湖北省武漢市部分高中2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1湖北省武漢市部分高中2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)，可得，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.在中，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所?故選：C.4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到一個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的圖象，則的一個(gè)可能取值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，即，解得，即，當(dāng)時(shí)，可得，所以B項(xiàng)符合.故選：B.5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則的最小值是（）A.12 B.18 C.24 D.36【答案】C【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是24.故選：C.6.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），已知該扇環(huán)的面積為，兩段圓弧所在圓的半徑分別為3和6，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一扇環(huán)，設(shè)該扇環(huán)的圓心角為，則其面積為，解得，所以扇環(huán)的兩個(gè)圓弧長(zhǎng)分別為和，設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，高為，所以，解得，，解得，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：.故選：A.7.北京時(shí)間2023年2月10日0時(shí)16分，經(jīng)過(guò)約7小時(shí)的出艙活動(dòng)，神舟十五號(hào)航天員費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動(dòng)全部既定任務(wù)，出艙活動(dòng)取得圓滿成功.載人飛船進(jìn)入太空需要搭載運(yùn)載火箭，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中大于0的常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓.聲壓級(jí)的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說(shuō)話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)比人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)約大，則火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令人正常說(shuō)話時(shí)的聲壓級(jí)為，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓級(jí)為，則，而人正常說(shuō)話的聲壓，火箭發(fā)射時(shí)的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲壓約為.故選：D8.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三角形面積公式結(jié)合，可知，即，又由平方關(guān)系，所以，即，解得或（舍去），由余弦定理有，所以，令，所以，故只需求出的范圍即可，由正弦定理邊化角得，注意到在銳角中，有，簡(jiǎn)單說(shuō)明如下：若，則，即不是銳角，但這與是銳角三角形矛盾，所以在銳角中，有，所以在銳角中，有，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，從而，而函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.綜上所述：的取值范圍為.故選：B.二、選擇題9.已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)：去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）A.剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B.C.剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)D.【答案】ABD【解析】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)為，對(duì)于A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，依題意，，，，由，得，即，于是，因此，即，B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，則剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，又，則原樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，，，于是，，因此，即，D正確.故選：ABD10.某高中一年級(jí)有3個(gè)班級(jí)，（1）班、（2）班、（3）班的學(xué)生人數(shù)之比為.在某次數(shù)學(xué)考試中，（1）班的及格率為，（2）班的及格率為，（3）班的及格率為，從該校隨機(jī)抽取一名高一學(xué)生.記事件“該學(xué)生本次數(shù)學(xué)為試及格”，事件“該學(xué)生在高一（i）班”，則（）A.B.與均不相互獨(dú)立C.D.若從這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則該同學(xué)來(lái)自（1）班的概率最大【答案】AC【解析】由題意，，，則，故A正確；由，則，所以與相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故C正確；由題意這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試中，（1）班、（2）班、（3）班學(xué)生中及格人數(shù)之比為，所以從這次高一年級(jí)數(shù)學(xué)考試及格的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則該同學(xué)來(lái)自（1）班的概率為，該同學(xué)來(lái)自（2）班的概率為，該同學(xué)來(lái)自（3）班的概率為，所以該同學(xué)來(lái)自（3）班的概率最大，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)定義域?yàn)?，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為奇函數(shù) B.C. D.【答案】BC【解析】由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，即，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)C正確；由的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，即，以2x代換x，則，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得，即，結(jié)合可得，所以，故選項(xiàng)B正確.所以是周期函數(shù)，且周期為4，其圖象不僅關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)還關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以不關(guān)于點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)，所以不是奇函數(shù)，，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；故選：BC12.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積最大值為C.若角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，則面積的最大值為3D.若為的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，，在和中，分別運(yùn)用正弦定理，得和.因?yàn)椋?，即，所以，由余弦定理可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當(dāng)即時(shí)，，D正確.故選：BCD.三、填空題13.寫(xiě)出一個(gè)滿足條件“函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”的冪函數(shù)：________.【答案】（答案不唯一）【解析】舉例，令，無(wú)實(shí)數(shù)解，且定義域?yàn)?，則函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，，且定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則為偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).故答案為：.14.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.【答案】【解析】要得到的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)，分以下兩種情形：情形一：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取3個(gè)“”和1個(gè)“”，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為；情形二：先在第一個(gè)括號(hào)中選取“”，然后在后面四個(gè)括號(hào)中選取2個(gè)“”和2個(gè)“”，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知此時(shí)“”的系數(shù)為.綜上所述：由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.15.在等比數(shù)列中，，則________.【答案】【解析】記等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，記，因?yàn)椋允?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：.16.已知，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，直線，分別交橢圓于另外的點(diǎn)，．若直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．【答案】【解析】由題意可知，，設(shè)，可得直線的斜率分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點(diǎn)，可得直線，的斜率，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，則，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，過(guò)焦點(diǎn)，則軸，又，則，所以，整理得，即，解得，或（舍去），所以橢圓離心率為．故答案為：．四、解答題17.數(shù)列的滿足，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將數(shù)列中去掉數(shù)列的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，即．（2）由得，，因?yàn)?，所以中要去掉?shù)列的項(xiàng)有5項(xiàng)，所以．18.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求角的大小；（2）為邊上一點(diǎn)，，求邊的長(zhǎng).解：（1），由正弦定理可得，即，，又.又.（2）即，解得19.如圖1，為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，分別為的中點(diǎn)，以為折痕，將折起，使點(diǎn)到的位置，且，如圖2.圖1圖2（1）設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面；（2）求二面角的余弦值.（1）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖，依題意，分別為的中點(diǎn)，則，因此分別是以為斜邊的直角三角形，即，又，平面平面，于是平面，而平面平面，顯然直線與重合，所以平面.（2）解：取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，由為等邊三角形，得，則為二面角的平面角，，在中，，則，由平面，平面，得，又，于是，在中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值為.20.2023年9月23日第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州開(kāi)幕，本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng)，包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.為研究不同性別學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某學(xué)校進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，分別抽取男生和女生各50名作為樣本，設(shè)事件“了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目”，“學(xué)生為女生”，據(jù)統(tǒng)計(jì)，（1）根據(jù)已知條件，填寫(xiě)下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否推斷該校學(xué)生對(duì)亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)？了解不了解合計(jì)男生女生合計(jì)（2）將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，設(shè)其中了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生的人數(shù)為，求使得取得最大值時(shí)的值.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）因?yàn)?，所以?duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解的女生為，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生為，結(jié)合男生和女生各50名，填寫(xiě)列聯(lián)表為：了解不了解合計(jì)男生153550女生302050合計(jì)4555100零假設(shè)：該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷成立，即該校學(xué)生對(duì)杭州亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別無(wú)關(guān).（2）由（1）知，了解亞運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的頻率，所以隨機(jī)變量，，令，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.21.已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得令，得.①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上的最大值小于等于1，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，即，所以此時(shí)解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，分以下兩種情形討論：情形一：當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，解得滿足題意；情形二：當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或，此時(shí)，則，且，由（2）①可知，，所以此時(shí)解得.結(jié)合以上兩種情形可知，當(dāng)時(shí)，不等式在區(qū)間上恒成立.結(jié)合①②，綜上可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為上點(diǎn)滿足.（1）求拋物線的方程；（2）已知正方形有三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，