廣東省清遠市五校2023-2024學年高一上學期期中數學試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省清遠市五校2023-2024學年高一上學期期中數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合的真子集的個數為（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】B【解析】含有個元素的集合的真子集個數為，的真子集個數為，即7.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】，故是充要條件.故選：C.3.函數的定義域是（）A. C.B. D.【答案】A【解析】依題意，解得且，所以的定義域為.故選：A.4.已知，下列不等式錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，故A對；∵，∴，故B對；∵，且，∴，故D對；∵，故，故C錯.故選：C.5.函數的圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵恒大于零，∴也恒大于零，故AC錯誤；＞0時，，函數在定義域上單調遞減，＜0時，，函數在定義域上單調遞增，故B錯誤，D正確.故選：D.6.下列各組中的兩個函數為同一函數的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】D中定義域，對應關系都相同，是同一函數.故選：D.7.已知函數是上的減函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若函數是上的減函數，則，解得.故選：B.8.已知命題：“，”為假命題，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意，若命題“，”為假命題，則，恒成立.當時，，符合題意；當時，，解得，綜上，的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知集合，，若，則的值可以是（）A.0 B.1 C. D.3【答案】AD【解析】由可知，或，由，解得或.故選：AD.10.若，，且，則的可能取值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】CD【解析】，當且僅當，即時等號成立，所以，由選項可知的可能取值為4，5，不可能為2，3.故選：CD.11.德國數學家狄利克雷（1805~1859）在1837年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應，那么是的函數.”這個定義較清楚地說明了函數的內涵.只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個，有一個確定的和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄利克雷函數，即：當自變量取有理數時，函數值為1；當自變量取無理數時，函數值為0，以下關于狄利克雷函數的結論正確的有（）A. B.的值域為C.的定義域為 D.【答案】CD【解析】因為是無理數，所以，故A錯誤；的值域為，故B錯誤；定義域為，故C正確；當為有理數時，也為有理數，所以此時，當為無理數時，也為無理數，所以此時，所以對都有，故D正確.故選：CD.12.定義（其中表示不小于的最小整數）為“向上取整函數”.例如，，.以下描述正確的是（）A.若，則B.若，則C.是上的奇函數D.若，則【答案】ABD【解析】由表示不小于的最小整數，則有且，即，對于A，，則，，即，則，故A正確；對于B，令，則，解得，又為整數，則或，當時，即，則，當時，即，則，故，則，故B正確；對于C，，則，，則不是上的奇函數，故C錯誤；對于D，，若，則，即，則，又，由不等式的性質，，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.命題“，”的否定是__________________.【答案】，【解析】否命題是，.故答案為：，.14.已知函數，則_________.【答案】1【解析】由題意可知：，，.故答案為：1.15.已知冪函數的圖象關于原點對稱，則滿足成立的實數的取值范圍為_______________.【答案】【解析】因為函數是冪函數，則，解得或，當時，是偶函數，其圖象關于軸對稱，與已知矛盾；當時，是奇函數，其圖象關于原點對稱，于是得，不等式化為，即，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：.16.已知函數的兩個零點為，3，且，則下列說法正確的序號為__________.①；②不等式的解集為；③；④不等式的解集為.【答案】②③④【解析】由已知可得，3是方程的兩根，則由根與系數的關系可得解得，，由可知，所以①錯誤；對于②，化簡為，解得，②正確；對于③，，③正確；對于④，化簡為，解得，④正確.故答案為：②③④.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.集合，.（1）求；（2）求.解：（1），∴.（2），.18.已知函數，.（1）判斷函數的單調性，并利用定義證明；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）在上單調遞增.證明如下：，，任取，可知，因為，所以，，，所以，即，故在上單調遞增.（2）由（1）知在上單調遞增，所以由，可得，解得，故實數的取值范圍是.19.已知集合，集合.（1）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）∵“”是“”的充分條件，∴，，從而有，即.（2）∵，①若，則，∴；②若，則或，即；綜上所述，.20.（1）已知，求的解析式；（2）已知是一次函數，且滿足，求的解析式.解：（1）令，則，所以，即函數.（2）設，則由，得，即，所以解得所以.21.某公司生產紀念手冊，經調研，每生產萬冊，需要生產成本萬元，若生產量低于20萬冊，；若生產量不低于20萬冊，.上市后每冊紀念冊售價50元，根據市場調查發(fā)現生產的紀念冊能全部售出.（1）設總利潤為萬元，求函數的解析式（利潤銷售額成本）；（2）生產多少冊紀念冊時，總利潤最大？并求出最大值.解：（1）當時，，當時，，所以（2）當時，，當時，取得最大值為225；當時，，當且僅當，即時取得等號，所以；即當時，取得最大值為300；因為，所以當生產25萬冊時，總利潤最大，為300萬元.22.已知為偶函數，當時，.（