2014-2-11圓錐曲線知識點歸納

PAGE2-11圓錐曲線知識點歸納橢圓的定義、性質及標準方程1.橢圓的定義：⑴第一定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。⑵第二定義：動點到定點的距離和它到定直線的距離之比等于常數，則動點的軌跡叫做橢圓。定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數叫做橢圓的離心率。說明：①若常數等于，則動點軌跡是線段。②若常數小于，則動點軌跡不存在。2.橢圓的標準方程、圖形及幾何性質：標準方程中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上圖形范圍頂點對稱軸軸、軸；長軸長，短軸長；焦點在長軸上軸、軸；長軸長，短軸長；焦點在長軸上焦點焦距離心率準線參數方程與普通方程的參數方程為的參數方程為3.焦半徑公式：橢圓上的任一點和焦點連結的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點在軸上時，設分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上任一點，則，。推導過程：由第二定義得（為點到左準線的距離），則；同理得。簡記為：左“＋”右“－”。由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標有關的數。若焦點在軸上，則為。有時為了運算方便，設。判定直線與橢圓位置關系的非常規(guī)方法定理1:設、分別是橢圓的左、右焦點，點P是直角坐標平面中的任意一點，則（1）點P在橢圓上.（2）點P在橢圓外.（3）點P在橢圓內.證明:(1)由橢圓的定義直接可得這個結論.(2)1)當點P在橢圓外時:如圖,連結交橢圓于點M,則>即成立.即:點P在橢圓外(3)1)當點P在橢圓內時:如圖,連結并延長交橢圓于點M,則<即成立.即:點P在橢圓內(2)2)當時:若點P在橢圓上,則有得矛盾若點P在橢圓內,則有得矛盾∴點P在橢圓外.即點P在橢圓外.(3)2)同理可得點P在橢圓內.定理2：設直線上的動點P到橢圓兩焦點、的距離和的最小值為,則（1）直線和橢圓C相切；（2）直線和橢圓C相離；（1）直線和橢圓C相交；證明:(1)直線和橢圓C相切直線和橢圓C有且僅有一個公共點 直線上有且僅有一個點在橢圓上,而其它點全在橢圓外 的最小值為(2)直線和橢圓C相離直線上的所有點都在橢圓C的外部恒成立 (3)直線和橢圓C相交直線上至少存在一點P在橢圓C的內部直線上至少存在一點P使成立注:容易驗證對于焦點在軸上的橢圓,上述結論也成立.定理3：已知：直線橢圓，則（1）；（2）；（3）。證明：作坐標變換：則在新坐標系中橢圓C變成曲線的方程為：（已化為單位圓），直線l變成直線的方程為，易見坐標變換前后直線和曲線的位置關系（公共點的個數）保持不變；在中，由于圓心到直線的距離∴和橢圓C相交和單位圓相交同理：和橢圓C相切//////////和橢圓C相離例1已知:橢圓C以兩坐標軸為對稱軸，焦點在x軸上，且與兩直線均相切，求：橢圓C的方程。解：設橢圓的方程為：∵橢圓和直線相切∴由定理3可知：又∵橢圓和直線相切∴由解得∴橢圓的方程為：雙曲線的定義、方程和性質知識要點：定義（1）第一定義：平面內到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定長2a（小于|F1F2|說明：①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|若2a=|F1F2|，軌跡是以F1、F2為端點的射線；2a>|F1F2②設M是雙曲線上任意一點，若M點在雙曲線右邊一支上，則|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，這是與橢圓不同的地方。（2）第二定義：平面內動點到定點F的距離與到定直線L的距離之比是常數e（e>1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線L叫相應的準線。雙曲線的方程及幾何性質標準方程圖形焦點F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2（0，c）頂點A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對稱軸實軸2a，虛軸2b，實軸在x軸上，c2=a2+b2實軸2a，虛軸2b，實軸在y軸上，c2=a2+b2離心率準線方程準線間距離為準線間距離為漸近線方程幾個概念等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=±x，離心率為。共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：的共軸雙曲線是。雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；②雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標準方程與幾何性質一、拋物線定義的理解平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點為拋物線的焦點，定直線為拋物線的準線。注：=1\*GB3①定義可歸結為“一動三定”：一個動點設為；一定點（即焦點）；一定直線（即準線）；一定值1（即動點到定點的距離與它到定直線的距離之比1）=2\*GB3②定義中的隱含條件：焦點不在準線上。若在上，拋物線退化為過且垂直于的一條直線=3\*GB3③圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內與一定點和定直線的距離之比為常數的點的軌跡，當時，表示橢圓；當時，表示雙曲線；當時，表示拋物線。=4\*GB3④拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯系起來，通過這種轉化使問題簡單化。二、拋物線標準方程1．拋物線標準方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立直角坐標系，這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用。2．四種標準方程的聯系與區(qū)別：由于選取坐標系時，該坐標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種不同的形式。拋物線標準方程的四種形式為：，，其中：=1\*GB3①參數的幾何意義：焦參數是焦點到準線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。=2\*GB3②標準方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項，右邊是另一變量的一次項，方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是，若的一次項前符號為正，則開口向右，若的一次項前符號為負，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項變量就是，當的一次項前符號為正，則開口向上，若的一次項前符號為負，則開口向下。三、求拋物線標準方程求拋物線方程時，要依據題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標準方程.=1\*GB3①待定系數法：因拋物線標準方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數，因此要做到“先定位，再定值”。注：當求頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線時，若不知開口方向，可設為或，這樣可避免討論。=2\*GB3②拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標準形式，可直接設其標準式；若不確定是否是標準式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質方程設拋物線性質焦點范圍對稱性頂點離心率準線通徑關于軸對稱原點注：=1\*GB3①焦點的非零坐標是一次項系數的；=2\*GB3②對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質也有所不同，應弄清它們的異同點，數形結合，掌握方程與有關特征量，有關性質間的對應關系，從整體上認識拋物線及其性質。五、直線與拋物線有關問題1．直線與拋物線的位置關系的判斷：直線與拋物線方程聯立方程組，消去或化得形如（*）的式子：=1\*GB3①當時，（*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合；=2\*GB3②當時，若△＞0（*）式方程有兩組不同的實數解直線與拋物線相交；若△=0（*）式方程有兩組相同的實數解直線與拋物線相切；若△＜0（*）式方程無實數解直線與拋物線相離.

2．直線與拋物線相交的弦長問題=1\*GB3①弦長公式：設直線交拋物線于，則或.=2\*GB3②若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時,借助于焦半徑公式處理：拋物線上一點的焦半徑長是，拋物線上一點的焦半徑長是六、拋物線焦點弦的幾個常用結論設為過拋物線焦點的弦，設，直線的傾斜角為，則①；②；③以為直徑的圓與準線相切；④弦兩端點與頂點所成三角形的面積；⑤；=6\*GB3⑥焦點對、在準線上射影