4.1 數(shù)列的概念（8大題型）精講（原卷版）

數(shù)列的概念重點(diǎn)：1、理解數(shù)列的概念；2、掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用；3、掌握數(shù)列前n項(xiàng)和的概念，能由Sn求an難點(diǎn)：1、理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；2、能根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；一、數(shù)列的概念及表示方式1、數(shù)列的有關(guān)概念數(shù)列按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)首項(xiàng)數(shù)列的第1項(xiàng)常稱為首項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)列中的第項(xiàng)叫做數(shù)列的通項(xiàng)2、數(shù)列的表示（1）一般形式：，，，…，，…（2）字母表示：上面的數(shù)列也可以記為注：是數(shù)列的第項(xiàng)，也叫通項(xiàng)。3、數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子表示成，那個(gè)這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.二、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中n∈N+遞減數(shù)列常數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列三、數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)1、數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.2、數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，由于一般函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，有列舉法、圖像法和解析法。3、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（2）作商比較法：ⅰ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列；ⅱ.當(dāng)時(shí)，則?數(shù)列是遞減數(shù)列；?數(shù)列是遞增數(shù)列；?數(shù)列是常數(shù)列．（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去．四、求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．（2）利用，求數(shù)列中的最大項(xiàng)；利用，求數(shù)列中的最小項(xiàng).當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．五、由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）各項(xiàng)的符號(hào)特征，通過(guò)或來(lái)調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．（2）考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系．（3）相鄰項(xiàng)(或其絕對(duì)值)的變化特征．（4）拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．（5）通過(guò)通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.六、數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系①當(dāng)時(shí)，a1若適合，則的情況可并入時(shí)的通項(xiàng)；②當(dāng)時(shí)，a1若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示.題型一數(shù)列的概念與分類【例1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列，，，與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列，可記為【變式11】（2023·黑龍江雞西·高二雞西市第四中學(xué)?？计谥校┫铝薪Y(jié)論中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)B．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)一定是無(wú)限的C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式的形式是唯一的D．?dāng)?shù)列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通項(xiàng)公式【變式12】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（）A．此數(shù)列不能用圖像表示B．此數(shù)列的圖像僅在第一象限C．此數(shù)列的圖像為直線D．此數(shù)列的圖像為直線上滿足的一系列孤立的點(diǎn)【變式13】（2022·吉林白山·高三撫松縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有下列說(shuō)法：①元素有三個(gè)以上的數(shù)集就是一個(gè)數(shù)列；②數(shù)列1，1，1，1，…是無(wú)窮數(shù)列；③每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式；④根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，只能寫出唯一的通項(xiàng)公式；⑤數(shù)列可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．其中正確的有（）．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)【例2】（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式（）A．B．C．D．【變式21】（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，可以得出第8個(gè)圖有個(gè)點(diǎn).【變式22】（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列{an}：1，，，，…，的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．B．C．D．【變式23】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1），，，，，…；（2）1，，，，，…；（3）6，66，666，6666，66666，…；（4）2，0，2，0，2，…．題型三寫出或判斷數(shù)列中的項(xiàng)【例3】（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，且，則實(shí)數(shù)等于（）A．1B．3C．D．【變式31】（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列數(shù)是該數(shù)列中的項(xiàng)的是（）A．7B．8C．9D．10【變式32】（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（）A．B．C．D．【變式33】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知無(wú)窮數(shù)列，，，…，，…．（1）求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)和第31項(xiàng)．（2）是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（3）證明：不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)．題型四根據(jù)遞推關(guān)系求通項(xiàng)【例4】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）根據(jù)條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式．，.【變式41】（2023·河南南陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，而，則＝（）A．B．C．D．【變式42】（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則（）A．B．C．D．【變式43】（2023·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校?？计谀?shù)列滿足，且，則等于（）A．19B．20C．21D．22題型五由數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)【例5】（2023·浙江紹興·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式51】（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式52】（2023·四川·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則題型六數(shù)列單調(diào)性的判斷【例6】（2023·遼寧朝陽(yáng)·高二建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則數(shù)列是（）A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不確定【變式61】（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）若數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，但數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則稱是T數(shù)列．下列數(shù)列不是T數(shù)列的是（）A．B．C．D．【變式62】（2023·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么“”是“為遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式63】（2023·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A．B．C．D．題型七求數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)【例7】（2023·湖北·高二校考期中）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為（）A．2B．3C．2或3D．4【變式71】（2023下·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，，則的最大值是（）A．B．C．D．【變式72】（2023·江西·高二統(tǒng)考期末）（多選）數(shù)列滿是，則（）A．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為B．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為D．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為【變式73】（2023·江蘇·高二海安市曲塘中學(xué)校考期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的最大項(xiàng)．題型八數(shù)列的周期性及應(yīng)用【例8】（2023·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（）A．2B．C．D．2023【變式81】（2023·重慶·高二榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)