_________時y2=100；（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w（千元）與國內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；（3）該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

1.解：（1）（且為整數(shù)）；（2）．，當(dāng)時，有最大值2402.5．，且為整數(shù)，當(dāng)時，，（元），當(dāng)時，，（元）當(dāng)售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．（3）當(dāng)時，，解得：．當(dāng)時，，當(dāng)時，．當(dāng)售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．當(dāng)售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元．當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當(dāng)售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．2.解：（1）當(dāng)50≤x≤60時，y=（x﹣40）（100+60﹣x）=﹣x2+200x﹣6400；當(dāng)60＜x≤80時，y=（x﹣40）（100﹣2x+120）=﹣2x2+300x﹣8800；∴y=﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x為整數(shù)）y=﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x為整數(shù)）（2）當(dāng)50≤x≤60時，y=﹣（x﹣100）2+3600；∵a=﹣1＜0，且x的取值在對稱軸的左側(cè)，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=60時，y有最大值2000；當(dāng)60＜x≤80時，y=﹣2（x﹣75）2+2450；∵a=﹣2＜0，∴當(dāng)x=75時，y有最大值2450．綜上所述每件商品的售價定為75元時，每個月可獲得最大利潤，最大的月利潤是2450元．（3）當(dāng)60＜x≤80時，y=﹣2（x﹣75）2+2450．當(dāng)y=2250元時，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得：x1=65，x2=85；其中，x2=85不符合題意，舍去．∴當(dāng)每件商品的售價為65元時，每個月的利潤恰為2250元．3.解：（1）y=（x﹣50）?w=（x﹣50）?（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣12000，∴y與x的關(guān)系式為：y=﹣2x2+340x﹣12000．）（2）y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450，∴當(dāng)x=85時，y的值最大值是2450．（3）當(dāng)y=2250時，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250解這個方程，得x1=75，x2=95根據(jù)題意，x2=95不合題意應(yīng)舍去∴當(dāng)銷售單價為75元時，可獲得銷售利潤2250元．4.解:∵M（12，0），P（6，6）．∴設(shè)這條拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x-6）2+6，∵拋物線過O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=-，∴這條拋物線的函數(shù)解析式為y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．（2）當(dāng)x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)時y=4.5＜5∴不能行駛寬2.5米、高5米的特種車輛（3）設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，-m2+2m），∴OB=m，AB=DC=-m2+2m根據(jù)拋物線的軸對稱，可得：OB=CM=m，∴BC=12-2m，即AD=12-2m∴L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15．∴當(dāng)m=3，即OB=3米時，三根木桿長度之和L的最大值為15米．5.⑴⑵不對，，故當(dāng)降價1.5萬元時，每周利潤最大為50萬元，不能突破50萬元。⑶當(dāng)時，，解得（圖略）觀察圖形知，當(dāng)時，即銷售價格在27萬元至28萬元之間時（含27萬、28萬元）該汽車城平均每周的利潤不低于48萬元。6.解：（１）設(shè)ｙ＝３０－２ｘ（６≤ｘ＜１５）（２）設(shè)矩形苗圃園的面積為Ｓ，則Ｓ=ｘｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ＋３０ｘ∴Ｓ=-２(Ｘ-７．５)＋１１２．５由（１）知，６≤ｘ＜１５∴當(dāng)ｘ＝７．５時，Ｓ最大值＝１１２．５即當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的一邊的長為７．５米時，這個苗圃園的面積最大，這個最大值為１１２．５．7.解：（1）設(shè)拋物線的為y=ax2+11，由題意得B（8，8），∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；（2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為6，∴6=﹣（t﹣19）2+8，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小時）．答：需32小時禁止船只通行．8.解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標(biāo)系，∵點（1，3）為拋物形水柱的頂點，∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+3，將點（0，2.25）代入，得2.25=a（0﹣1）2+3，解得a=﹣，因此，拋物形水柱對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣（x﹣1）2+3；（2）當(dāng)y=0時，﹣（x﹣1）2+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，根據(jù)實際，x=﹣1舍去，所以，x=3，即水柱落地點離池中心3m，設(shè)池中安裝地漏m個，依題意得m=?，即m=（3r﹣r2）=﹣（r﹣）2+50π，所以，當(dāng)r=1.5時，池中安裝的地漏的個數(shù)最多．9.（1）（（2）（3）10.解（1）設(shè)拋物線為y=ax2+6，過點B（10，0），∴100a+6=0，a=x2+6（2）對于拋物線，當(dāng)x=5時，，∴EF=10－m，（3）2×3+1=7，對于拋物線，當(dāng)x=7時，y=3.06，∵3.06m＞3m答：能并排行駛過寬2m，高3m的三輛汽車11.（1）y=-3x+60(10≤x＜20)（2）S=,當(dāng)x=10時，S有最大值300平方米；（3）12.解：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x為正整數(shù)）（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，當(dāng)x=75時，y有最大值為2450元；（3）當(dāng)y=2250時，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得x1=65，x2=85∵a=﹣2＜0，開口向下，當(dāng)y≥2250時，65≤x≤85∵每件商品的利潤率不超過80%，則≤80%，則x≤72則65≤x≤72．13.（1）解：如圖所示，在給定的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)最高點為A，入水點為B．∵A點距水面米，跳臺支柱10米，∴A點的縱坐標(biāo)為，∴O（0，0）B（2，-10）．設(shè)該拋物線的關(guān)系式為，(為常數(shù))過點O（0，0），B（2，-10），且函數(shù)的最大值為，則有：eq\b\lc\{(\a\al(c＝0，,4a＋2b＋c＝﹣10，,\f(4ac－b2,4a)＝\f(2,3)．))解得：∴所求拋物線的關(guān)系式為．（2）解：試跳會出現(xiàn)失誤.∵當(dāng)x＝時，y＝．此時，運動員距水面的高為10＝＜5，∴試跳會出現(xiàn)失誤．14.（1）∵每投入x萬元，可獲得利潤P=﹣（x﹣60）2+41（萬元），∴當(dāng)x=60時，所獲利潤最大，最大值為41萬元，∴若不進行開發(fā)，5年所獲利潤的最大值是：41×5=205（萬元）；（2）前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x的增大而增大，所以x=50時，P值最大，即這兩年的獲利最大為：2×[﹣（50﹣60）2+41]=80（萬元），后三年：設(shè)每年獲利y，設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為a，則外地投資額為100﹣a，∴Q=﹣[100﹣（100﹣a）]2+[100﹣（100﹣a）]+160=﹣a2+a+160，∴y=P+Q=[﹣（a﹣60）2+41]+[﹣a2+a+160]=﹣a2+60a+165=﹣（a﹣30）2+1065，∴當(dāng)a=30時，y最大且為1065，∴這三年的獲利最大為1065×3=3195（萬元），∴5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是：80+3195﹣50×2=3175（萬元）．（3）有很大的實施價值．規(guī)劃后5年總利潤