求數(shù)列的前n項(xiàng)和常用方法

PAGEPAGE3數(shù)列求和的常用方法1.公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：，，.例1、已知，求的前n項(xiàng)和.練一練：等比數(shù)列的前項(xiàng)和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____；2.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.例2、求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，…練一練：求和：3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.例3、求的值練一練：已知，則＝______；4.錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.例4、求和：例5、求數(shù)列前n項(xiàng)的和.練一練：設(shè)為等比數(shù)列，，已知，，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式.；5.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥. 例6、求數(shù)列的前n項(xiàng)和.例7、在數(shù)列{an}中，，又，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.練一練：（1）求和：；（2）在數(shù)列中，，且Sｎ＝９，則n＝；6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。例8、求之和.練一練：①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，，…前項(xiàng)和=；②求和：；數(shù)列求和課后練習(xí)一、選擇題：1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A．200B．－200C2．?dāng)?shù)列1，eq\f(1,1＋2)，eq\f(1,1＋2＋3)，…，eq\f(1,1＋2＋…＋n)的前n項(xiàng)和為()A.eq\f(2n,2n＋1)B.eq\f(2n,n＋1)C.eq\f(n＋2,n＋1)D.eq\f(n,2n＋1)3．設(shè)f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)等于()A.eq\f(2,7)(8n－1)B.eq\f(2,7)(8n＋1－1)C.eq\f(2,7)(8n＋3－1)D.eq\f(2,7)(8n＋4－1)4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝eq\f(3,2)an－3，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于()A．3n＋1－3B．3n－3C．3n＋1＋35．?dāng)?shù)列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于()A．n2＋1－eq\f(1,2n)B．2n2－n＋1－eq\f(1,2n)C．n2＋1－eq\f(1,2n－1)D．n2－n＋1－eq\f(1,2n)6．?dāng)?shù)列an＝eq\f(1,n(n＋1))，其前n項(xiàng)之和為eq\f(9,10)，則n＝()A．－10B．－9C．10二、填空題：7．已知函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x)＝1－f(1－x)，則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.8.eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n,2n)－2等于________．9．?dāng)?shù)列eq\f(1,12＋2)，eq\f(1,22＋4)，eq\f(1,32＋6)，eq\f(1,42＋8)…的前n項(xiàng)和等于________．10．函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n2(n為奇數(shù)),－n2(n為偶數(shù))))，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋…＋a1000＝__________.二、解答題：11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．12.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且（，）.(I)求；(II)是否存在等比數(shù)列滿足？若存在，則求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，則說明理由.13.已知是公比為的等比數(shù)列，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，試比較與的大小.14.已知數(shù)列滿足以下兩個(gè)條件：=1\*GB3