江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省常州市教育學(xué)會(huì)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，故選：C．2.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.故選：A.3.函數(shù)的部分圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋睿獾没?，所以的定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B，C；當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)，即時(shí)，，故排除D.故選：A.4.某學(xué)生社團(tuán)舉辦數(shù)學(xué)史知識(shí)競賽，經(jīng)海選，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加最后一輪的現(xiàn)場決賽，角逐唯一的冠軍．有四位觀賽同學(xué)對冠軍的預(yù)測如下：“甲或乙是冠軍”、“甲是冠軍”、“丁是冠軍”、“乙、丙兩人都不是冠軍”．若賽后發(fā)現(xiàn)，這四位同學(xué)中有且只有兩位預(yù)測正確，則冠軍是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】若甲是冠軍，則“甲或乙是冠軍”、“甲是冠軍”、“乙、丙兩人都不是冠軍”預(yù)測正確，故A錯(cuò)誤；若乙是冠軍，則只有“甲或乙是冠軍”預(yù)測正確，故B錯(cuò)誤；若丙是冠軍，則沒人預(yù)測正確，故C錯(cuò)誤；若丁是冠軍，則“丁是冠軍”、“乙、丙兩人都不是冠軍”預(yù)測正確，故D正確；故選：D．5.已知，且，則（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】∵，，∴，即，∴或（舍去），∴，，，，.故選：A.6.已知四棱臺(tái)的兩底面均為長方形，且上下底面中心的連線與底面垂直，若，棱臺(tái)的體積為，則該棱臺(tái)的表面積是（）A.60 B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)棱臺(tái)的上底面的面積為，下底面的面積為,因?yàn)槔馀_(tái)的上下底面相似且，所以，，，設(shè)棱臺(tái)的高為，則，，因?yàn)樯舷碌酌嬷行牡倪B線與底面垂直，所以，且四棱臺(tái)的四條側(cè)棱長相等，因?yàn)?，?cè)棱，則等腰梯形的高為，，等腰梯形的高為，所以，所以該四棱臺(tái)的表面積為，故選：D．7.已知函數(shù)，點(diǎn)分別為圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為銳角三角形，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，得，則，，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，即，得，，即恒成立；，即，得，綜上，.故選：B．8.居民的某疾病發(fā)病率為，現(xiàn)進(jìn)行普查化驗(yàn)，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是可能存有誤差的．已知患有該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，而沒有患該疾病的人其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性．現(xiàn)有某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是（）A.0.99 B.0.9 C.0.5 D.0.1【答案】C【解析】記事件某人患病，事件化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，由題意可知，，，所以，，現(xiàn)在某人的化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，則他真的患該疾病的概率是：.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題意，設(shè)，則是方程的個(gè)根，又，則，即，且，所以，故，故選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由，得，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.10.某高校有在校學(xué)生9000人，其中男生4000人，女生5000人，為了解學(xué)生每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，其中每天自主學(xué)習(xí)中國古典文學(xué)的時(shí)間超過3小時(shí)的學(xué)生稱為“古文迷”，否則為“非古文迷”，調(diào)查結(jié)果如下表，則（）古文迷非古文迷男生2020女生4010參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8415.0246.635A.該校某位學(xué)生為古文迷的概率的估計(jì)值為0.6B.隨機(jī)調(diào)查的男女生人數(shù)符合分層抽樣的抽樣方法C.有的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“古文迷”與性別有關(guān)系D.沒有的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“古文迷”與性別有關(guān)系【答案】BC【解析】該校某位學(xué)生為古文迷的概率的估計(jì)值為，A錯(cuò)．男生4000人，女生5000人，隨機(jī)調(diào)查了40名男生和50名女生，，符合分層抽樣的抽樣方法，B對．因?yàn)?，故有的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“古文迷”與性別有關(guān)系，故C對，D錯(cuò)，故選：BC．11.設(shè)內(nèi)角所對的邊為，則下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則可能有 D.若，則可能有【答案】ABD【解析】對于A，，由正弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，故A正確；對于B，，由正弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，即，故B正確；對于C，由，則，則，即，故C錯(cuò)誤；對于D，由，則，不妨設(shè)，則，故D正確．故選：ABD．12.已知為圓柱的母線，為圓柱底面圓的直徑，且，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面圓周上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），則（）A.平面平面B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿圓柱表面到點(diǎn)的最短距離是C.三棱錐的體積最大值是D.與平面所成角的正切值的最大值是【答案】AB【解析】在以為直徑的圓上，，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，A對；時(shí)，為半圓中點(diǎn)，展開后，，B對；到平面的距離為2，，，C錯(cuò)；如圖，中點(diǎn)M，則，所以平面，故以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，過M與垂直的線為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知平面的法向量的，，設(shè)，則，設(shè)與平面所成的角為，則，令，則，，，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性知，此時(shí)取最大，但正切值不是，D錯(cuò).故選：AB.三、填空題13.將5本不同的書分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為_________（用數(shù)字作答）【答案】216【解析】5本書送4人，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，共有種方案，甲乙兩本書同時(shí)發(fā)給某一個(gè)同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則剩余3本書分別給3位同學(xué)，有種方案，綜上，不同的分配方案數(shù)為種．故答案為：21614.在梯形中，已知，點(diǎn)分別在線段和上，則的最大值為_________．【答案】3【解析】如圖建系，，所以，設(shè)，則，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，此時(shí)三點(diǎn)重合，故答案為：315.若關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】令且，則，令，則，當(dāng)時(shí)，即遞增；當(dāng)時(shí)，即遞減；所以，故恒成立，即在、上遞減，而時(shí)；時(shí)；時(shí)；所以的圖象如下圖示，故有兩個(gè)根．故答案為：.16.在平面凸四邊形中，，且，將四邊形沿對角線折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是_________．【答案】【解析】由題意可知，和是等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，取的外心，則是的外心，過點(diǎn)作平面，則三棱錐的外接球球心在上，過點(diǎn)作平面交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為三棱錐的外接球球心，由可知，即二面角的平面角，則，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以三棱錐的外接球半徑,所以三棱錐外接球的表面積．故答案為：.四、解答題17.某校數(shù)學(xué)建模學(xué)生社團(tuán)進(jìn)行了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究，采集了的一組數(shù)據(jù)如下表所示：23456752.54540302517.5該社團(tuán)對上述數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系．附：在線性回歸方程中，，其中為樣本平均值．（1）畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并指出與之間的相關(guān)系數(shù)是正還是負(fù)；（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并寫出當(dāng)時(shí)，預(yù)測數(shù)據(jù)的值．解：（1）由題意得散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知與之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以是負(fù)．（2）因?yàn)?，，，，∴關(guān)于線性回歸方程為當(dāng)時(shí)，．18.已知中，，點(diǎn)在邊上，三等分，靠近靠近.（1）若，且，求；（2）若，求.解：（1），在中，，，，，..（2）設(shè)，，故，在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，，.在中，，，，.19.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對于，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)在上遞減；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)上遞增．所以當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由題設(shè)知對恒成立．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不合題設(shè)，舍去．當(dāng)時(shí)，在上遞增，只需符合．綜上：．20.盒子里放著三張卡片，一張卡片兩面都是紅色，一張卡片兩面都是黑色，剩下的一張卡片一面是紅色一面是黑色．（1）隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色．假設(shè)展示的這一面的顏色是紅色，那么剩下一面的顏色也是紅色的概率是多少？（2）隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色，放回后，再隨機(jī)抽出一張卡片并隨機(jī)展示它一面的顏色．兩次展示的顏色中，黑色的次數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）記事件為展示的一面顏色是紅色，事件為剩下一面的顏色也是紅色，．（2）隨機(jī)抽出一張卡片，顏色是黑色的概率為，的二項(xiàng)分布的所有可能取值為0，1，2，，，的分布列如下：012或由．21.已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）求證：；（3）設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．（1）證明：過分別作交于點(diǎn)交于點(diǎn)，，且，，∴四邊形為平行四邊形，，平面．平面．平面．（2）證明：，，，，．（3）解：取中點(diǎn)，連接為等邊三角形且，則．在中，，由，在中，為中點(diǎn)，，，.如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．．即，，設(shè)，則，即，故，又，同理可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的的平面角為，則，則，化簡得，解得或22.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的