第五章常微分

線性微分方程組例5-1方程組（1）與黎卡提方程（2）等價。證若方程組（1）有一個非零解，不妨設(shè)不為零，令，代入方程組的第一式，得，由，，即為（2）的一個解。若是黎卡提方程（2）的一個解，則可證明，是方程組（1）的一個非零解。這是因為由于是Riccati方程（2）的一個解，則可得，直接對求導(dǎo)，得，。評注：表明二階線性方程組與一個黎卡提方程（純量）解之間的關(guān)系。這說明只要其中一個方程可以求解，則另一方程就可求解。我們知道1841年劉維爾（Liouville）證明了黎卡提方程一般不能用初等積分法求解，即方程的解不能用初等函數(shù)及其積分形式來表示，這樣兩個未知函數(shù)的線性微分方程組一般也不可求初等積分的解，但知道它的一個非零解時，方程組可積。例5-2如果在區(qū)間上是階線性方程組的兩個基本解矩陣，那么存在一個非奇異常數(shù)矩陣，使得在區(qū)間上。證因為為基本解矩陣，故其逆矩陣一定存在。令或。由于是基本解矩陣，則它們可微，故知是可微的矩陣，且，于是。由此推知，，或（），即為常矩陣，記為。因此，有（）。評注：如果在區(qū)間上是階線性方程組的基本解矩陣，則滿足矩陣微分方程，并且任意兩個基本解矩陣可以線性表示，即，為非奇異常數(shù)矩陣。例5-3證明：如果在區(qū)間上是某一個線性齊次方程組的基本解矩陣，那么此方程組必為。并求作一個線性齊次微分方程組，使它的基本解矩陣為。證設(shè)所求線性齊次方程組為。因為為基本解矩陣，所以。給上式兩端同時右乘矩陣，得，故所求方程組為。由于，，則，利用以上結(jié)果得，所求方程組為。評注：我們可以在已知線性齊次方程組的基本解矩陣的條件下求作這個方程組。例5-4設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)實矩陣，是方程組的基本解矩陣。試證：1）是方程組的基本解矩陣，這里是元行向量；2）利用1）的結(jié)論，證明方程組等價于。證1）在等式兩端關(guān)于求導(dǎo)，得，，所以是方程組的基本解矩陣。2）若是方程組的解，則。即滿足方程組。反過來，若滿足方程組，則，，兩端同乘以可逆矩陣，得，即。即得是方程組的解。評注：方程組稱為的伴隨方程組，此例中表明了它們的解之間的關(guān)系。我們利用2）的結(jié)果，從到積分得即得方程組滿足初始條件的解。例5-5設(shè)方程組中的有周期，即，證明1）若為基本解矩陣，則也是，其中為整數(shù)；2）存在非奇異方陣使得。證1）因為對任意的整數(shù)，都有，所以是基本解矩陣。2）當時，是方程的基本解矩陣，則存在非奇異方陣使得，所以，當時，，即有。故對任意的整數(shù)，。評注：周期線性齊次方程組的基本解矩陣滿足，為非奇異方陣。例5-6設(shè)初值問題，1）證明在區(qū)間內(nèi)其解可以用逐次逼近法求得；2）用逐次逼近法求出和的前三次近似。解1）設(shè)，，，即，那么有，取，取使得，這樣就有，上式經(jīng)化簡得，顯然只要取即可，這時在，，中，方程組右端函數(shù)連續(xù)且滿足對的李普希茲條件，可以用逐次逼近法求解。2）按逐次逼近公式得，，。評注：注意向量微分方程解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論，并注意逐次逼近序列的構(gòu)造。例5-7若已知個方程組成的線性方程組（1）的一個解，則可將方程組化為個方程組成的方程組。證令是方程組（1）的解，其中，是待定的純量函數(shù)，代入方程組（1）有化簡后，，即，這個方程組的第一個分量為，即，為的第一個分量。，（若，我們可變換方程組，使其它分量為第一個，不失一般性，令）第個分量是（2）式（2）是個方程組成的方程組（線性齊次方程組）。若是（2）的解，則從而（1）的解為。進一步，如果方程組（2）完全可求解，即可得到（2）的個線性無關(guān)的解，由，可得到（1）的個解，從而構(gòu)成（1）的基本解組，故方程組（1）的通解可求得。事實上，只要證線性無關(guān)即可?？紤]，其第一個分量，即，用乘上式兩端得，推得，而由線性無關(guān)，得，從而。即證明了構(gòu)成（1）的基本解組。評注：這個方法稱為（D’Alembert’sMethodofReductionoforder）達朗貝爾降階法。例5-8已知方程組（1）的一個解為，求其通解。解這里，令，即是方程組的解，代入方程得，，令，由上方程得，它的一個解為，故，因此是方程組（1）的另一個與線性無關(guān)的解。因此，基本解矩陣為。評注：對于二階線性齊次方程組，應(yīng)用達朗貝爾降階法，若已知其一非零解，則可求得其通解。例5-9是的解，的每一個分量是最高次數(shù)為的多項式函數(shù)，求證（1）線性無關(guān)，并且在上當時，它們是一個基本解組，表示的階導(dǎo)函數(shù)。證因為是解，所以有（2）即，對上式兩端求導(dǎo)可得把（2）代入上式得即也是的解。依次可得也是的解。下面證明（1）中的向量函數(shù)組在上線性無關(guān)，由于的分量是最高次數(shù)為的多項式，則為次多項式，為零次多項式。因而當且僅當當且僅當所以（1）中的向量函數(shù)組在上線性無關(guān)。特別地，根據(jù)齊次方程組至多有個線性無關(guān)的解知，當時，它們恰好構(gòu)成方程組的一個基本解組。評注：對于常系數(shù)線性方程組，如果知道它的一個形如的特解，的每一個分量是最高次數(shù)為的多項式函數(shù)，我們便可得到它的個線性無關(guān)的解。例5-10設(shè)是線性非齊次方程組（1）在區(qū)間上的個線性無關(guān)的解，求證1）方程組（1）的任何解都可以表示為（2）其中（3）2）對于任何滿足（3）式的常數(shù)，（2）式均為方程組（1）的解。證1）證法1構(gòu)造函數(shù)，顯然，它們是（1）所對應(yīng)的齊次方程組（4）的個解，并且在區(qū)間上線性無關(guān)。若不然，假設(shè)存在一組不全為零的數(shù)使得，有，即，與是（1）在區(qū)間上的個線性無關(guān)的解相矛盾。因此，由定理5.7，方程組（1）的任何解都可以表示為。令，則其中。證法2設(shè)是方程組（1）的任意一個解，那么是方程組（1）所對應(yīng)的齊次方程的解。又因為它最多有個線性無關(guān)的解，所以必存在不全為零的數(shù)，使得即，顯然，，否則存在不全為零的，使得這與是線性非齊次方程的個線性無關(guān)的解矛盾。因此，。令，顯然，。2）對于任何滿足（3）式的常數(shù)，且有即有，因此，滿足對于（3）式的常數(shù)，（2）式均為方程組（1）的解。評注：線性非齊次方程組的解不能構(gòu)成線性空間。但任一解均可由它的個線性無關(guān)的解線性表示，只是表示的系數(shù)之和需為1。例5-11求解方程組，其中是實的連續(xù)函數(shù)。解給方程兩式分別乘以，并相加，得，所以有。給方程兩式分別乘以，并相減，得，，，解之得即或。方程組的通積分（兩個獨立的首次積分）為。評注：這是用首次積分法，求方程組兩個獨立的首次積分，即可得到隱式解。例5-12求解常系數(shù)線性方程組。解求特征值。，特征方程為，，。求特征向量。分別解代數(shù)方程組，。，解得，同理，，。求基本解組或基本解矩陣。根據(jù)線性常系數(shù)齊次方程組解理論，方程組有復(fù)值解，它的實部與虛部是方程組的兩個實解，即，，這就是實基本解組。它們可組成實基本解矩陣。另外由，也可得到方程組的實基本解矩陣。，，，故寫出方程組的通解。。評注：特征根為共軛復(fù)數(shù)時，方程組有復(fù)值解，它的實部與虛部為這對共軛特征值對應(yīng)的實值解。有時也可先算出基本解矩陣，然后再求標準基本解矩陣就得到實的基本解矩陣，從而求得實的通解。例5-13求方程組的標準基本解矩陣，其中。解由知特征根為2，是三重根。我們用空間分解法，此時空間不用分解。用公式這里，，所求標準基本解矩陣為評注：當矩陣只有一個特征值時，用公式求基本解矩陣很方便。例5-14求方程組的標準基本解矩陣，其中。解由于，特征根有單根，也有重根。我們用若當標準型法。求矩陣的若當標準型。矩陣經(jīng)過初等變換可化為，所以的初等因子為、其若當標準型為。求過渡矩陣。求可逆矩陣，使得。設(shè)，則由求得，。求標準基本解矩陣。。評注：用若當標準型法求常系數(shù)線性齊次方程組的基本解矩陣的關(guān)鍵是確定系數(shù)矩陣的初等因子和過渡矩陣。例5-15求方程組的標準基本解矩陣，解解法1遞推法。求的特征值。由，可得，解初值問題。，可得，確定。，，，所以方程組的基本解矩陣為。解法2若當標準型法。求矩陣的若當標準型。矩陣經(jīng)過初等變換可化為，所以矩陣的初等因子為、、其若當標準型為。求過渡矩陣。易于求得屬于兩個線性無關(guān)的特征向量為及，屬于的特征向量為，所以過渡矩陣，。。求標準基本解矩陣。。評注：利用遞推法求解的關(guān)鍵是解關(guān)于的方程組；另外解法2中，由于初等因子都是一次的，過渡矩陣可用特征向量來表示，注意與例5-14比較。例5-16求方程組的通解。解解法1消元法。對第一個方程兩邊求導(dǎo)得，（1）將第二個方程代入（1）式，得（2）又由第一個方程可解得，將其代入（2）得二階常系數(shù)線性方程，即，解之可得其通解為。從而由，得方程組的通解為。解法2特解的待定系數(shù)法（見5-10題）。將方程組寫成向量形式為由于系數(shù)矩陣是若當標準型矩陣，所以對應(yīng)齊次方程組的基本解矩陣為。下面用待定系數(shù)法求方程組的一個特解。因為不是特征根，設(shè)方程組有特解為，代入方程組得，即。解方程組，得，故方程的一個特解為。因此，原方程組的通解為。評注：利用消元法求解的關(guān)鍵是選擇保留某一個未知函數(shù)，此方法的優(yōu)點是直接可解線性非齊次方程組。待定系數(shù)法求特解要注意線性方程組的非齊次項是向量函數(shù)的形式，且不是特征根。例5-17試求方程組滿足初始條件的解，并求出它的基本解矩陣。解令。對方程組施行拉普拉斯變換，可得，即，由上面方程組解出，有，取拉普拉斯變換逆變換，得。為了尋求基本解矩陣，再求滿足初始條件的解。同理，可得，其解為：，所以，基本解矩陣為：。評注：用拉普拉斯變換法求解的關(guān)鍵是求拉普拉斯逆變換。例5-18求解方程組。解整理可得系數(shù)矩陣為，特征方程為，求得特征值為（三重）。解法1用待定系數(shù)方法。相應(yīng)于，方程組有形如的特解，將其代入方程組得；；；消去后整理得令的同次冪系數(shù)相等，可得可以任意取。取，那么相應(yīng)的一個特解為取，那么相應(yīng)的一個特解為取，那么相應(yīng)的一個特解為易證，它們在上線性無關(guān)，于是方程組的通解為解法2直接求解法。對于方程，由第三個方程可以解得，代入第二個方程可得再將上式代入第一個方程可得原方程組的通解為。解法3公式法由公式可得于是方程組的通解為