帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)及電磁力的求解

PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要摘要帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)對(duì)于物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多重要領(lǐng)域都有重大意義。例如，質(zhì)譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應(yīng)用都與之有密切關(guān)系。此外，研究帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為等離子體物理理論研究的一個(gè)重要組成部分。關(guān)于帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，許多人進(jìn)行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經(jīng)典電磁場(chǎng)理論和經(jīng)典力學(xué)出發(fā)研究帶電粒子的經(jīng)典軌道，也很少有人對(duì)存在彈性界面的情況進(jìn)行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時(shí)考慮帶電粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，并通過(guò)求解帶電粒子的哈密頓正則方程及Mathematica科學(xué)計(jì)算軟件程序包來(lái)描繪帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。本文還求解了磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程，利用邊值問(wèn)題求解電磁場(chǎng)，并且應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量來(lái)計(jì)算某些電磁作用力。本項(xiàng)目的研究成果對(duì)開(kāi)拓和擴(kuò)展電磁場(chǎng)理論應(yīng)用的新領(lǐng)域具有一定的參考作用。本文主要闡述了五個(gè)方面的內(nèi)容。一，帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)；二，帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)；三，帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)；四，求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程；五，應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些電磁作用力。關(guān)鍵詞：帶電粒子，電磁場(chǎng)，洛倫茲力，彈性界面，電勢(shì)，邊值關(guān)系PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要TheMovementsof ChargedParticlesinElectricandMagneticFieldsandtheSolutionsofElectromagneticForceABSTRACTStudythemovementsofchargedparticlesintheelectricandmagneticfieldswithagreatsignificanceinmanyimportantareasofphysicsandscientifictechnology.Forexample,theapplicationsofmassspectrometers,oscilloscopes,TVpicturetubes,particleacceleratorsandotherequipmentsarecloselyrelatedtothisstudy.Inaddition,studythemovementsofchargedparticlesintheelectricandmagneticfieldshavebecomeanimportantcomponentofthetheoryresearchinplasmaphysics.Manypeoplecarriedoutalotofworkaboutthemovementsofchargedparticlesintheelectricandmagneticfields.Mostpreviousworkbasicallystartedfromthetheoryofclassicalelectromagneticfieldandclassicalmechanicstostudytheclassicaltrackofchargedparticles,butfewpeopleanalyzedthesituationofflexibleinterfacewhenitexisted.Thisarticlewillbothconsidertheconditionoftheexistenceofaflexibleinterfaceandtheclassicalandrelativemotionofchargedparticles,andthenusethequantumtheorytosolvetheparticles’Schr?dingereigenequation.ThisarticlewillintroducethesolutionsoftheLaplaceequationwhenthemagneticscalarmeetitandtheHelmholtzequationwhentheelectromagneticvectorsatisfyit.ThispaperalsosolvestheelectromagneticfieldthroughtheuseofboundaryvalueproblemandcalculatescertainelectromagneticforcethroughtheapplicationofMaxwellstresstensor.Researchresultsofthisprojecthaveagreatreferencesignificancetoexploreandexpansenewareasoftheapplicationofelectromagnetictheory.Thisarticlefocusesonfiveaspects,itisarrangedasfollows:1.TheclassicalmovementofChargedparticlesinelectricandmagneticfields.2.TherelativemovementofChargedparticlesinelectricandmagneticfields.3.ThemovementofChargedparticlesinparallelelectricandmagneticfieldsandneartheflexibleinterface.4.SolutionsoftheLaplaceequationwhencertainmagneticscalarmeetitandtheHelmholtzequationwhentheelectromagneticvectorsatisfyit.5.CalculatecertainelectromagneticforcebytheapplicationofMaxwellstressPAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要tensor.keywords:Chargedparticles,

ElectromagneticField,Lorentzforce,Flexibleinterface,electricpotential,TherelationshipbetweenboundaryvaluePAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要目錄摘要 IABSTRACT II1引言 11.1課題研究的背景及意義 11.2本論文的主要工作及主要成果 12帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng) 22.1問(wèn)題的提出 22.2帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的分析 22.3普遍情況 22.3.1空間僅存在電場(chǎng) 32.3.2空間僅存在磁場(chǎng) 32.3.3電場(chǎng)與磁場(chǎng)同方向 42.3.4電場(chǎng)與磁場(chǎng)垂直 42.4討論 53帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng) 63.1問(wèn)題的提出 63.2電磁場(chǎng)相對(duì)論變換的一種推導(dǎo) 63.2.1和的變換式的推導(dǎo) 63.2.2和的變換式的推導(dǎo) 83.3帶電粒子在電磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)的求解 103.4討論 144帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng) 154.1問(wèn)題的提出 154.2理論模型和公式推導(dǎo) 154.2.1帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程 154.2.2帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道形成的條件 164.3帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道的模擬 194.3.1粒子沒(méi)有碰到任何界面時(shí)的閉合軌道 194.3.2粒子只碰到上界面時(shí)的閉合軌道 194.3.3粒子只碰到下界面時(shí)的閉合軌道 204.4討論 21PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要5求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程 235.1問(wèn)題與分析 235.2雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級(jí)數(shù)展開(kāi) 245.3分區(qū)解拉普拉斯方程并用邊界條件與邊值關(guān)系確定系數(shù) 245.4特例與拓展 265.4.1特例 265.4.1拓展 276應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些電磁作用力 286.1問(wèn)題的提出 286.2麥克斯韋方程的一種討論 286.3麥克斯韋應(yīng)力張量 336.4.用應(yīng)力張量計(jì)算磁作用 346.5用虛功原理計(jì)算單芯偏心電纜單位長(zhǎng)度的靜電力 366.6橫截面為透鏡形的柱狀分布電荷的電場(chǎng) 396.7結(jié)論 437結(jié)論與展望 44參考文獻(xiàn) 45致謝 47攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表的論文及科研情況 48PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要1引言1.1課題研究的背景及意義帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)對(duì)于物理學(xué)和科學(xué)技術(shù)的許多重要領(lǐng)域都有重大意義。磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)粒子的洛倫茲力有許多實(shí)際應(yīng)用。雖然因?yàn)榕cv垂直而不做功，但它會(huì)改變粒子運(yùn)動(dòng)的方向。在某些情況下巧妙的配以適當(dāng)?shù)碾妶?chǎng)E可以非常有效的控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，從而達(dá)到各種既定的目的。例如，質(zhì)譜儀，示波器，電視顯像管，粒子加速器等儀器應(yīng)用都與之有密切關(guān)系。此外，研究帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)已經(jīng)成為等離子體物理理論研究的一個(gè)重要組成部分。關(guān)于帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，許多人進(jìn)行了大量的工作。在前人的工作中，基本上是從經(jīng)典電磁場(chǎng)理論和經(jīng)典力學(xué)出發(fā)研究帶電粒子的經(jīng)典軌道，也很少有人對(duì)存在彈性界面的情況進(jìn)行分析。本文將考慮存在彈性界面的情況，同時(shí)既考慮帶電粒子的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)，又通過(guò)用量子理論求解帶電粒子的哈密頓正則方程。電磁理論早些時(shí)候多用于軍事領(lǐng)域，其發(fā)展和無(wú)線電通信，雷達(dá)的發(fā)展應(yīng)用密不可分。如今，電磁理論的應(yīng)用已經(jīng)很廣，涉及到地理科學(xué)，材料科學(xué)和信息科學(xué)等很多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。計(jì)算電磁場(chǎng)研究的內(nèi)容涉及面也很廣，與電磁場(chǎng)工程，電磁場(chǎng)理論相互聯(lián)系，相互依賴。對(duì)電磁場(chǎng)工程而言，計(jì)算電磁場(chǎng)要解決的是實(shí)際電磁場(chǎng)工程中越來(lái)越復(fù)雜的建模和仿真，優(yōu)化設(shè)計(jì)等問(wèn)題。對(duì)電磁場(chǎng)理論而言，計(jì)算電磁場(chǎng)可以為其研究提供復(fù)雜的數(shù)值及解析運(yùn)算的方法、手段和計(jì)算結(jié)果。近幾十年來(lái)，電磁理論的發(fā)展，無(wú)一不是與計(jì)算電磁場(chǎng)的發(fā)展相聯(lián)系的。目前，計(jì)算電磁場(chǎng)已為電磁理論的深入研究開(kāi)辟了新的途徑，并極大地推動(dòng)了電磁工程的發(fā)展。本項(xiàng)目的研究成果對(duì)開(kāi)拓和擴(kuò)展電磁場(chǎng)理論應(yīng)用的新領(lǐng)域具有重要的參考作用。1.2本論文的主要工作及主要成果本文主要采用解析法與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合進(jìn)行研究。通過(guò)哈密頓正則方程求解帶電粒子的運(yùn)動(dòng)；編制程序及利用Mathematica科學(xué)計(jì)算軟件程序包來(lái)描繪帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；重點(diǎn)闡述利用應(yīng)力張量和虛功原理對(duì)電磁力的求解。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要2帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的經(jīng)典運(yùn)動(dòng)2.1問(wèn)題的提出帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是電磁學(xué)研究的主要內(nèi)容之一，其應(yīng)用又十分廣泛。比如，實(shí)驗(yàn)室中的陰極射線管，高能物理中常用的回旋加速器、質(zhì)譜儀等設(shè)備都應(yīng)用和涉及到這方面的規(guī)律和知識(shí)。文獻(xiàn)[1]中有一個(gè)思考題是討論質(zhì)子無(wú)初速出發(fā)，在相互垂直的電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況。由于運(yùn)動(dòng)從定性的角度很難說(shuō)清楚，而在文獻(xiàn)[2—5]或電磁學(xué)教材[6—7]中，對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，都是針對(duì)一些特殊情況進(jìn)行的，并沒(méi)有就帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的更一般情況進(jìn)行全面分析。本章擬從帶電粒子在一般電磁場(chǎng)中所受到的洛倫茲力出發(fā)，系統(tǒng)研究其運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，并針對(duì)某些特殊情況，用數(shù)值分析方法，研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并給出不同條件下的運(yùn)動(dòng)軌跡線。2.2帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的分析在不考慮重力且空間同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)的情況下，質(zhì)量為m、速度為的帶電粒子q(>0)受到的洛淪茲力為=q+q×(2.2.1)若將的方向取做z軸，與的夾角為，在x-y平面上的投影與x軸正向夾角，根據(jù)牛頓定律，粒子運(yùn)動(dòng)的方程在直角坐標(biāo)中的分解式是(2.2.2)現(xiàn)以上述幾式為基礎(chǔ)，討論帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的普遍情況。2.3普遍情況我們假設(shè)，在計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，粒子在坐標(biāo)原點(diǎn)，初速.對(duì)(2.2.2)式進(jìn)行拉普拉斯變換，得：PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（2.3.1）其中，.由(2.3.1)（2.3.2）其中,,對(duì)(2.3.2)式作逆變換，得(2.3.3)(2.3.3)式可以描述帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律：當(dāng)電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的夾角確定后，帶電粒子在z方向(磁場(chǎng)方向)的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是，在與磁場(chǎng)垂直的平面上，粒子呈振蕩情形。下面就一些不同條件對(duì)(2.3.3)式進(jìn)行討論。2.3.1空間僅存在電場(chǎng)此時(shí)，，則b=0。重新解(2.2.2)式，得運(yùn)動(dòng)方程是(2.3.4)其中，，上式的軌跡是一條空間拋物線。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要2.3.2空間僅存在磁場(chǎng)此時(shí)，=0，則e=0。由(2.3.3)式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是(2.3.5)若令則,可以證明，即在平面上，帶電粒子的軌跡是圓周運(yùn)動(dòng)，則(2.3.5)式表示的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線，螺距為,當(dāng)=0時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡是平面上的圓周運(yùn)動(dòng)。2.3.3電場(chǎng)與磁場(chǎng)同方向此時(shí)，=0，則e=0。由(2.3.3)式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是(2.3.6)與(2.2.2)的分析相同，(2.3.6)式表達(dá)的運(yùn)動(dòng)軌跡是螺旋線，螺距是2.3.4電場(chǎng)與磁場(chǎng)垂直 此時(shí)，，.可適當(dāng)取坐標(biāo)，使得沿方向，則有=0.由(2.3.3)式，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方程是(2.3.7)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要當(dāng)，軌跡是平面內(nèi)的擺線，周期。如圖2.1所示，擺線擺動(dòng)的方向取決于b的符號(hào)（即粒子的正負(fù)），圖2.1是b＜0的情況，當(dāng)≠0，===0時(shí)（即、、三者垂直）有兩種情況，第一種是≠情況時(shí)，軌跡是平面內(nèi)的擺線，周期.為了使擺線的方向向右（圖形看起來(lái)符合習(xí)慣）我們?nèi)＜0.當(dāng)0＜＜，是短幅擺線，如圖2.2（a）當(dāng)＜＜，仍是短幅擺線，與圖2.2（a）不同的是，擺線在軸的下方，如圖2.2（b）.當(dāng)=，是普通擺線，如圖2.2（c），擺線的起始位置與圖2.1不同，當(dāng)＞，是長(zhǎng)幅擺線，如圖2.2（d）.第二種是在=情況時(shí)，軌跡是平面內(nèi)的直線，這正式質(zhì)譜儀的原理，如圖2.2(e).圖2.1普通擺線圖2.2不同條件下的擺線2.4討論我們將文獻(xiàn)[1]中的問(wèn)題進(jìn)行了拓展性的討論，發(fā)現(xiàn)帶電粒子在相互垂直的電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題。除了在一般教材中討論的直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)外，還有以擺線作為軌跡的運(yùn)動(dòng)。按照條件的不同，擺線的形式也不相同，有一般擺線、短輻擺線和長(zhǎng)輻擺線。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要3帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)3.1問(wèn)題的提出帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)是一個(gè)有趣的問(wèn)題,初看起來(lái),似乎是帶電粒子會(huì)在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng),同時(shí)沿電場(chǎng)方向作勻加速運(yùn)動(dòng),整個(gè)運(yùn)動(dòng)是這兩種運(yùn)動(dòng)的合成?？紤]到粒子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,通過(guò)求解帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程,可以證明實(shí)際的運(yùn)動(dòng)并非是簡(jiǎn)單的兩種運(yùn)動(dòng)的合成,為了深刻理解發(fā)生的原因,我們就在四維閔可夫斯基空間,對(duì)帶電粒子在均勻電磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)進(jìn)行求解。3.2電磁場(chǎng)相對(duì)論變換的一種推導(dǎo)在電磁場(chǎng)相對(duì)論變換公式的推導(dǎo)中,常用3種方法:第一,由標(biāo)量φ和矢量A的定義,引入四維勢(shì)矢量,建立電磁場(chǎng)張量,根據(jù)四維二階張量的變換公式導(dǎo)出;第二,由麥克斯韋方程,在滿足相對(duì)論協(xié)變的要求下,據(jù)微分運(yùn)算的相對(duì)論變換公式導(dǎo)出。第三,由洛侖茲公式,在滿足相對(duì)論協(xié)變性的要求下,據(jù)四維矢量和四維速度矢量的相對(duì)論變換公式導(dǎo)出。這三種方法都能導(dǎo)出電磁場(chǎng)矢量和的變換公式,但進(jìn)一步的導(dǎo)出電位移矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的變換公式有困難且推導(dǎo)過(guò)程也很復(fù)雜。下面采用一種簡(jiǎn)單的方法對(duì)和的變換式、和的變換式進(jìn)行推導(dǎo)。3.2.1和的變換式的推導(dǎo)電磁場(chǎng)由電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度描述,由麥克斯韋方程組,在慣性系中,它們滿足如下方程:（3.2.1）（3.2.2）寫(xiě)成分量形式,并加以變形有:（3.2.3）引入四維矢量則有，四維矢量四維矢量0=（0，0，0，0）PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要以上分量方程可用如下一個(gè)矩陣方程表示：（3.2.4）其中T是四階矩陣（3.2.5）代入（3.2.4）中比較得：（3.2.6）麥克斯韋方程服從相對(duì)性原理,是洛侖茲協(xié)變的,在一切慣性系中數(shù)學(xué)形式不變,因此,在沿ox軸正方向相對(duì)于∑以速度勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系∑′中也有:（3.2.7）其中（3.2.8）注意到X和0是四維矢量代入（3.2.7）式中有：（3.2.9）其中，是洛倫茲變換矩陣PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要在式（3.2.3）的兩邊用的轉(zhuǎn)置矩陣右乘,并記住=I(單位矩陣),可得:和和（3.2.2）式比較有寫(xiě)成分量式考慮到，則對(duì)各分量的變換關(guān)系為：將代入以上各式，最后將得到和的變換關(guān)系為更一般的形式為式中‖和⊥分別表示與速度平行和垂直的分量。實(shí)際上,滿足變換公式,且的四階矩陣就是四維二階張量,因此,我們不僅導(dǎo)出了電磁場(chǎng)矢量和的變換關(guān)系,而且還知道了和可按矩陣的方式構(gòu)成一個(gè)四維二階反對(duì)稱電磁場(chǎng)張量。3.2.2和的變換式的推導(dǎo)同樣的方法可導(dǎo)出和的變換,推導(dǎo)如下:在慣性系∑中,由麥克斯韋方程組,和滿足如下方程:其中,J是電流密度,是電荷體密度。上面的方程可用如下一個(gè)矩陣方程來(lái)表示:PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（3.2.10）其中,是四維電流密度矢量,是四階矩陣。（3.2.11）在慣性系中，又有：（3.2.12）和X是四維矢量（3.2.13）（3.2.14）結(jié)合（3.2.10）-（3.2.14），并記=I可得從而得到和的變換公式是：寫(xiě)成更一般的形式為：注意到,因此,和可按矩陣F的形式構(gòu)成四維二階反對(duì)稱張量。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要3.3帶電粒子在電磁場(chǎng)中的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)的求解我們知道帶電粒子的相對(duì)論運(yùn)動(dòng)方程為：；；由質(zhì)量關(guān)系式，能量與動(dòng)能的關(guān)系式：，得到而(3.3.1)1）當(dāng)帶電粒子僅在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力與垂直,則(=0),此時(shí)(3.3.2)帶電粒子速度可以分解成與平行的速度和與垂直的速度,若與平行的分速度,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是是軸的螺旋線,若平行的分速度,則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是垂直于平面的圖(圖3.1)。圖3.1帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡2)帶電粒子僅在電聲場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)(3.3.3)而,,所以PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要那么若帶電粒子初速度或平行于電場(chǎng),則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線,若是不平行于電場(chǎng),則帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條曲線(懸鏈線)(圖3.2)。圖3.2帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)3）當(dāng)帶電粒子在組合的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)（圖3.3），我們采用的方法是在四維閔可夫斯基空間進(jìn)行計(jì)算，我們知道了粒子在四維空間的運(yùn)動(dòng)議程為,，(3.3.4)式中，為粒子四維速度，為原點(diǎn)時(shí)間隔，為電磁張量。圖3.3帶電粒子在組合的電場(chǎng)與磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的四維空間PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要在具體問(wèn)題中，的形式(3.3.5)將上述的值代入（3.3.4）式便得到四個(gè)分量方程：(3.3.6)(3.3.7)(3.3.8)(3.3.9)式中，初始條件時(shí)，x=y=z=ct=0,;而，積分(3.3.6)式，注意初始條件，得：(3.3.10)積分(3.3.9)式，注意初始條件，得：(3.3.11)將(3.3.10)、(3.3.11)代入(3.3.7)式，當(dāng)時(shí)得到(3.3.12)此式的一般解為：(3.3.13)式中，為積分常數(shù)利用初始條件，可求得：PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要所以(3.3.14)將(3.3.14)式代入(3.3.10)式，積分并注意初始條件，得(3.3.15將(3.3.11)式代入(3.3.10)式求解，并注意初始條件，得(3.3.16積分(3.3.8)式，注意初始條件，得：(3.3.17)如果從(3.3.16)式將原時(shí)表示為時(shí)間的顯示，代入(3.3.14)(3.3.15)和(3.3.16)式，則得的表達(dá)式。當(dāng)時(shí)，只需要注意到及，(3.3.14)、(3.3.15)、(3.3.16)和(3.3.17)式分別變?yōu)椋寒?dāng)B=E是，首先將雙曲正弦和雙曲余弦按級(jí)數(shù)展開(kāi)：然后令B=E，則得，的表達(dá)式為：PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要3.4討論通過(guò)以上的解,我們可以看出帶電粒子在均勻磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程是τ的雙曲函數(shù),由于考慮到粒子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,其運(yùn)動(dòng)規(guī)律不遵守牛頓第二定律，當(dāng)帶電粒子的初速度時(shí),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律就符合牛頓定律,其運(yùn)動(dòng)軌跡可以是兩種運(yùn)動(dòng)的合成,但經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間之后,即使帶電粒子的初速度很小,其速度也會(huì)越來(lái)越趨近于光速(不考慮輻射),仍適相對(duì)論運(yùn)動(dòng)規(guī)律。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要4帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)4.1問(wèn)題的提出關(guān)于帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌道的模擬，許多人進(jìn)行了大量的工作。在前人的工作中，很少有人對(duì)存在彈性界面的情況進(jìn)行分析。最近，D.H.Wang等人對(duì)帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及彈性界面存在的情況進(jìn)行了分析。對(duì)于存在兩個(gè)彈性界面的情況，并沒(méi)有進(jìn)行探討。本章首先從哈密頓正則方程出發(fā)推導(dǎo)出了帶電粒子在平行電磁場(chǎng)及彈性界面附近的運(yùn)動(dòng)方程，然后討論了存在兩個(gè)彈性界面時(shí)粒子的閉合軌道，最后用計(jì)算機(jī)對(duì)帶電粒子的一些閉合軌道進(jìn)行了模擬。4.2理論模型和公式推導(dǎo)4.2.1帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程如圖1所示，質(zhì)量為，帶電量為-e的粒子，在電場(chǎng)F和磁場(chǎng)B（F//B）中運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)彈性界面垂直于Z軸，位于原點(diǎn)兩側(cè)，界面距離原點(diǎn)的距離分別為和。圖4.1帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)兩個(gè)彈性界面運(yùn)動(dòng)的圖示粒子的哈密頓為，矢勢(shì)A取為[7]。假定電場(chǎng)和磁場(chǎng)沿z軸方向，則，。若采用柱坐標(biāo)（），則粒子的哈密頓量用可表示為：PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要(4.2.1)其中，，根據(jù)哈密頓正則方程，，，可推導(dǎo)出帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)方程。(4.2.2)(4.2.3)其中，為帶電粒子的出射角，E為帶電粒子的能量。4.2.2帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道形成的條件下面，我們討論帶電粒子的出射向滿足什么條件時(shí)，粒子從原點(diǎn)出發(fā)后，又返回到原點(diǎn)，即形成一條閉合軌道。我們分幾種情況進(jìn)行討論；4.2.2.1粒子在運(yùn)動(dòng)中沒(méi)有碰到任何界面就形成閉合軌道（1）當(dāng)=0時(shí)，即粒子沿Z軸出射。當(dāng)粒子達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)(4.2.4)此時(shí)，，。因此，若，則粒子不碰到界面就返回原點(diǎn)形成閉合軌道，粒子的運(yùn)動(dòng)周期為。（2）當(dāng)=0時(shí)，由可知：時(shí)才可能形成閉合軌道。當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，由以上分析同理可知，，此時(shí)：若，即，則粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不碰到上界面。若粒子能形成閉合軌道，由得PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要，即，由得：當(dāng)時(shí)，粒子恰好回到原點(diǎn)。由此得粒子運(yùn)動(dòng)的初始角滿足，且時(shí)能開(kāi)成閉合軌道。4.2.2.2粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到一個(gè)界面后形成閉合軌道（1）粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到上界面后形成閉合軌道a.當(dāng)=0時(shí)，由前面的分析可知，若，則粒子碰到上界面后返回原點(diǎn)形成閉合軌道，粒子碰到上界面時(shí)，。由此推出，由對(duì)稱性可知粒子運(yùn)動(dòng)的周期為。b.當(dāng)時(shí)，由可知：時(shí)才可能形成閉合軌道，根據(jù)前面的分析，當(dāng)時(shí)，粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中碰到上界面，由于界面是完全彈性的，通過(guò)分析可以看出只有粒子初次碰到上界面時(shí)在處，此時(shí)軌道才為閉合的。設(shè)碰撞時(shí)時(shí)時(shí)間為。由于為遞減函數(shù)，所以只要保證即可。若軌道為閉合的，即滿足，。解以上方程得：，，周期。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（2）粒子在運(yùn)動(dòng)中只碰到下界面后形成閉合軌道a.當(dāng)=0時(shí)，若，則粒子不會(huì)碰到上界面，粒子碰到下界面后返回形成閉合軌道。b.當(dāng)時(shí)，則粒子沿Z軸負(fù)方向出射。此時(shí)粒子碰到下界面后才可能返回原點(diǎn)形成閉合軌道。經(jīng)計(jì)算粒子到達(dá)下界面的時(shí)間。由于對(duì)稱性，粒子一定能返回到原點(diǎn)。且粒子從碰撞后到原點(diǎn)的時(shí)間，故周期c.當(dāng)時(shí)，由于界面是完全彈性的，可以分析看出只有粒子不碰到上界面且初次碰到下界面時(shí)在處，此時(shí)軌道才為閉合的，設(shè)初次碰撞時(shí)間為，若軌道為閉合的，即滿足，以上方程，得：，周期。當(dāng)滿足以上條件時(shí)粒子只碰到下界面就形成閉合軌道。4.2.2.3粒子在運(yùn)動(dòng)中碰到兩個(gè)界面后才形成閉合軌道若粒子在運(yùn)動(dòng)中碰到兩個(gè)界面后才形成閉合軌道，在此情況下粒子滿足：恰好碰第一個(gè)界面時(shí)時(shí)。下面，分幾種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)=0時(shí)，即粒子沿Z軸出射。若，則粒子碰到上界面后返回碰到下界面后再返回形成閉合軌道。（2）當(dāng)時(shí)，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。由對(duì)稱性可知，若，則粒子先碰到下界面后返回碰到上界面后再返回形成閉合軌道。（3）時(shí)，由公式(4.2.2)，令z=，可知粒子初次到達(dá)上界面的時(shí)間為：(4.2.5)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要把帶入公式(4.2.3)得。經(jīng)過(guò)上界面的反彈以后，粒子到達(dá)下界面，同理可求出到達(dá)下界面的時(shí)間為(4.2.6)若此時(shí)粒子恰好碰到上界面時(shí)在處，則能形成閉合軌道，幫軌道閉合時(shí)有：(4.2.7)由上式解出即為形成閉合軌道時(shí)的初射角，軌道得周期。（4）時(shí)，由公式(4.2.2)，令可知粒子初次到達(dá)下界面時(shí)間為：(4.2.8)把代入公式(4.2.3)得。經(jīng)過(guò)下界面反彈后，粒子到達(dá)上界面，同理可求出粒子到達(dá)上界面時(shí)間為：(4.2.9)若此時(shí)粒子恰好碰到上界面時(shí)在處，則能形成閉合軌道。故閉合時(shí)由可解出，此即形成閉合軌道的初射角，周期為。4.3帶電粒子在平行電場(chǎng)和磁場(chǎng)及存在兩個(gè)彈性界面時(shí)閉合軌道的模擬在計(jì)算中，各參量的取值如下：B=2T，E=0.01eV，F(xiàn)=100V/cm。計(jì)算中采取原子單位制，，，。4.3.1當(dāng)E=0.01ed，F(xiàn)=100V/cm時(shí)，，故可以碰到上界面。閉合軌道形成的任何為：。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要當(dāng)j=1時(shí)，，此時(shí)粒子的閉合軌道如圖4.2（a）所示。當(dāng)j=2時(shí)，，此時(shí)粒子的閉合軌道如圖4.2（b）所示。圖4.2帶電粒子在平行電場(chǎng)中沒(méi)有碰到彈性界面時(shí)的閉合軌道當(dāng)j=3,4,5,6…時(shí)，經(jīng)計(jì)算均不滿足條件，故不存在閉合軌道。4.3.2I.當(dāng)時(shí)，粒子沿Z軸出射，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.3(a)所示。圖4.3帶電粒子在平行電場(chǎng)中沒(méi)有碰到彈性界面時(shí)的閉合軌道III.當(dāng)時(shí)，此時(shí)閉合軌道形成的條件為，且。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要當(dāng)j=1時(shí)，時(shí)。此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.3(b)所示。當(dāng)j=2,3,4…時(shí)，均不滿足條件,故不存在閉合軌道。4.3.3I.當(dāng)時(shí)，即粒子沿Z軸負(fù)方向出射。此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4(a)所示。II.當(dāng)時(shí)，此時(shí)閉合軌道形成的條件為：，且。當(dāng)j=1時(shí)，，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4中(b)所示。當(dāng)j=2時(shí)，，此時(shí)粒子閉合軌道如圖4.4中(c)所示。當(dāng)j=3,4,5…時(shí)，故此時(shí)不存在閉合軌道。圖4.4帶電粒子在平行電場(chǎng)中只與下界面碰撞時(shí)形成的閉合軌道4.4討論帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題，本章PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要就一種殊情況，電場(chǎng)和磁場(chǎng)平行的情況，從哈密頓正則方程出發(fā)討論了其運(yùn)動(dòng)方程。并根據(jù)其運(yùn)動(dòng)方程討論了有兩個(gè)彈性界面時(shí)的閉合軌道：通過(guò)計(jì)算可以看出，當(dāng)初始條件滿足一定關(guān)系時(shí)，確實(shí)能形成閉合軌道，并且軌道的數(shù)目與初始條件有關(guān)。最后根據(jù)討論的結(jié)果運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程繪出閉合軌道。本章的研究可以使我們更形象更直觀的了解帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況。對(duì)于很多負(fù)離子體系(如H體系)在均勻強(qiáng)外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，當(dāng)最外面的電子離原子核較遠(yuǎn)時(shí)，電子與原子核之間的庫(kù)侖勢(shì)和電子與強(qiáng)外場(chǎng)之間的作用勢(shì)相比便可以忽略不計(jì)，因此負(fù)離子體系在外場(chǎng)中得運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為電子在強(qiáng)外場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析，可為帶電粒子在電磁場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的研究打好理論基礎(chǔ)。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要5求解某些磁標(biāo)量滿足的拉普拉斯方程，電磁矢量滿足的亥姆霍茲方程5.1問(wèn)題與分析雙環(huán)靜電問(wèn)題是指真空中任意方向、任意位置處放置的軸線相交的兩個(gè)均勻帶電圓環(huán)靜電問(wèn)題，如圖5.1所示，求全空間中的電勢(shì)分布。圖5.1該問(wèn)題看似很簡(jiǎn)單，只要把雙環(huán)各自在周圍空間激發(fā)產(chǎn)生的電勢(shì)疊加起來(lái)就得到空間電勢(shì)解表達(dá)式了?？墒聦?shí)不然，因?yàn)槲覀兯闹皇菃苇h(huán)軸對(duì)稱的電勢(shì)解表達(dá)式，雙環(huán)時(shí)空間已不再具備軸對(duì)稱性，沒(méi)法直接引用軸對(duì)稱電勢(shì)解簡(jiǎn)單相加來(lái)完成，誠(chéng)然還有一個(gè)辦法，那就是進(jìn)行坐標(biāo)變換——把非對(duì)稱環(huán)在帶撇號(hào)坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱解變換到不帶撇號(hào)坐標(biāo)系中的電勢(shì)解，然后再作疊加實(shí)現(xiàn)，但坐標(biāo)變換關(guān)系比較復(fù)雜不易導(dǎo)出電勢(shì)解析式。本章我們避開(kāi)疊加原理與坐標(biāo)變換而使用均勻帶電圓環(huán)在球坐標(biāo)中的特定球面上電荷密度表象、勒讓德函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)法、球函數(shù)的加法定理、分區(qū)分離變量法解電勢(shì)拉普拉斯方程結(jié)合分區(qū)界面上的邊值關(guān)系得到雙環(huán)電勢(shì)問(wèn)題的解析解，并作簡(jiǎn)單討論。5.2雙環(huán)電荷的面電荷密度的表象與勒讓德函數(shù)形式級(jí)數(shù)展開(kāi)如圖5.1所示，我們以雙環(huán)軸線的交點(diǎn)為球坐標(biāo)原點(diǎn)，環(huán)1的軸線為Z軸，環(huán)1的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，0，0)，環(huán)1半徑為n，帶電總量是；環(huán)2軸線方向在PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要直角坐標(biāo)OXYZ相應(yīng)的球坐標(biāo)經(jīng)緯角為和上，環(huán)2的環(huán)心位于球坐標(biāo)(，，)，半徑為，帶電總量為。于是由幾何關(guān)系有,,R1=,R1=(5.2.1)而由于環(huán)1在OXYZ直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)(r,,)中半徑為的球面上的電荷面密度表象為(5.2.2)環(huán)2在直角坐標(biāo)相應(yīng)的球坐標(biāo)（）中的半徑的球面上的電荷面密度表象是(5.2.3)把(5.2.2)、(5.2.3)兩式在各自球坐標(biāo)中按勒讓德函數(shù)展開(kāi)，即得(5.2.4)(5.2.5)而，所以由球函數(shù)的加法定理有(5.2.6)用連帶勒讓德函數(shù)表示，即代入得(5.2.7)把(5.2.7)代入(5.2.5)得(5.2.8)5.3分區(qū)解拉普拉斯議程并用邊界條件與邊值關(guān)系確定系數(shù)建立如圖1所示OXYZ直角坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)系（）下分離變量解電勢(shì)拉普拉期議程并應(yīng)用自然邊界條件有PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（）(5.3.1)(5.3.2)(5.3.3)注意到在分區(qū)球面上電勢(shì)應(yīng)滿足邊值關(guān)系即(5.3.4)(5.3.5)比較(5.3.4)、(5.3.5)式中的球諧函數(shù)的系數(shù)或應(yīng)用球諧函數(shù)正交性有(5.3.6)(5.3.7)同樣在球面上電勢(shì)應(yīng)滿足邊值關(guān)系故(5.3.8)(5.3.9)比較球諧函數(shù)系數(shù)，從而有(5.3.10)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要(5.3.11)解(5.3.6)、(5.3.7)、(5.3.10)和(5.3.11)式得(5.3.12)(5.3.13)(5.3.14)(5.3.15)（r≤）(5.3.16)（≤r≤）(5.3.17)（≤r）(5.3.18)5.4特例與拓展5.4.1①當(dāng)，時(shí)，雙環(huán)靜電呈軸對(duì)稱性（），其電勢(shì)解析為(5.4.1)(5.4.2)(5.4.3)它們完全表現(xiàn)為電勢(shì)疊加形式。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要②非對(duì)稱帶電環(huán)在原點(diǎn)位于軸線上球坐標(biāo)中的電勢(shì)解是(5.4.4)(5.4.5)式中Q為帶電總環(huán)總電量，為環(huán)半徑，和為帶電環(huán)軸線在球坐標(biāo)中經(jīng)緯角。5.4.1當(dāng)真空中放置n個(gè)均勻帶圓環(huán)且各環(huán)軸線相交于一個(gè)公共點(diǎn)，n個(gè)圓環(huán)各自位于以軸線交點(diǎn)發(fā)原點(diǎn)的不同球面上，則可將電場(chǎng)空間分割成n+1個(gè)場(chǎng)區(qū)，應(yīng)用上述環(huán)電荷面密度表象、分區(qū)解電勢(shì)拉普拉斯方程得到問(wèn)題解。當(dāng)n個(gè)帶電環(huán)中出現(xiàn)部分帶電環(huán)位于相同球面上或所有帶電環(huán)均勻位于同一球面上時(shí)，僅有電場(chǎng)空間分區(qū)數(shù)變少，而它仍然可用以上方法解答問(wèn)題.同球面上有多個(gè)環(huán)時(shí)，其電荷面密度的疊加。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要6應(yīng)用麥克斯韋應(yīng)力張量計(jì)算某些電磁作用力6.1問(wèn)題的提出在用洛倫茲力公式計(jì)算帶電體或載有電流的物體所受的電磁作用力時(shí)，必須除去受力電荷或受力電流本身的場(chǎng)才能得到正確的結(jié)果。即式中的需是除去受力電荷本身后其它所有電荷在所求點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)[l]；同樣是除去受力電流后其它所有電流在所求點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。但在很多情況下，往往遇到總場(chǎng)較易求出，而較難分清在總場(chǎng)中哪些是受力電荷或電流本身產(chǎn)生的場(chǎng)，哪些是其它電荷或電流產(chǎn)生的場(chǎng)。本章認(rèn)為，在可以計(jì)算出總場(chǎng)的情況下，用總場(chǎng)導(dǎo)出的麥克斯韋應(yīng)力張量來(lái)直接計(jì)算電磁力，避免了對(duì)總場(chǎng)中成分組成的復(fù)雜討論，也是一種普適的方法。在以往的一些文獻(xiàn)中對(duì)用麥克斯韋應(yīng)力張量來(lái)直接計(jì)算電荷間的電作用力已作過(guò)很多討論，但用該方法計(jì)算磁作用力的例子卻很少。本章試圖通過(guò)例子說(shuō)明，在討論電流間的磁作用力時(shí)，該方法同樣適用。6.2麥克斯韋方程的一種討論描述宏觀電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程組,是大家早已熟悉的,為以下敘述方便,不妨再予列出。當(dāng)選取,,則C＝1時(shí)，方程組的微分形式為（6.2.1（6.2.2（6.2.3（6.2.4在方程組中,已包含了所謂電荷守恒定律,即電流密度與電荷密度滿足的連續(xù)性方程（6.2.5另外,當(dāng)帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí),受到洛侖茲力的作用（6.2.6PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要這一組著名的電磁場(chǎng)理論的基本方程表明,不僅電荷與電流在激發(fā)電磁場(chǎng)，而且變化的電磁場(chǎng)也在相互激發(fā)。但我們?nèi)缂?xì)心地觀察麥克斯韋方程組,就會(huì)發(fā)現(xiàn),方程組中關(guān)于場(chǎng)源項(xiàng)是沒(méi)有對(duì)稱性的，方程(6.2.1)、(6.2.2)是非齊次方程，表明在自然界中存在著作為場(chǎng)源的電荷與電流；而(6.2.3)、(6.2.4)兩齊次方程，則表明自然界中不存在磁荷與磁流，也就是說(shuō)，自然界中還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)磁荷這種物質(zhì)，磁單極不存在，對(duì)此問(wèn)題安培曾從理論上作過(guò)所謂的“安培假說(shuō)”，而且僅僅是“假說(shuō)”。但是，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克卻于1931年根據(jù)電動(dòng)力學(xué)、量子力學(xué)，作出了令人十分信服的推測(cè)，他在《量子場(chǎng)論講義》文獻(xiàn)中曾作過(guò)表述：即具有一定條件(量子化)的磁單極子能與薛定諤的波函數(shù)一致地存在。這一推測(cè)一經(jīng)提出,立即吸引了大量的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家去尋找磁單極子，同時(shí)也給理論工作者提出了許多新的課題。特別在電動(dòng)力學(xué)中，如果存在磁單極子的話，那么，則應(yīng)對(duì)麥克斯韋方程組進(jìn)行修改，以便適用于電荷與磁荷(磁單極子)并存的情形。從這一思路出發(fā),在假定磁荷(磁單極)存在的情況下，筆者試對(duì)以上麥克斯韋方程組進(jìn)行如下細(xì)致的討論，從而得到一組非常對(duì)稱的麥克斯韋方程組。首先，假設(shè)在自然界中除了存在電荷外，還存在著磁荷(磁單極)。這時(shí)在場(chǎng)的概念下，由于磁荷(磁單極)的存在，使得通過(guò)封閉曲面的磁通量一般不再為零。設(shè)磁荷分布具有體密度,則有（6.2.7(6.2.7)式表明,磁荷是磁場(chǎng)的源，也就是磁力線的源，這是我們修改的第一個(gè)方程。與處理電荷的方法相類似，設(shè)當(dāng)磁荷運(yùn)動(dòng)時(shí)形成磁流時(shí)，在一個(gè)小體積內(nèi)，磁荷隨時(shí)間的減少量，應(yīng)等于流出小體積表面的磁荷量。在數(shù)學(xué)上處理，就是磁流密度與磁荷密度滿足連續(xù)性方程（6.2.8根據(jù)這個(gè)方程，我們很容易把另一個(gè)齊次方程(6.2.4（6.2.9為把這組方程組改寫(xiě)為四維洛侖茲協(xié)變形式，我們引用電磁場(chǎng)張量（6.2.10）式和四維矢量（6.2.12）～（6.PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（6.2.10（6.2.11（6.2.12（6.2.13(注意，此時(shí)，電磁場(chǎng)張量已不再具有的關(guān)系式了，也失去原來(lái)的意義)顯然以上對(duì)于沒(méi)有作修改的含電荷、電流的方程（6.2.1）、（6.2.2）其四維形式應(yīng)還保持為我們已知的形式（6.2.1而方程(6.2.7)、(6.此式左邊是三階張量,但從方程(6.2.7)、(6.2.9)知,它的右邊應(yīng)為四維矢量。顯然這個(gè)式子已不能再使用了。那么用什么方法去寫(xiě)新的協(xié)變式呢?仔細(xì)觀察方程(6.2.7)、(6.2.9),對(duì)方程(6.2.1)、(6.2.2),可以發(fā)現(xiàn)這兩對(duì)方程,在形式上有著極為相似之處。這就給我們以啟發(fā),是否能尋找到一個(gè)與有一定關(guān)系的新的電磁場(chǎng)張量,使得電磁場(chǎng)張量中的、位置對(duì)調(diào),如果這個(gè)新張量存在,則能把方程(6.2.7)、(6.2.9)寫(xiě)成類似于(6.2.14)式的形式。為此,我們引入一個(gè)四階反對(duì)稱張量,考慮一個(gè)新的電磁場(chǎng)張量（6.2.15經(jīng)計(jì)算，易得(6.2.16PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要利用此式(6.2.7)、(6.(6.2.17(6.2.14)、(6.2.1、首先,我們看到新方程組的形式是完全對(duì)稱的。四維磁流密度與電流密度對(duì)稱地出現(xiàn)在新的麥克斯韋方程組中,這表明,不僅電荷、電流以及變化的電磁場(chǎng)在激發(fā)著電磁場(chǎng),而且磁荷、磁流也在同樣激發(fā)著電磁場(chǎng)。電磁場(chǎng)的源包括電荷、磁荷、電流和磁流。當(dāng)給定了空間的電荷、磁荷分布以及它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)后,這組麥克斯韋方程就能給出空間電磁場(chǎng)的分布,而這一組方程便是新情況下(假定磁荷存在)的電磁場(chǎng)理論的基本方程。我們分別對(duì)上面兩個(gè)四維協(xié)變方程求其四維散度,有由式（6.2.10）、（6.2.16）知，、均為二階反對(duì)稱張量。我們先討論的情況，由有上面的運(yùn)算,運(yùn)用了反對(duì)稱的性質(zhì),交換了指標(biāo),因而這就是四維形式的電荷、磁荷守恒定律。它們很自然地包含在新的麥克斯韋方程組內(nèi),它們的矢量形式即為(6.2.5)式和(6.2、我們已經(jīng)把麥克斯韋方程組寫(xiě)為四維洛侖茲協(xié)變形式,這表明當(dāng)從一個(gè)慣性系變換到另外一個(gè)慣性系時(shí),方程(6.2.14)、(6.PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要們考慮實(shí)際空間時(shí),可以把上述方程推廣到引力空間去。這還表明在非慣性系中,協(xié)變性仍然成立,由此可見(jiàn),由于能夠把含磁荷的麥克斯韋方程組寫(xiě)成協(xié)變形式,因而磁荷的存在是符合狹義相對(duì)論乃至廣義相對(duì)論中的相對(duì)性原理的。從時(shí)空觀、引力場(chǎng)的角度來(lái)看,磁荷是有其物理意義的。3、最后再談一下洛侖茲力的情況。我們由(6.2.6)式知道了只帶電荷的粒子受到的洛侖茲力的情形,但若一個(gè)粒子既帶有電荷,又帶有磁荷,那么情況又應(yīng)如何呢?為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們首先考慮一個(gè)只帶磁荷的粒子。設(shè)磁荷量為其中k為待定系數(shù)(與單位制有關(guān))。可以預(yù)料,在以C為1的速度單位制中,，這是由于電場(chǎng)、磁場(chǎng)強(qiáng)度在麥克斯韋方程組(6.2.1)、(6.2.2)、(6.2.7)、(6.2.9)中不對(duì)稱的緣故。它可由相對(duì)論的變換來(lái)驗(yàn)證,限于篇幅,引入四維力矢量它由電磁場(chǎng)張量、和構(gòu)成容易驗(yàn)證,它滿足這樣,我們把粒子滿足的四維形式的運(yùn)動(dòng)方程寫(xiě)為它適用于慣性系,描述了具有電磁荷并存的粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。按照四維動(dòng)量的定義,上面兩方程又可以寫(xiě)為從這里我們可以得到一個(gè)與過(guò)去不同的結(jié)論:當(dāng)電荷、磁荷同時(shí)存在時(shí),不僅電場(chǎng)力作功,磁場(chǎng)力也作功,此時(shí)電場(chǎng)與磁場(chǎng)是完全等價(jià)的。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要我們初步推斷了磁荷存在時(shí),麥克斯韋方程組的形式、協(xié)變式、粒子的運(yùn)動(dòng)等一些電動(dòng)力學(xué)的結(jié)果。磁單極子是一個(gè)廣博的課題,在電動(dòng)力學(xué)中,我們要尋找新的哈密頓函數(shù)、拉格朗日函數(shù)及新的電磁能量———?jiǎng)恿繌埩?以便建立新的量子電動(dòng)力學(xué)。在量子力學(xué)中,利用磁單極子的量子化條件,可以解釋電荷的量子性這個(gè)最普遍但也是最深?yuàn)W的概念。遺憾的是,至今沒(méi)有在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)磁單極子?？梢栽O(shè)想,一旦磁單極子被驗(yàn)證是存在的話,則電動(dòng)力學(xué)、場(chǎng)論、量子場(chǎng)論將不可避免地發(fā)生變革,物理學(xué)將又會(huì)發(fā)生一場(chǎng)革命。6.3麥克斯韋應(yīng)力張量設(shè)單位時(shí)間電磁場(chǎng)對(duì)體積V內(nèi)的載荷體的電磁作用力為(其中為洛倫茲力力密度)。按照經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，如果動(dòng)量要在電磁作用下也守恒，那末電磁場(chǎng)本身必須具有動(dòng)量，并且能相應(yīng)地改變自己的動(dòng)量，以使整個(gè)體系的動(dòng)量保持守恒。我們用季來(lái)表示電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度，則是體積V內(nèi)電磁動(dòng)量的增量。電磁場(chǎng)在傳播時(shí)，它的動(dòng)量也會(huì)流動(dòng)，動(dòng)量流密度必須用二階張量來(lái)表示．對(duì)任意面元，，表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)此面元的電磁動(dòng)量。設(shè)V內(nèi)的載荷體和電磁場(chǎng)的總動(dòng)量在電磁作用下依然守恒，則必有下列方程成立。(6.3.1)式中的應(yīng)為單位時(shí)間內(nèi)流入體積V的電磁動(dòng)量?？梢詮柠溈怂鬼f方程組和洛倫茲力公式導(dǎo)出動(dòng)量流密度張量的具體形式。（6.3.2）如果用表示(6.3.1)式中載荷體受的作用，則方程(6.3.1)可改寫(xiě)為：(6.3.3)在穩(wěn)恒電磁場(chǎng)的情況下，(6.3.3)式左邊第二項(xiàng)為零，因表示單位時(shí)間內(nèi)流入體積V的電磁動(dòng)量。那末對(duì)體積V表現(xiàn)的任一面元來(lái)說(shuō)，可理解為PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要前方的電磁場(chǎng)對(duì)后方的電磁場(chǎng)的應(yīng)力。我們可以引入電磁場(chǎng)應(yīng)力張量（6.3.4）來(lái)表示這一作用。此時(shí)作用于包圍載荷體團(tuán)曲面邊界上的電磁應(yīng)力為（6.3.5）電磁力是依靠場(chǎng)傳遞的，上式表示的電磁應(yīng)力也就是電磁場(chǎng)作用于載荷體上的電磁力。因此，從（6.3.56.4.用應(yīng)力張量計(jì)算磁作用用電磁應(yīng)力的計(jì)算方法除了可以直接計(jì)算電作用力外，同樣可計(jì)算電流的磁相互作用力。下面讓我們看一個(gè)例子。半徑為，面電荷密度為的均勻帶電求殼以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)（圖6.1），求兩半球面之間的磁吸引力。圖6.1從題意可知該放置的均勻帶電球殼的面電流密度為(6.4.1)可解得球內(nèi)外的磁標(biāo)勢(shì)分別為從而求得球內(nèi)外磁場(chǎng)為：（r<）(6.4.2)（r>）(6.4.3)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要在只有磁場(chǎng)的情況下，電磁場(chǎng)應(yīng)力張量為：(6.4.4)取半球面（）及，的圓平面組成閉合曲面，應(yīng)力由兩部分組成，一是對(duì)的半球面作用的磁應(yīng)力，二是對(duì)的平面作用的磁應(yīng)力。（1）對(duì)的半球面作用的磁應(yīng)力將球外磁場(chǎng)用直角坐標(biāo)表示，有：球面上磁場(chǎng)的各分量分別為：球面面元為：(6.4.5)由于對(duì)稱性，作用在半球面上的應(yīng)力只有Z方向的分量。面元上的應(yīng)力為：(6.4.6)這樣，作用在半球面上的應(yīng)力為：(6.4.7)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要（2）對(duì)的平面作用的磁應(yīng)力(6.4.8)面元上的應(yīng)力為：(6.4.9)這樣作用在的平面作用的磁應(yīng)力為：(6.4.10)作用在閉合面上的總磁應(yīng)力也即作用在上半球面電流上的磁力為：(6.4.11)寫(xiě)成矢量式為：(6.4.12)其中負(fù)號(hào)表示該力是受另一半球面電流的磁吸引力。6.5用虛功原理計(jì)算單芯偏心電纜單位長(zhǎng)度的靜電力6.5.1單芯偏心電纜單位長(zhǎng)度的電容單芯偏心電纜可看做半徑為R1的空心圓柱套半徑為的圓柱，兩柱的軸線平行且相距為,設(shè)其空間為真空，如圖6.2所示。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要圖6.2單芯偏心電纜為研究問(wèn)題方便，設(shè)該電纜為直無(wú)限長(zhǎng)，因此垂直于電纜軸線的所有截面中的電場(chǎng)分布都相同，取其中一個(gè)截面如圖6.3所示，兩圓柱的橫截面為兩個(gè)圓。圖6.3單芯偏心電纜的橫截面和，以圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)、兩圓的連心線為軸建立平面。取軸上的、兩點(diǎn)為兩圓的鏡像對(duì)稱點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為和，則由對(duì)稱點(diǎn)的定義，得(6.5.1)解方程組(6.5.1)得(6.5.2)為把偏心電纜變換為同軸電纜而計(jì)算其電容，需將平面上的圓和變換為平面上的兩同心圓，故可作如下的分式線性變換PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要(6.5.3)這樣，平面上的半徑分別為R1和、圓心相距為的兩偏心圓和，就對(duì)應(yīng)著平面上的半徑分別為和的兩同心圓和，如圖6.4所示。圖6.4平面上的兩同心圓為了計(jì)算該電纜單位長(zhǎng)度的電容，還需進(jìn)一步確定圓和的半徑和與R1、及的關(guān)系。在平面的圓上取一點(diǎn)，再在圓上取一點(diǎn)，分別代入(6.5.3)式并取的模并注意到，經(jīng)計(jì)算得=(6.5.4)(6.5.5)通過(guò)以上所作的分式線性變換，便將平面上的半徑分別為R1和、圓心相距為的兩偏心圓和，變換為平面上的半徑分別為和的兩同心圓和。由于兩圓和在平面上式同心圓，電場(chǎng)式堆成分布的，故得該電纜單位長(zhǎng)度的電容量為(6.5.6)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要其中為平面上每單位長(zhǎng)度的電容量。由于保角變換并不改變電纜的電容量，因此平面上每單位長(zhǎng)度的電容量為(6.5.7)6.5.2單芯偏心電纜所受的靜電力由電容器電能公式知，當(dāng)電纜電荷線密度為時(shí)，得單位長(zhǎng)度電纜的電場(chǎng)能量為(6.5.8)對(duì)于(6.5.8)而言，當(dāng)時(shí)，偏心電纜過(guò)渡到同心電纜，(6.5.8)式也變化為單位長(zhǎng)度的同軸電纜的電能公式當(dāng)電纜電荷線密度為保持不變時(shí)，設(shè)單芯偏心電纜空心圓柱軸線相距為r，則由虛功原理得單位長(zhǎng)度的電纜所受的靜電力為(6.5.9)式(6.5.9)為單芯偏心電纜芯所受電場(chǎng)力的計(jì)算公式。其中。單芯偏心電的圓柱與空心圓柱之間的相互作用力等大反向，滿足牛頓第三定律，相互作用力指向相互作用能減少的方向。6.6橫截面為透鏡形的柱狀分布電荷的電場(chǎng)6.6.1將帶電柱體的透鏡形在真空中有電荷線密度為PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要橫截面為透鏡形的均勻帶電柱體，設(shè)帶電柱體的橫截面為圓和圓的公共部分D，并且為無(wú)限長(zhǎng)，因此垂直于柱體軸線的所有截面上的電場(chǎng)分布均相同，為平行平面場(chǎng)，取其中一個(gè)截面如圖6.5所示，并以透鏡中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。圖6.5柱形帶電體的透鏡形截面為了使用高斯定理計(jì)算該帶電柱體內(nèi)外的電場(chǎng)，需通過(guò)保角變換將帶電柱體的透鏡形截面變換為單位圓。因?yàn)閳A和圓的交點(diǎn)為，故可先通過(guò)分式線性變換(6.6.1)將圓周變換為直線，圓變換為直線，即將區(qū)域D保角地變?yōu)?，?jiàn)圖6.6作旋轉(zhuǎn)變換圖6.6分式線性變換后的帶電體截面(6.6.2)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要可將區(qū)域變換為角形域，見(jiàn)圖6.7。圖6.7旋轉(zhuǎn)變換后的帶電體截面再作冪函數(shù)變換(6.6.3)將角形域變換為上半平面，見(jiàn)圖6.8。最后，用分式線性變換圖6.8冪函數(shù)變換后的帶電體截面最后，用分式線性變換(6.6.4)將上半平面變換為單位圓見(jiàn)圖6.9。PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要圖6.9分式線性變換后的帶電體截面因此，復(fù)合變換函數(shù)(6.6.5)可將區(qū)域D保角變換為圓盤(pán)，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)著帶電柱體的透鏡形截面，而單位圓外部與帶電柱體外無(wú)限大區(qū)域相對(duì)應(yīng)。經(jīng)上述變換后，橫截面為透鏡形的柱狀分布電荷，映射為圓柱分布的電荷，電場(chǎng)的分布具有軸對(duì)稱性。6.6.2帶電柱體內(nèi)部的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)由高斯定理得電場(chǎng)強(qiáng)度在的單位圓域內(nèi)的分布為(6.6.6)上式中的。由變換函數(shù)(6.6.5)得(6.6.7)將式(6.6.7)代入式(6.6.6)，可得帶電柱體內(nèi)部的電勢(shì)分布為(6.6.8)PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要式(6.6.8)即為無(wú)限長(zhǎng)的橫截頁(yè)為透鏡形帶柱體內(nèi)部的電表達(dá)式。其中。上式中的為電勢(shì)的參考點(diǎn)，選取平頁(yè)坐標(biāo)原點(diǎn)處（透鏡中心）的電勢(shì)為零，即選取無(wú)限長(zhǎng)的橫截頁(yè)為透鏡形的帶電柱體的對(duì)稱軸為電勢(shì)參考點(diǎn)。由電勢(shì)和與場(chǎng)強(qiáng)的微分關(guān)系，得(6.6.9)式(6.6.9)即為無(wú)限長(zhǎng)的透鏡形截頁(yè)帶電體柱內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)的矢量表達(dá)式。6.6.3帶電柱體外部的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)由高斯定理得電場(chǎng)強(qiáng)度的單位圓域外的分布為(6.6.10)由此可得帶電柱體內(nèi)、的電勢(shì)分布為(6.6.11)將式代入式(6.6.8)得PAGE48重慶師范大學(xué)碩士學(xué)位論文中文摘要(6.6.12)式(6.6.12)即為無(wú)限長(zhǎng)的透鏡形截頁(yè)帶電柱體外