第03講 5.3.1函數(shù)的單調(diào)性（解析版）

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系。②掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。③能利用導(dǎo)數(shù)求不超過三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。④會利用導(dǎo)數(shù)證明一些簡單的不等式問題。⑤掌握利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的單調(diào)性的基本方法。通過本節(jié)課要求能利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，會求簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能證明簡單的不等式，會利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性與含參數(shù)相關(guān)的問題.知識點(diǎn)01：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)，原函數(shù)看增減）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若，則在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若恒有，則在區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．注意：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則條件恒有結(jié)論函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)在內(nèi)單調(diào)遞增在內(nèi)單調(diào)遞減在內(nèi)是常數(shù)函數(shù)【即學(xué)即練1】（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）如圖所示是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列判斷中正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】A【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：A.知識點(diǎn)02：求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間①求的定義域②求③令，解不等式，求單調(diào)增區(qū)間④令，解不等式，求單調(diào)減區(qū)間注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令（或）不跟等號.【即學(xué)即練2】（2023下·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．，【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，所以，由有：，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.知識點(diǎn)03：由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法1、已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價(jià)條件中的不等式含等號.2、已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解3、已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號零點(diǎn)【即學(xué)即練3】（2023上·新疆·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，又，所以.故答案為：.【即學(xué)即練4】（2023上·貴州貴陽·高三清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．知識點(diǎn)04：含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性題型01求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】（2022下·湖北·高二統(tǒng)考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B【典例2】（2023下·河北滄州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，定義域?yàn)椋?，解得，所以在上單調(diào)遞減.故選：D.【變式1】（多選）（2023下·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【詳解】由題意，，，因此的增區(qū)間是，因此ABD正確，C錯(cuò)誤．故選：ABD．題型02函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系【典例1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】C【詳解】由導(dǎo)數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A、B、D錯(cuò)誤；故選：C．【典例2】（2022下·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.只有C選項(xiàng)的圖象符合.故選：C.【變式1】（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【詳解】由圖可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故選：D.【變式2】（2022·湖南·校聯(lián)考二模）設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時(shí)，，故排除A，C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，故選：D.題型03已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)【典例1】（2023上·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的最大值為．【答案】/【詳解】由函數(shù)是上的減函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為．故答案為：.【典例2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意知：，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，要使，則，整理得，所以，解得．故答案為：【典例3】（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在具有單調(diào)性，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞增時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，因此有，當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時(shí)，恒成立，得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，顯然無論取何實(shí)數(shù)，不等式不能恒成立，綜上所述，a的取值范圍是，故選：C【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由得，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，因此在對任意的恒成立，所以，故答案為：【變式2】（2023·海南省直轄縣級單位·校考模擬預(yù)測）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由題設(shè)在上恒成立．設(shè)，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：題型04已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)【典例1】（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）若函數(shù)在區(qū)間上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】，由題意在上有解，即在上有解，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取最大值，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【典例2】（2023下·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】【詳解】函數(shù)，∴，∵函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，，即有解，令,,∴當(dāng)時(shí)，，即可．故答案為:【變式1】（2023下·廣西·高二校聯(lián)考期中）若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】，等價(jià)于在有解，即在有解，即在有解，所以，令，則，即在上是增函數(shù)，∴，所以.故答案為：.題型05已知函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間為（是），求參數(shù)【典例1】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則.【答案】【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，所以，解得，則，令，得，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，所以.故答案為：.題型06已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)【典例1】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，即，，令，得或（舍去），因?yàn)樵诙x域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，所以，得，綜上，，故選：A【典例2】（2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A【變式1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．若在內(nèi)不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由，得，當(dāng)在內(nèi)為減函數(shù)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，當(dāng)在內(nèi)為增函數(shù)時(shí)，則在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)恒成立，令，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)的值域?yàn)椋曰?，所以函?shù)在內(nèi)單調(diào)時(shí)，a的取值范圍是，故在上不單調(diào)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．【變式2】（2022下·福建漳州·高二福建省漳州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間(1，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】(4，5)【詳解】解：函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則在上存在變號零點(diǎn)，由得，令，，，在遞減，在遞增，而，，，所以.故答案為：.題型07含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型)【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)函數(shù)的極大值為，無極小值(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值為，無極小值.（2），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，若，則,若，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】增區(qū)間為，減區(qū)間為．【詳解】的定義域?yàn)椋?，令，解得．令，得，令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，解得，若，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.若，此時(shí)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)性.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題意，得函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，對任意恒成立，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．題型08含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且可因式分解)【典例1】（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則或.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點(diǎn).故．（2），，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【典例2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【答案】答案見解析【詳解】，令得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，或時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為在，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【典例3】（2023上·甘肅慶陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以切線的斜率，又，所以在處的切線方程為，即．（2）因?yàn)椋?，令，得或，又，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，，由，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.【變式1】（2023上·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，又，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）因?yàn)?，易知，，則，又，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．【變式2】（2023上·北京順義·高三楊鎮(zhèn)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)：，令解得，又因?yàn)楫?dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以的最小值為.（2），當(dāng)時(shí)，由，得或.①若，則，故在上單調(diào)遞增；②若，則.故當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.③若，則.故當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】答案見解析【詳解】易得的定義域?yàn)椋?，令得?當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，令得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，①若，即，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；②若，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；③若，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.題型09含參問題討論單調(diào)性(導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解)【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】根據(jù)題意，，則，導(dǎo)數(shù)，分2種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，令，則有，當(dāng)時(shí)，，有恒成立，則有，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)根，或，且，則在區(qū)間,和,上，，則有，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間,上，，函數(shù)為增函數(shù)；綜合可得：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間,和,上，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間,上，函數(shù)為增函數(shù)．【典例2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題意知，定義域?yàn)?，；令，則.①當(dāng)，即時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號），在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，令，解得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式1】（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，令，①?dāng)時(shí)，恒成立，，是增函數(shù)；②時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，由得，，由或，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，是增函數(shù)，綜上可知：時(shí)，是增函數(shù)，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，【變式2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論當(dāng)時(shí)，單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題意可知對于二次函數(shù)．當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有2個(gè)大于零的零點(diǎn)，分別是，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減綜上：當(dāng)時(shí)在（0，＋∞）單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞增；在和上單調(diào)遞減．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．, B．, C．, D．,【答案】A【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由得，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；故選：A.2．（2023上·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A．B．?和?C．?D．?【答案】D【詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.3．（2021上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，那么函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】D【詳解】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上，遞增，所以D選項(xiàng)正確，ABC選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D4．（2022上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令函數(shù)，.要滿足條件，必須在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且.易知在上單調(diào)遞減.，令,即,解得,令,即,解得,可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.，令,即,解得,令,即,解得,則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使，則.所以的取值范圍是.故選:C.5．（2022上·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B6．（2022下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，所以即，故選：A.7．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┤艉瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，由題意可知：存在，使得，整理得，且在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.8．（2023下·河北唐山·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由于在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，故在上恒成立，由于當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，故選：C二、多選題9．（2021上·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，下列命題中，正確的是（

）A．若，，則單調(diào)遞增；B．若，，則單調(diào)遞增；C．，，則單調(diào)遞減；D．若，，則單調(diào)遞減；【答案】BC【詳解】，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，同理時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，不妨取，，則滿足，，，顯然是減函數(shù)，排除A選項(xiàng)；取，，滿足，，則，故是增函數(shù)，排除選項(xiàng)D；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，則為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，故B正確；當(dāng)，時(shí)，為減函數(shù)，為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以為減函數(shù)，故C正確.故選：BC三、填空題10．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在恒成立，因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.11．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】由得，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故?解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，故答案為：12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，∴在區(qū)間內(nèi)有解，則在內(nèi)有解，易知函數(shù)在上是減函數(shù)，∴的值域?yàn)?，因此?shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：四、解答題13．（2022下·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，曲線在處的切線方程為.（2），①當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，則(舍)或，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，令，則或(舍)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增14．（2023上·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），由已知，∴得又∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為化簡得：（2）定義域?yàn)镽，，令得或①當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；②當(dāng)即時(shí)，恒成立，故在R上單調(diào)遞增；③當(dāng)即時(shí)，令得或，令得，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；B能力提升1．（2022上·山東日照·高三山東省日照實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若對任意的，且當(dāng)時(shí)，都有，則的取值范圍是.【答案】【詳解】由題設(shè)，即，令，則函數(shù)在且上遞增，而，所以，即在上恒成立，故.故答案為：2．（2023上·河北保定·高三河北易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則，則，所以曲線在處的切線方程為，即；（2），當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（2023上·北京·高三北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)其中．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；極小值(2)分類討論，答案見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋畡t，令，可得，當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.（2）因?yàn)?，所?/p>