432 等比數(shù)列的前n項和公式（九大題型）

4．3．2等比數(shù)列的前n項和公式【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列前項和的有關(guān)計算題型二：等比數(shù)列前項和在幾何中的應(yīng)用題型三：等比數(shù)列前項和的性質(zhì)題型四：遞推公式在實際問題中的應(yīng)用題型五：利用錯位相減法求數(shù)列的前項和題型六：等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和【知識點梳理】知識點一、等比數(shù)列的前項和公式等比數(shù)列的前項和公式推導(dǎo)過程：（1）利用等比性質(zhì)由等比數(shù)列的定義，有根據(jù)等比性質(zhì)，有所以當(dāng)時，或．（2）錯位相減法等比數(shù)列的前n項和，①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，由得：所以或．即知識點詮釋：①錯位相減法是一種非常常見和重要的數(shù)列求和方法，適用于一個等比數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項的積組成的數(shù)列求和問題，要求理解并掌握此法．②在求等比數(shù)列前項和時，要注意區(qū)分和．③當(dāng)時，等比數(shù)列的兩個求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．知識點二、等比數(shù)列前項和的函數(shù)特征1、與的關(guān)系（1）當(dāng)公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為，設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；（2）當(dāng)公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，則數(shù)列的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點．2、與的關(guān)系當(dāng)公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．知識點三、等比數(shù)列前項和的性質(zhì)1、等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則；若項數(shù)為，則．2、若等比數(shù)列的前n項和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．3、若一個非常數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為等比數(shù)列．【題型歸納目錄】題型一：等比數(shù)列前項和的有關(guān)計算題型二：等比數(shù)列前項和在幾何中的應(yīng)用題型三：等比數(shù)列前項和的性質(zhì)題型四：遞推公式在實際問題中的應(yīng)用題型五：利用錯位相減法求數(shù)列的前項和題型六：等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和【典型例題】題型一：等比數(shù)列前項和的有關(guān)計算例1．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項和為．若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，，兩式相減得，即，且滿足上式，故，所以等比數(shù)列的首項為1，公比為2，又，則、、、…、構(gòu)成首項為1，公比為16的等比數(shù)列，故．故選：C例2．（2023·河南南陽·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列：，，，，…，，…的前n項和＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，得該數(shù)列的通項公式為，∴．故選：A．例3．（2023·安徽合肥·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項和為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又由，可得，所以數(shù)列的前項和.故選：C.變式1．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是數(shù)列的前項和，,，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是數(shù)列的前項和，，，所以，，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項為，公比為，則，解得.故選：A.變式2．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因為，代入得，所以，故選：D.變式3．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為的前項和，且，，則（

）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得，所以.故選：A變式4．（2023·陜西渭南·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．81 B．24 C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)，則，又，則，所以，等比數(shù)列的公比，故.故選：C變式5．（2023·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則有，解得，，則有，得.故選：D【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列前n項和運算的技巧（1）在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：、、、、，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．（2）對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可看作一個整體．（3）在解決與前項和有關(guān)的問題時，首先要對公比或進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．題型二：等比數(shù)列前項和在幾何中的應(yīng)用例4．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）復(fù)印紙按照幅面的基本面積，把幅面規(guī)格分為A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面規(guī)格為：，，，…，，所有規(guī)格的紙張的長度（以表示）和幅寬（以y表示）的比例關(guān)系都為；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；將紙張沿長度方向?qū)﹂_成兩等分，便成為規(guī)格；…，如此對開至規(guī)格．現(xiàn)有，，…，紙各一張，已知紙的幅寬為1m，則，，…，這8張紙的面積之和是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，可得的長、寬分別為，1，的長、寬分別為1，，的長、寬分別為，，…，所以，，…，的面積是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，…，這8張紙的面積之和為.故選：C例5．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習(xí)）“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形面積之和為；然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記16個小正方形面積之和為；…；操作過程不斷進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則操作次數(shù)n的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是邊長為的4個正方形的面積之和，故；是邊長為的個正方形的面積之和，故；以此類推得：從而，所以，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，且時，，時，，故最小值取3.故選：C例6．（2023·高二課時練習(xí)）侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設(shè)外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？設(shè)侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)的長度為，則（

）A．無限大 B．<3(3＋)mC．＝3(3＋)m D．可以取100m【答案】B【解析】依題意，從外到內(nèi)正方形的邊長依次為，，，，顯然數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列，所以，ACD錯誤，B正確.故選：B變式6．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到紙板，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被減掉半圓的半徑）得到紙板，，，．記第塊紙板的面積為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意每次減掉的半圓的半徑分別為，構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以每次減掉的半圓的面積為，構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，而開始時半圓的面積為，所以第塊紙板的面積為，故選：B.變式7．（2023·廣西南寧·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形開始，連續(xù)10個正方形的面積之和等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數(shù)列，，因為后一個正方形邊長是相鄰前一個正方形邊長的，因此，即數(shù)列是等比數(shù)列，公比，所以前10個正方形的面積之和.故選：A變式8．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正三角形的邊長為1，取正三角形各邊的中點，，，得到第二個正三角形，然后再取正三角形各邊的中點，，，得到第三個正三角形，依此方法一直進行下去，則從第一個正三角形開始，前10個正三角形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的面積為，，則可得數(shù)列，由已知為線段的中點，為線段的中點，所以又，都為等邊三角形，所以，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，所以前10個正三角形的面積之和為，故選：B.【方法技巧與總結(jié)】此類幾何問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決，要注意步驟的規(guī)范性．題型三：等比數(shù)列前項和的性質(zhì)例7．（2023·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和．若，則.【答案】6【解析】設(shè)的公比為q，則，得，∴，即.故答案為：6.例8．（2023·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列{}中，若，則當(dāng)……取得最大值時，n=.【答案】6【解析】在等比數(shù)列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調(diào)遞減，且，因為，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)取得最大值時，．故答案為：6例9．（2023·吉林·高二東北師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和（為常數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值為．【答案】/【解析】當(dāng)時，，則，所以，，因為，且數(shù)列為等比數(shù)列，所以，，即，解得，故對任意的，，，由可得，可得，因為，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故，因此，實數(shù)的最大值為.故答案為：.變式9．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，則的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，解得，則，所以，，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因為，故的最大值為.因此，對任意的恒成立，所以，，故的最小值為.故答案為：.變式10．（2023·湖北·高二十堰一中校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的前n項和為，前n項積為，若，當(dāng)取最小值時，.【答案】1【解析】由得：，兩式相減整理得，又當(dāng)時，，解得：，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，可知，則，即當(dāng)，時，取得最小值，，因為時，；時，，時，取最小值時，此時.故答案為：1.變式11．（2023·山西忻州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為．【答案】【解析】設(shè)的公比為，因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為故答案為：【方法技巧與總結(jié)】處理等比數(shù)列前項和有關(guān)問題的常用方法（1）運用等比數(shù)列的前項和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關(guān)的方程（組）時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．（2）靈活運用等比數(shù)列前項和的有關(guān)性質(zhì)．題型四：遞推公式在實際問題中的應(yīng)用例10．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F(xiàn)，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？【解析】（1）設(shè)正方形ABCD面積為，后繼各正方形的面積依次為則=25，由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，所以，因此是以25為首項，為公比的等比數(shù)列.設(shè)的前n項和為，根據(jù)等比數(shù)列前項和公式可得==，所以前10個正方形的面積之和為（2）當(dāng)n無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和而=，隨著n的無限增大，將趨近于0，將趨近于50.所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50例11．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學(xué)家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{In}，{In}表示第n周的蟲害的嚴(yán)重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴(yán)重程度越高．為了治理害蟲，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個策略之一：策略A：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：In+1＝n﹣．策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：In+1＝n﹣．當(dāng)某周“蟲害指數(shù)”小于1時，危機就在這周解除．(1)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個策略將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更?。?2)設(shè)第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲害的危機最快將在第幾周解除？【解析】（1）策略A：，策略B：，當(dāng)，可得，當(dāng)時，兩者相等，當(dāng)時，用策略B將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更??；當(dāng)時，用策略A將使第二周的蟲害的嚴(yán)重程度更??；（2）由（1）可知：當(dāng)時，選擇策略B，所以當(dāng)時，選擇策略B，因為，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，，也即，由等比數(shù)列的通項公式可得：，正整數(shù)范圍內(nèi)解不等式，得所以蟲害的危機最快在第9周解除．例12．（2023·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，….（參考數(shù)據(jù)：，，.）(1)寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推關(guān)系表示成的形式，其中k，r為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）.【解析】（1）因為某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.（2）將化成，因為所以比較系數(shù)，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.所以.變式12．（2023·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）某公司從2020年初起生產(chǎn)某種高科技產(chǎn)品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預(yù)計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產(chǎn).設(shè)第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.(1)用x表示，，并寫出與的關(guān)系式；.(2)若企業(yè)希望經(jīng)過5年后，使企業(yè)剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.【解析】（1）由題意知，，，；（2）由(1)可得，，則，所以，即，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，萬元.故該企業(yè)每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業(yè)剩余資金為3000萬元.變式13．（2023·河南商丘·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個數(shù)開始依次從左下方選出來的數(shù)可組成等差數(shù)列，如：，，，，…；依次選出來的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：，，，，….記第行第個數(shù)為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和.【解析】（Ⅰ）由數(shù)陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.變式14．（2023·全國·高二課堂例題）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…(1)寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；(2)將（1）中的遞推公式表示成為的形式，其中，為常數(shù)；(3)求的值（精確到1）．【解析】（1）由題意知，并且．

①（2）將化為．

②比較①②的系數(shù)，可得，解這個方程組，得，所以，（1）中的遞推公式可以化為．（3）由（2）可知，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．所以．【方法技巧與總結(jié)】用數(shù)列知識解相關(guān)的實際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對應(yīng)的解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計算得出的結(jié)果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結(jié)論．題型五：利用錯位相減法求數(shù)列的前項和例13．（2023·甘肅臨夏·高二校聯(lián)考期中）已知數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若的前n項和為，求.【解析】（1）因為，所以，其中，故是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故，所以；（2），所以①，故②，兩式相減得，，故.例14．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足：，，設(shè)．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和．【解析】（1）由，，可得，因為，即，所以數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列．（2）由（1）可得：，即，所以．（3）由（2）可知：，則，可得，上面兩式相減可得：，所以．例15．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）證明：因為，所以.又，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為4，公比為2.（2）由（1）知，即，則.，，則，所以.變式15．（2023·甘肅慶陽·高二校考期中）已知數(shù)列的前項和為，.數(shù)列滿足，且點在直線上.(1)求數(shù)列，的通項和；(2)令，求數(shù)列的前項和；(3)若，求對所有的正整數(shù)都有成立的的范圍.【解析】（1）因為，當(dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得，整理得，即，可知數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；數(shù)列滿足，點在直線上，則，可知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，則，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，則，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以，即的最大值為.因為對所有的正整數(shù)都有都成立，則，又因為，可得恒成立，只需滿足即可.且，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即，所以的取值范圍為.變式16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，，即，當(dāng)時，上式也成立，所以．當(dāng)時，也符合，所以．（2）由（1）知．，，則，所以．變式17．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，證明：數(shù)列的前項和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，，，兩式相減可得，即又，得，，數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.變式18．（2023·貴州六盤水·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，又，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）可知，設(shè)的前項和為，則，，兩式相減得，，，兩式相減得，，，又因為的前項和是，所以．【方法技巧與總結(jié)】錯位相減法的適用范圍及注意事項（1）適用范圍：它主要適用于是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和．（2）注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出與的表達式時，應(yīng)注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出的表達式．②利用此法時要注意討論公比是否等于1的情況．題型六：等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用例16．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學(xué)校考一模）云岡石窟，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產(chǎn)．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數(shù)是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，則是以2為公比的等比數(shù)列，，，解得，所以，．故選：C．例17．（2023·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）某公司開發(fā)新項目，今年用于該新項目的投入為10萬元，計劃以后每年用于該新項目的投入都會在上一年的基礎(chǔ)上增加，若該公司計劃對該項目的總投入不超過250萬元，則按計劃最多能連續(xù)投入的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】設(shè)該公司第年用于該新項目的投入為萬元，則是首項為10，公比為的等比數(shù)列，從而，即，即，即．因為，所以的最大值是9.故選：A例18．（2023·高二單元測試）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有蒲生一日，長三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長高3尺，以后蒲草每日長高前一日的半數(shù)，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長的高度成等比數(shù)列，等比數(shù)列的首項為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數(shù)列前5項和，（尺），故選：D.變式19．（2023·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.變式20．（2023·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個大字，已知熱氣球在第一分鐘內(nèi)能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經(jīng)過（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】設(shè)表示熱氣球在第n分鐘內(nèi)上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因為，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，又，，所以該氣球至少要經(jīng)過4分鐘才能上升到70高度，故選：B．變式21．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發(fā)，測試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（?。?/p>

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【解析】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項為300，公比為，故這17匹馬的日行路程之和為（里）．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟（1）審題——仔細閱讀材料，認(rèn)真理解題意．（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)（數(shù)列）問題，弄清該數(shù)列的結(jié)構(gòu)和特征．（3）求解——求出該問題的數(shù)學(xué)解．（4）還原——將所求結(jié)果還原到實際問題中．題型七：等比數(shù)列中與的關(guān)系例19．（2023·廣東珠?！じ叨y(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，易知該數(shù)列的公比為，則，即，解得.故選：C.例20．（2023·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）若數(shù)列的前n項和，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，則，，則.故選：C例21．（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【解析】因為，所以．時，，所以前的系數(shù)和常數(shù)項互為相反數(shù)，所以，所以．故選：D變式22．（2023·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項和要滿足，又因為，所以.故答案為：變式23．（2023·江蘇南通·高二?？计谥校┤羰堑缺葦?shù)列，且前項和為，則.【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，又是等比數(shù)列，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，此數(shù)列的前項和，則的值為.故答案為：.變式24．（2023·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項和，則實數(shù)的值為.【答案】【解析】由，得.當(dāng)時，，不合乎題意.當(dāng)時，，令，則，所以，，解得.故答案為：.變式25．（2023·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）依題意，當(dāng)時，由，可知，由，可得兩式相減可知，，即，因此時，，即（2）由（1）可知，，當(dāng)時，，因此也適合，，故，故的前項和變式26．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和，證明是等比數(shù)列，并求出通項公式．【解析】因為，所以，所以，所以．又因為，所以．又由，知，所以，所以是等比數(shù)列．因為，所以．變式27．（2023·陜西西安·高二西安市第八十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和（，是不等于0和1的常數(shù)），求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.【解析】必要性：若數(shù)列為等比數(shù)列，且，則，即，故；充分性：若，即，且，對于，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則；綜上所述：.∵，是不等于0和1的常數(shù)，則，∴，故數(shù)列為等比數(shù)列；綜上所述：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.變式28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知等比數(shù)列的前項和為,,.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)令,求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當(dāng)時,即,又是等比數(shù)列,;數(shù)列的通項公式為:.（2）由（1）知,,,即.變式29．（2023·全國·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，．證明：(1)數(shù)列為等比數(shù)列；(2)當(dāng)時，．【解析】（1）證明：因為，所以，所以，在中，令，得①，又②，聯(lián)立①②，解得，因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為2等比數(shù)列.（2）由（1）可知，則，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，．【方法技巧與總結(jié)】與的關(guān)系當(dāng)公比時，等比數(shù)列的前項和公式是，它可以變形為設(shè)，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數(shù)．題型八：等比數(shù)列片段和的性質(zhì)例22．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列的前項和為，則．【答案】12【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，而，于是，所以．法二：因為為等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，即.故答案為：12例23．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）記為等比數(shù)列的前n項和，已知，，則．【答案】4【解析】因為為等比數(shù)列的前n項和，，，所以由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，成等比數(shù)列，所以．故答案為：4例24．（2023·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則.【答案】156【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，顯然.因為，所以，所以.法二：設(shè)，則.因為為等比數(shù)列，所以仍成等比數(shù)列.因為，所以，所以，即.故答案為：156變式30．（2023·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則.【答案】28【解析】由數(shù)列是等比數(shù)列，且易知公比，所以也構(gòu)成等比數(shù)列，即構(gòu)成等比數(shù)列，從而可得，解得或，又，所以.故答案為：28變式31．（2023·高二課時練習(xí)）等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝48，前2n項和S2n＝60，則前3n項和S3n＝.【答案】63【解析】法一：設(shè)公比為q，由已知易知q≠1，因為Sn＝48，S2n＝60，所以，解得，所以，故答案為：63法二：因為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，所以（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.故答案為：63變式32．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項和，且，，則.【答案】600【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為因為等比數(shù)列的前n項和為，所以，，，成等比數(shù)列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則，由，，成等比數(shù)列，可得即，解得，故答案為：600【方法技巧與總結(jié)】若等比數(shù)列的前n項和為，則，，…成等比數(shù)列（其中，，…均不為0）．題型九：等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和例25．（2023·山東聊城·高三山東聊城一中?？计谀┮阎缺葦?shù)列的公比，且，則.【答案】120【解析】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則，所以.故答案為：120例26．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列，數(shù)列的前n項和為，若存在正整數(shù)使得，則正整數(shù)m的取值集合為．【答案】/【解析】因為列，可得，所以，因為所以，其中，變形得，因為，所以，又，則l可能為1，2，3當(dāng)時，，所以不成立，當(dāng)時，由，得，若，則，令，則，因為，所以，所以，因為故只有，此時，當(dāng)時，由，得，，故正整數(shù)m的取值集合為，故答案為：．例27．（2023·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項中，所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則的值為．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，設(shè)等比數(shù)列的前項中，設(shè)所有奇數(shù)項的和為，所有偶數(shù)項的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.變式33．（2023·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項和為．【答案】450【解析】在等比數(shù)列中，公比，則有，而，于是得，所以數(shù)列的前100項和．故答案為：450變式34．（2023·高二課時練習(xí)）已知正項等比數(shù)列共有項，它的所有項的和是奇數(shù)項的和的倍，則公比.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.變式35．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．（2）因為，所以，所以．變式36．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知非零數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由題意，且，且，所以，因為，所以，所以是首項為9，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，因為，所以，所以.變式37．（2023·上海·高二校考期中）已知數(shù)列的前n項和為，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，求的前n項和．【解析】（1）數(shù)列中，，，當(dāng)時，，兩式相減得，而，即對任意，，因此數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以的前n項和.變式38．（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）∵，，則，∴，兩式相除得：，當(dāng)時，，∴，即，當(dāng)時，，∴，即，綜上所述，的通項公式為：；（2）由題設(shè)及（1）可知：，【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列中，若項數(shù)為，則；若項數(shù)為，則．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．2．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】第一次操作去掉的區(qū)間長度為；第二次操作去掉兩個長度為的區(qū)間，長度和為；第三次操作去掉四個長度為的區(qū)間，長度和為；，第次操作去掉個長度為的區(qū)間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區(qū)間長度之和為，由題意知：，解得：，又為整數(shù)，可得的最小值為6，故選：A3．（2023·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）數(shù)列的前n項和，數(shù)列的前n項和為，則=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗滿足上式，所以，設(shè)，則，所以.故選：B4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項和為，且．則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①②得，即，又，得所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.故選：C.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因為，所以，，所以，所以.又，得，所以.故選：A.方法二因為，，所以，所以，所以.故選：A.6．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C．32 D．或32【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意知，則由得，則，所以，即；因為，所以，所以，故選：C.7．（2023·重慶·高二重慶一中?？计谥校┮阎缺葦?shù)列有項，，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為等比數(shù)列有項，則奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，設(shè)公比為，得到奇數(shù)項為，偶數(shù)項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以，所以，因為恒成立，即恒成立，即恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為．故選：.二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由，可得：所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，則，故.所以.則，所以選項A錯誤，選項B、D正確.因為所以正確．故選：BCD．10．（2023·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）已知是數(shù)列的前項和，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，①當(dāng)時，則，當(dāng)時，，②①②得，則，故是以1為首項，公比為的等比數(shù)列，且，故A正確；又，故B正確；，故C錯誤；由題中，，故D正確，故選：ABD.11．（2023·甘肅慶陽·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，在數(shù)列中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，【答案】CD【解析】對于A：當(dāng)，時，即，又，則，所以，又，則，所以，即數(shù)列的奇數(shù)項相等都等于，偶數(shù)項也相等都等于，所以，故A錯誤；對于B：當(dāng)，時，，即．因為，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，所以，故B錯誤；對于C：當(dāng)，時，，所以，因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，故C正確；對于D：當(dāng)，時，，則，即．因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，故D正確；故選：CD12．（2023·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項 D．無最大項【答案】BC【解析】由，因此.又因為則.當(dāng)時，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項A錯誤.而，故，選項B正確.又因為為單調(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時，，則.當(dāng)時，，則.因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.故答案為：BC.三、填空題13．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┰诠葹榈牡缺葦?shù)列中，為其前項和，（），且，則．【答案】【解析】由，得，又，聯(lián)立可解得