概率作業(yè)B答案 及概率統(tǒng)計(jì)第3章答案

普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材隨機(jī)數(shù)學(xué)（B）標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)簡答吉林大學(xué)公共數(shù)學(xué)中心2013.2班級學(xué)號：姓名：第一次作業(yè)一、填空題1．解：應(yīng)填.分析：樣本空間含基本事件總數(shù)，事件所含基本事件數(shù)為10個，即（1,2），（2，3）…，（9,10），（10,1）共10個，故所求概率為.2．應(yīng)填0.6.分析:,故3．應(yīng)填．4.應(yīng)填.5．應(yīng)填．6．應(yīng)填．二、選擇題1．（D）．2.（C）．3．（B）．4.（C）．5．（C）．6.（A）.三、計(jì)算題1．將只球隨機(jī)地放入個盒子中，設(shè)每個盒子都可以容納只球，求：（1）每個盒子最多有一只球的概率；（2）恰有只球放入某一個指定的盒子中的概率；（3）只球全部都放入某一個盒子中的概率．解：此題為古典概型，由公式直接計(jì)算概率.（1）.（2）.（3）.2．三個人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知每個人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解：設(shè)表示事件“第個人譯出密碼”，B表示事件“至少有一人譯出密碼”.則.3．隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸夾角小于的概率.解：此為幾何概型問題.設(shè)A表示事件“原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與軸夾角小于”.則.4．儀器中有三個元件,它們損壞的概率都是0.2,并且損壞與否相互獨(dú)立.當(dāng)一個元件損壞時,儀器發(fā)生故障的概率為0.25,當(dāng)兩個元件損壞時,儀器發(fā)生故障的概率為0.6,當(dāng)三個元件損壞時,儀器發(fā)生故障的概率為0.95,當(dāng)三個元件都不損壞時,儀器不發(fā)生故障.求：（1）儀器發(fā)生故障的概率；（2）儀器發(fā)生故障時恰有二個元件損壞的概率.解:設(shè)A表示事件“儀器出現(xiàn)故障”，Bi表示事件“有i個元件出現(xiàn)故障”，i=1，2，3.（1），，，.所以.（2）.5．在100件產(chǎn)品中有10件次品；現(xiàn)在進(jìn)行5次放回抽樣檢查，每次隨機(jī)地抽取一件產(chǎn)品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．解：設(shè)表示取到件次品，（1）（2）四、證明題1．設(shè)，證明事件與相互獨(dú)立．證明：由定義證明.所以事件與相互獨(dú)立．2．設(shè)事件的概率，證明與任意事件都相互獨(dú)立．證明：設(shè)B為任意事件，顯然,從而，即，滿足，故與任意事件都相互獨(dú)立．

第二次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填.2.應(yīng)填-113P0.40.40.23．應(yīng)填．4．應(yīng)填．5．應(yīng)填．6.應(yīng)填．7.應(yīng)填．二、選擇題1.（D）.2.（D）.3．（A）．4．（B）．5．（D）．6.（C）.7．（C）．三、計(jì)算題1．一批產(chǎn)品由9個正品和3個次品組成，從這批產(chǎn)品中每次任取一個，取后不放回，直到取得正品為止．用表示取到的次品個數(shù)，寫出的分布律和分布函數(shù)．解：的分布律為0123P的分布函數(shù)為2．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為-2-10123P0.100.200.250.200.150.10（1）求的概率分布；（2）求的概率分布．解：倒表即可.-2-10123P0.100.200.250.200.150.10Y420-2-4-6Z410149即Y-6-4-2024P0.100.150.200.250.200.10Z0149P0.250.400.250.103．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）的值；（2）的分布函數(shù)．解：（1）由，得.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，.4．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，求：，．解：5．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求：（1）常數(shù)、．（2）隨機(jī)變量落在內(nèi)的概率．（3）的概率密度函數(shù)．解：（1），得（2）（3）的概率密度函數(shù)6．已知隨機(jī)變量的概率密度為且求（1）常數(shù)的值；（2）解:（1）由，再由解得.（2）7．已知隨機(jī)變量的概率密度為又設(shè)求：（1）Y的分布律；（2）計(jì)算.解：（1）分布律為-11（2）.8．已知隨機(jī)變量的概率密度為求：隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)．解：設(shè)Y的分布函數(shù)為.當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此Y的概率密度函數(shù)為四、證明題1.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，證明：仍然服從正態(tài)分布，并指出參數(shù).解：教材59頁例題.2.設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，證明：服從上的均勻分布．解：設(shè)的分布函數(shù)為取值范圍為.當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此Y的概率密度函數(shù)為

第三次作業(yè)一、填空題1．的分布律為010.160.842.，.3．應(yīng)填0.4．應(yīng)填．5．應(yīng)填6.應(yīng)填3.7.應(yīng)填．二、選擇題1.（B）.2．（B）．3．（A）.4．（C）．5．（D）．6．（D）.7.（B）.三、計(jì)算題1．設(shè)隨機(jī)變量在1，2，3，4四個數(shù)字中等可能取值，隨機(jī)變量在中等可能地取一整數(shù)值，求的概率分布，并判斷和是否獨(dú)立．解：的概率分布為YX12341000200304可以驗(yàn)證和不相互獨(dú)立．2.設(shè)隨機(jī)事件A、B滿足令求（1）的概率分布；（2）的概率分布.解：（1），，，，.（2）可能取值為0，1，2.3．已知隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，求常數(shù)，使得概率．解：X的概率密度為Y的概率密度為由于和相互獨(dú)立，從而聯(lián)合概率密度為，解得.4．已知二維隨機(jī)變量的概率密度為（1）求系數(shù)；（2）條件概率密度；（3）判斷和是否相互獨(dú)立；（4）計(jì)算概率；（5）求的密度函數(shù).解：（1）由得.（2）關(guān)于X和Y的邊緣概率密度分別為從而X和Y是相互獨(dú)立的，（3）相互獨(dú)立.（4）.（5）的分布函數(shù)為所以5.設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，令求的聯(lián)合分布律.解：可能取的值為（-1，-1），（-1，1），（1，-1），（1，1），，，.6．設(shè)的概率密度求的概率密度.解：設(shè)的分布函數(shù)為，取值范圍，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.從而的概率密度

第四次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填-0.2,2.8，,13.4．2．應(yīng)填．3．應(yīng)填．4．應(yīng)填13.5．應(yīng)填．6．應(yīng)填．7．應(yīng)填，．二、選擇題1.（C）.2．（D）．3．（B）．4．（B）．5．（A）．6.（C）．7.（C）.三、計(jì)算題1．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為已知，求的值．解：由以下三個條件解得.2．設(shè)二維隨機(jī)變量 的概率密度為求和．解：，，,，，，.3．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為0120010020（1）寫出關(guān)于、及的概率分布；（2）求和的相關(guān)系數(shù).解：（1）012PY012PXY014P（2）,,，，.4．在數(shù)軸上的區(qū)間內(nèi)任意獨(dú)立地選取兩點(diǎn)與，求線段長度的數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為X，Y，則（X，Y）的聯(lián)合概率密度為所求.5．一民航送客車載有20名乘客自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車，假設(shè)每位旅客在各個車站下車的可能性相同，且各個旅客是否下車相互獨(dú)立，求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解：引入隨機(jī)變量，令從而，又，所以（次）.6．假設(shè)由自動流水線加工的某種零件的內(nèi)徑（毫米）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品；銷售合格品獲利，銷售不合格品虧損，已知銷售一個零件的利潤（元）與零件內(nèi)徑的關(guān)系為．問平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均利潤最大．解：令（mm）即平均內(nèi)徑取10.9mm時，銷售一個零件的平均利潤最大．

第五次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填.2．應(yīng)填0.975.二、選擇題1．（B）．2．（D）．三、計(jì)算題1．某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠客戶中被盜索賠占20%，以表示在隨機(jī)抽查的100個索賠客戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).（1）寫出的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盜索賠客戶不少14戶且不多于30戶的概率的近似值．解：（1）索賠戶為X，則，（2）由DeMoivre-Laplace極限定理2.設(shè)某種元件使用壽命（單位：小時）服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其平均使用壽命為40小時，在使用中當(dāng)一個元件損壞后立即更換另一個新的元件，如此繼續(xù)下去.已知每個元件的進(jìn)價(jià)為元，試求在年計(jì)劃中應(yīng)為購買此種元件作多少預(yù)算，才可以有95%的把握保證一年夠用（假定一年按照2000個工作小時計(jì)算）.解：假設(shè)一年需要個元件，則預(yù)算經(jīng)費(fèi)為元.設(shè)每個元件的壽命為則個元件使用壽命為由題意又由獨(dú)立同分布中心極限定理，故年預(yù)算至少應(yīng)為元.3．一條生產(chǎn)線的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量時隨機(jī)的.假設(shè)平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克.如果用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每量車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977，（.）解：設(shè)是裝運(yùn)的第箱的重量，是箱數(shù)，且解得，即最多可以裝98箱.

第六次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填，，．2．應(yīng)填，，2．3．應(yīng)填，．4．應(yīng)填5．應(yīng)填二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（D）．4.（D）.5．（A）．三、計(jì)算題1．從正態(tài)總體N(20,3)中分別抽取容量為10和15的兩個相互獨(dú)立樣本，求樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率．解：設(shè)樣本均值為，則，2．設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，試求k，使．解：因?yàn)?所以，查表得，即3．設(shè)是取自正態(tài)總體的一個樣本，樣本均值為，樣本方差為，解：從而4．設(shè)總體的概率密度為為總體的樣本，求樣本容量，使．解：先求的分布函數(shù)，代入有解得，故取4.5.已知二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，判斷服從的概率分布.解：由題意,且相互獨(dú)立，從而,即，由F分布的定義

第七次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填．2．應(yīng)填．3．應(yīng)填．4．應(yīng)填．5．35．二、選擇題1．（B）．2．（D）．3．（C）．4．（A）．三、計(jì)算題1．設(shè)總體具有概率分布123P其中是未知參數(shù)，已知來自總體的樣本值為1，2，1.求的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值．解：,令，解得的矩估計(jì)值為.似然函數(shù)為，令，解得的最大似然值為.2．設(shè)總體X的分布函數(shù)為其中參數(shù)是未知參數(shù)，又為來自總體的隨機(jī)樣本，（1）求的概率密度函數(shù)；（2）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（3）求參數(shù)的最大似然估計(jì)量.解：由題意（1）（2）.（3）設(shè)為一組樣本值，似然函數(shù)為當(dāng)時，令，得的最大似然估計(jì)量為四、證明題1．設(shè)總體的均值及方差都存在，與均未知，是的樣本，試證明不論總體服從什么分布，樣本方差都是總體方差的無偏估計(jì)．證明：教材145~146頁.2．設(shè)是總體的樣本，，存在，證明估計(jì)量,,都是總體的均值的無偏估計(jì)量；并判斷哪一個估計(jì)量更有效．證明：，因?yàn)樽钚?，所以更有?

第八次作業(yè)一、填空題1．應(yīng)填．2．應(yīng)填．3．應(yīng)填．二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（C）．三、計(jì)算題1．某車間用一臺包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝葡萄糖的凈重（單位kg）是一個隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布，當(dāng)機(jī)器工作正常時，其均值為0.5kg，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知標(biāo)準(zhǔn)差為kg（保持不變），某日開工后，為檢驗(yàn)包裝機(jī)的工作是否正常，從包裝出的葡萄糖中隨機(jī)地抽取9袋，稱得凈重為0.4970.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512試在顯著性水平下檢驗(yàn)機(jī)器工作是否正常．解：按題意需要檢驗(yàn)：，：，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域，經(jīng)計(jì)算，故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為機(jī)器工作不正常.2．設(shè)某次考試的考生成績服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分，問在顯著性水平下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分？并給出檢驗(yàn)過程．解：設(shè)這次考試的考生成績?yōu)閄，則.：，：，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域，經(jīng)計(jì)算，故接受原假設(shè)，即可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分.3．設(shè)有甲，乙兩種零件，彼此可以代用，但乙種零件比甲種零件制造簡單，造價(jià)低，經(jīng)過試驗(yàn)獲得抗壓強(qiáng)度（單位：）為甲種零件：88,87,92,90,91，乙種零件：89,89,90,84,88.假設(shè)甲乙兩種零件的抗壓強(qiáng)度均服從正態(tài)分布，且方差相等，試問兩種零件的抗壓強(qiáng)度有無顯著差異（?。?？解：本題是在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)：，：，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域，經(jīng)計(jì)算，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩種零件的抗壓強(qiáng)度無顯著差異.4．某無線電廠生產(chǎn)的一種高頻管，其中一項(xiàng)指標(biāo)服從正態(tài)分布，從一批產(chǎn)品中抽取8只，測得該指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）總體均值，檢驗(yàn)（?。?；（2）總體均值未知時，檢驗(yàn)（取）．解：本題是在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè)：，：，（1）均值時，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域：，經(jīng)計(jì)算，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為.（2）均值未知時，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，拒絕域：，經(jīng)計(jì)算，故接受原假設(shè)，即認(rèn)為.

綜合練習(xí)一一、填空題1．應(yīng)填．2．應(yīng)填．3．應(yīng)填．4．應(yīng)填．5．應(yīng)填．6．應(yīng)填．二、選擇題1．（D）．2．（C）．3．（D）．4．（A）．三、解答下列各題1．某倉庫有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，其中有五箱、三箱、兩箱依次是由甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的次品率依次為，今從這十箱產(chǎn)品中任取一箱；再從中任取一件產(chǎn)品．（1）求取到的產(chǎn)品是合格品的概率；（2）若已知抽取的產(chǎn)品是合格品，求它由甲廠生產(chǎn)的概率．解：設(shè)A表示“取到的產(chǎn)品是合格品”，表示“產(chǎn)品分別是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的”，（1）（2）2．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù)．解：（1）由，得.（2）的分布函數(shù)3．求總體的容量分別為10和15的兩個獨(dú)立樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率．解：設(shè)樣本均值為，則，4．設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，又為取自總體的簡單隨機(jī)樣本，求的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解：（1），令，得的矩估計(jì)量.（2）設(shè)為一組樣本值，則似然函數(shù)為，取對數(shù)，令得的最大似然估計(jì)量5．一電子儀器由兩部件構(gòu)成，以和分別表示兩部件的壽命（單位：千小時），已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為問和是否相互獨(dú)立．解：關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)分別為因?yàn)椋院拖嗷オ?dú)立．6．設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為求：（1）關(guān)于和的邊緣概率密度和；（2）求.解：（1）關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于的邊緣概率密度（2）.7．設(shè)對某目標(biāo)連續(xù)射擊，直到命中次為止，每次射擊的命中率為，求子彈消耗量的數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)表示第次命中到第次命中之間消耗的子彈數(shù)，則，且，從而.8.設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，求的概率密度.方法1：，方法2：

綜合練習(xí)二一、填空題1．應(yīng)填．2．應(yīng)填37．3．應(yīng)填0.8．4．應(yīng)填．5．應(yīng)填．二、選擇題1．（B）．2．（C）．3．（A）．4．（C）．5.（D）．三、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為（1）求的概率密度；（2）計(jì)算．解：（1）（2）.四、已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.解：的可能取值為0，1，2，3，的分布律為即設(shè)表示事件“從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品”，由于構(gòu)成完備事件組，由全概率公式有五、設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）系數(shù)；（2）邊緣概率密度；（3）和是否獨(dú)立.解：（1）；（2）（3），不相互獨(dú)立.六、設(shè)為來自正態(tài)總體的一組簡單隨機(jī)樣本，記，，統(tǒng)計(jì)量證明是的無偏估計(jì)量.解：（1），所以是的無偏估計(jì)量.第三章作業(yè)一1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i,j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i+j≥2，聯(lián)合分布律為P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=03.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常數(shù)A；（2）隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定義，有(3)4.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖【解】（1）因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以(2)

第三章作業(yè)二1.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1）求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X與Y是否相互獨(dú)立？【解】（1）X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300(2)因故X與Y不獨(dú)立2.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)3.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實(shí)根的概率.【解】（1）因故題14圖(2)方程有實(shí)根的條件是故X2≥Y，從而方程有實(shí)根的概率為：4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】所以

第三章作業(yè)三1.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3