重慶市渝中區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1重慶市渝中區(qū)2024屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)均為非空集合，且滿足∈，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合的韋恩圖，如圖所示，因為，所以，所以.故選：C.2.已知命題，命題q：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則命題是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】是純虛數(shù)，，故命題是的充要條件故選：C.3.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，即，則，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為，故選：B.4.《幾何原本》卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故選：D.5.已知數(shù)列均為等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列前項的和為，則（）A.84 B.540 C.780 D.920【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列的公差分別為；由可知，即可知數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列，所以可得，即可得，所以.故選：D.6.函數(shù)的最大值為（）A.2 B. C.0 D.【答案】A【解析】，令，則，故，則，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)的最大值為.故選：A.7.為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)三門勞動教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報名參加該校勞動教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有（）A.60種 B.150種 C.180種 D.300種【答案】B【解析】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時有種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時有種.所以不同的報名方法共有60＋90＝150種．故選：B．8.已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得有兩個不相等的實數(shù)根，令，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，畫出的圖象如下：要想有兩個不相等的實數(shù)根，則，故有兩個不相等的實數(shù)根，則.故選：A.二、選擇題9.在某市高三年級舉行的一次模擬考試中，某學(xué)科共有20000人參加考試．為了了解本次考試學(xué)生成績情況，從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行統(tǒng)計，并按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．則下列說法正確的是（）A.樣本的眾數(shù)為70B.樣本的分位數(shù)為78.5C.估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6D.該市參加測試的學(xué)生中低于60分的學(xué)生大約為320人【答案】BC【解析】對于選項A，樣本的眾數(shù)應(yīng)是區(qū)間中點75，故選項A錯誤.對于選項B，設(shè)樣本的分位數(shù)為t，因為左邊兩個矩形面積和為，左邊三個矩形面積和為.因此t在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故選項B正確.對于選項C，用樣本平均分估計總體平均分，而樣本的平均分為，故選項C正確.對于選項D，樣本中低于60分的學(xué)生的頻率為，估計總體中低于60分的學(xué)生的人數(shù)約為，故選項D錯誤.故答案為：BC.10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱C.若對任意實數(shù)都成立，則D.方程有3個不同的實數(shù)根【答案】BC【解析】對于A，由，得，所以在上不具有單調(diào)性，故A錯誤；對于B，的圖象向右平移個單位長度得，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故B正確；對于C，若對任意實數(shù)都成立，則，所以，即，故C正確；對于D，方程根的個數(shù)，即為函數(shù)交點的個數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知的根多于個，故D錯誤.故選：BC.11.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，持球人把球傳給另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個人傳球到另一個人稱傳球一次．若傳球開始時甲持球，記傳球次后球仍回到甲手里的概率為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】A選項，第一次傳球后到乙或丙手里，故，第二次傳球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，A正確；C選項，為傳球次后球仍回到甲手里的概率，要想傳球次后球仍回到甲手里，則第次傳球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次傳球有的概率回到甲手里，故，C正確；D選項，由C選項知，即，設(shè)，故，所以，解得，故，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，故，D正確，B選項，由D選項可知，B錯誤.故選：ACD.12.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由可得，，對于A，易知，則，所以，易知，即，所以，所以，且即可得，可知A錯誤；對于B，，由A可知，則，，所以；可知，所以，即B正確；對于C，，則，即可得，即C錯誤；對于D，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，可得，即，所以，又，因此，即D正確.故選：BD.三、填空題13.的展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】要得到項需分別與展開式中的項相乘，展開式中通項為，所以項的系數(shù)為，故答案為：10.14.曲線在處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【解析】因為，可得，由題意可知：，所以，即.故答案為：.15.定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則______．【答案】【解析】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列，則，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，故答案為:.16.若是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．則在區(qū)間上的最小值為______．【答案】【解析】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，解得：，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，所以.故答案為：.四、解答題17.在中，內(nèi)角的對邊分別為．（1）求；（2）若，點在邊上，且，求面積的最大值．解：（1）根據(jù)，由正弦定理可得，由二倍角公式可得，又因為，所以，即可得，即，所以，即；（2）如下圖所示：由（1）可知，即，可得又，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；所以，由可得，所以面積的最大值為.18.2023年9月23日第19屆亞運會在中國杭州舉行，其中電子競技第一次列為正式比賽項目．某中學(xué)對該校男女學(xué)生是否喜歡電子競技進行了調(diào)查，隨機調(diào)查了男女生人數(shù)各200人，得到如下數(shù)據(jù)：男生女生合計喜歡120100220不喜歡80100180合計200200400（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，采用小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別有關(guān)？（2）為弄清學(xué)生不喜歡電子競技原因，采用分層抽樣的方法從調(diào)查的不喜歡電子競技的學(xué)生中隨機抽取9人，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；（3）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該校全體學(xué)生中隨機抽取10人，記其中對電子競技喜歡的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．0.150.100.050.0250.012.0722.7063.8415.0246635解：（1）列聯(lián)表如下表所示：

男生女生合計喜歡不喜歡合計零假設(shè)該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別無關(guān)，，，采用小概率值的獨立性檢驗，可推斷不成立，即能認為該校學(xué)生對電子競技的喜歡情況與性別有關(guān)，（2）采用分層抽樣的方法從抽取的不喜歡電子競技的學(xué)生中隨機抽取9人，這9人中男生的人數(shù)為4，女生的人數(shù)為5，再從這9人中抽取3人進行面對面交流，“至少抽到一名男生”的概率為．（3）由題意可知喜歡電子競技的概率為，所以，故．19.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，得，則當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，上式成立，所以；（2）由（1）知，，，，．因此，，當(dāng)，即，當(dāng)時，，即，最大項，．20.當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：年份201720182019202020212022編號123456企業(yè)總數(shù)量（單位：百個）5078124121137352（1）若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗回歸方程；（2）為了促進公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數(shù)據(jù)：，其中，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為解：（1）令，，則，，所以，所以；（2）設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”為事件，則，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．21.已知函數(shù)．（1）若，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)在上恰有一個極小值點，求實數(shù)的取值范圍；（3）若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）若時，，則，，可得在點處的切線方程為，即．（2）函數(shù)，則，令得，①若，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，②若，則與情況如下：00單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增若在上恰有一個極小值點，則需滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍為．（3）易知，所以可化為，又，所以可得，即對于任意恒成立，令，