專題5.4 正切函數(shù)的圖象與性質3（重點題型解題技巧）（解析版）2023-2024學年高一數(shù)學上學期重難點題型秒殺秘籍與滿分必刷（人教A版2019必修第一冊）

第第頁專題5.4正切函數(shù)的圖象與性質3（重點題型解題技巧）【題型1利用正切函數(shù)單調性求參數(shù)】【題型2比較正切值的大小】【題型3解正切不等式】【題型4利用正切函數(shù)的奇偶性求參數(shù)】【題型5求含的二次式的最值】題型1利用正切函數(shù)單調性求參數(shù)，此函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為對稱中心為求的單調性，是不影響單調性的⑴若，則令只要求的單調性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍⑵若，則先將由負變正，令只要求的單調性即可，假如求遞增區(qū)間，將基本圖象沿軸對稱所得目標圖象反解范圍⑶若，則先將由負變正，則令只要求的單調性即可，假如求遞增區(qū)間，由基本圖象得反解范圍1．若不等式在上恒成立，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調性即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上單調遞增,所以,所以，故選：D.2．已知函數(shù)在內是減函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在內單調，則，再結合復合函數(shù)單調性可知，綜合可得的范圍.【詳解】因為函數(shù)在內是單調函數(shù)，所以最小正周期，即，所以.又函數(shù)在內是減函數(shù)，則根據(jù)復合函數(shù)單調性判定知.綜上，.故選：B.3．函數(shù)在的最大值為7，最小值為3，則ab為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及的有界性確定的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調性得到的單調性，再代入相應端點值及對應的最值得到相應的方程，解出即可.【詳解】，，，根據(jù)函數(shù)在的最大值為7,最小值為3，所以，即，根據(jù)正切函數(shù)在為單調增函數(shù)，則，在上單調減函數(shù)，，，則，，，，，故選：B.4．已知函數(shù)在內是減函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)在內是減函數(shù)，可得，由，可得，則，所以.故選：B.5．已知函數(shù)在內是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正切函數(shù)的圖象與性質，得出關于的不等式組，求出解集即可．【詳解】由函數(shù)在內是減函數(shù).所以，且，解得：.故選：C【點睛】本題考查了正切函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是基礎題．6．已知函數(shù)在內是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)正切函數(shù)的奇偶性，得到在內是減函數(shù)，從而得到周期的范圍，再得到的范圍.【詳解】因為函數(shù)在內是減函數(shù)，所以,又因為為奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，所以圖像關于對稱，所以函數(shù)在內也是減函數(shù)，所以，所以，即.又，所以.故選：B.【點睛】本題考查正切函數(shù)的奇偶性和單調性以及周期性的運用，根據(jù)單調性求參數(shù)的范圍，屬于簡單題.7．已知函數(shù)在內是減函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】由已知得為一個周期的子集，由此可得關于的不等式組，解不等式組即可．【詳解】∵已知函數(shù)在內是減函數(shù),∴函數(shù)在內是單調增函數(shù)，∴，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案為：.8．已知函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意得到，，即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，所以，，，.故答案為：9．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】解：因為，所以，所以，解得，即．故答案為：10．函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的一個取值可以為.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調性求出的取值范圍，再寫出一個正確答案即可.【詳解】解：因為正切函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，又函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以.故答案為：（答案不唯一）11．若函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結合正切函數(shù)的單調區(qū)間，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)，所以，解得，即.故答案為：.12．已知函數(shù)是上的嚴格增函數(shù)，則正實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由已知得為一個周期的子集，由此可得關于的不等式組，解不等式組即可．【詳解】解：∵函數(shù)在內是單調增函數(shù)，∴，解得，經(jīng)檢驗，滿足題意.∴的取值范圍是．故答案：.13．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)在上單調遞增，可得，列不等式組即可求解.【詳解】因為，所以，所以，，因為在上單調遞增，所以，解得：．所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.14．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為7，最小值為1，求和的值.【答案】或.【分析】分類討論的值，從而得到函數(shù)的單調區(qū)間，再利用函數(shù)的最值求解即可.【詳解】當時，，不符合題意，舍去.當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，，解得，.當時，在區(qū)間上為減函數(shù)，，解得，.15．已知函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值是，則；若在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)定義域得，再得到取最大值的條件求解即可；先得到一般性的單調增區(qū)間，再根據(jù)集合之間的關系求解.【詳解】因為，且在此區(qū)間上的最大值是，所以．因為f(x)max=2tan=，所以tan==，即ω=．由，得．令，得，即在區(qū)間上單調遞增．又因為在區(qū)間上單調遞增，所以<，即．所以的取值范圍是．故答案為：1，題型2比較正切值的大小第一步：畫出符合要求的圖象第二步：利用誘導公式轉化為同名函數(shù)第三步：大角換小角并標在圖象上從而比較大小1．下列大小關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用誘導公式化簡，再借助三角函數(shù)的單調性比較大小.【詳解】因為，函數(shù)在上單調遞增，所以，故A錯誤；因為，函數(shù)在上單調遞增，所以，故B錯誤；,所以，故C錯誤；,,因為，函數(shù)在上單調遞減，所以，即，故D正確.故選：D2．已知偶函數(shù)在上單調遞減，若，，，則下列不等關系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的誘導公式可得，，，由正切函數(shù)的性質結合函數(shù)的奇偶性和單調性分析可得答案．【詳解】因為，，，又由為偶函數(shù)，則，，，又函數(shù)在上單調遞增，所以，又在上單調遞減，則有，故選：D．3．下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質，結合正切函數(shù)的單調性和誘導公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，且，由正切函數(shù)性質，可得，且，所以，所以，所以A不正確；對于B中，由，由正切函數(shù)單調性可得，即，所以B錯誤；對于C中，由正切函數(shù)在上為單調遞增函數(shù)，因為，所以，所以C正確；對于D中，由，由正切函數(shù)的單調性，可得，即，所以D錯誤.故選：C.4．設，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)和正切函數(shù)的單調性直接得出結果.【詳解】由題意得，函數(shù)在上單調遞增且，在上單調遞增且，因為，所以，所以.故選：A.5．下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用正切函數(shù)的單調性可判斷AB選項；利用余弦函數(shù)的單調性可判斷C選項；利用正弦函數(shù)的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A，，因為正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，即，A選項正確；對于B，由于正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，B選項正確；對于C，，因為余弦函數(shù)在為減函數(shù)，，所以，即，C選項正確；對于D，由于正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，D選項錯誤.故選：ABC.6．下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用正切函數(shù)的單調性可判斷AB選項的正誤，利用余弦函數(shù)的單調性可判斷C選項的正誤，利用正弦函數(shù)的單調性可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，，因為正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，即，A選項正確；對于B選項，由于正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，B選項錯誤；對于C選項，，，因為余弦函數(shù)在為減函數(shù)，且，所以，，即，C選項正確；對于D選項，由于正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，D選項錯誤.故選：AC.7．下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)正切函數(shù)的函數(shù)值的正負以及單調性可判斷A，B，利用誘導公式結合正余弦函數(shù)的性質可判斷C，D.【詳解】對于A，，A錯誤;對于B，，由于函數(shù)在上單調遞增，故，B正確；對于C，，，故，C正確；對于D,函數(shù)在上是增函數(shù)，而，所以，D不正確；故選：BC8．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調性及誘導公式即可求解.【詳解】對于A，因為，函數(shù)在上單調遞增，所以．故A正確；對于B,．故B不正確；對于C，，．又，函數(shù)在上單調遞增，所以，即．故C不正確；對于D，，．又，函數(shù)在上單調遞增，所以，即．故D正確.故選：AD.9．比較大小：.【答案】>【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)的性質比較大小作答.【詳解】依題意，，所以，即.故答案為：>10．比較下列各組中三角函數(shù)值的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）利用正切函數(shù)的單調性，結合誘導公式比較大小作答.【詳解】（1）函數(shù)在是單調遞增，而，所以.（2）依題意，，而，則，所以.11．比較下列各組中三角函數(shù)值的大小：(1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】由正切函數(shù)的單調性即可判斷大小.【詳解】（1）因為當時，函數(shù)單調遞增，且，所以；（2）因為，，且，結合函數(shù)在上單調遞增，所以，即.12．利用函數(shù)的單調性，比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】利用正切函數(shù)的單調性，比較各組數(shù)的大小即可.【詳解】（1）由于，且函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，因此．（2）由于，且函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，因此．題型3解正切不等式第一步：畫出正余弦函數(shù)的圖象第二步：畫出的圖象第三步：研究題干取上部或下部寫出一個周期內的解集第四步：在一個周期內的解集的基礎上加上周期的整數(shù)倍形如．求函數(shù)的定義域;破解：函數(shù)有意義，則滿足，即結合正切函數(shù)的性質，可得即函數(shù)的定義域為1．已知角為斜三角形的內角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定，變換得到，解得答案.【詳解】角為斜三角形的內角，則，，即，故.故選：D.2．滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調性進行求解即可.【詳解】由，，故選：D3．的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結合正切函數(shù)的圖象求不等式在時的解集，再結合正切函數(shù)的周期性確定其解集.【詳解】作函數(shù)的圖象，作函數(shù)的圖象，觀察圖象可得當時，，即時，不等式的解集為，又正切函數(shù)為周期函數(shù)，周期為，所以不等式的解集為，故選：D.4．函數(shù)的定義域為.【答案】，【分析】直接根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得，解出三角不等式即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即.所以，.故答案為：，.5．若，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調性及特殊角三角函數(shù)值直接求解即可.【詳解】當時，；當時，且在上單調遞增，；綜上所述：的解集為.故答案為：.6．不等式的解集為．【答案】【分析】利用正切函數(shù)的單調性列不等式即可得出.【詳解】不等式的解集為.由可得，解得，不等式的解集為故答案為：7．若，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質計算可得.【詳解】由，則，，又，所以，即的取值范圍是.故答案為：8．不等式的解集是．【答案】．【分析】利用正切函數(shù)的單調性和周期性即可得出【詳解】正切函數(shù)最小正周期為，在上單調遞增，，所以不等式的解集為.故答案為：9．不等式的解集是.【答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)性質即可得出答案.【詳解】，則，則，故答案為：，10．函數(shù)的定義域為．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出函數(shù)有意義時的不等式，解出不等式的解集，從而得到函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)要使函數(shù)有意義，則，即，，，即原函數(shù)的定義域為：.故答案為：11．根據(jù)正切函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x值的集合：(1)；(2)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，借助正切函數(shù)的圖象性質解不等式得解.【詳解】（1）不等式，化為，在同一平面直角坐標系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是，所以使不等式成立的x的集合為.（2）不等式，化為，在同一平面直角坐標系中作出正切函數(shù)在上的圖象和直線，如圖：

顯然在上，滿足，由圖可知在上，使不等式成立的x的取值范圍是.所以使不等式成立的x的集合為.12．求滿足下列條件的角的范圍.(1)；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】結合三角函數(shù)的圖像即可(1)(2)(3)中不等式的解.【詳解】（1）作出與的部分圖像如圖，

所以由可得.（2）作出與的部分圖像如圖，

所以由可得.（3）作出與的部分圖像如圖，

所以由可得.13．解不等式.【答案】.【分析】解出正切不等式在一個周期內的解集，由周期性可得不等式的解集.【詳解】作出函數(shù)，的圖像，如圖所示．觀察圖像可得：在內，滿足條件的x為，由正切函數(shù)的周期性可知，滿足不等式的x的解集為.14．寫出下列不等式的解集．(1);(2)．【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出時不等式的解集,再根據(jù)最小正周期,即可得不等式解集;(2)先求出時不等式的解集,再根據(jù)最小正周期,即可得不等式解集.【詳解】（1）解:由題知,根據(jù)函數(shù)在上圖象可知,只需,根據(jù)的最小正周期,可得的解集為:;（2）根據(jù)函數(shù)在上圖象可知,只需,根據(jù)的最小正周期,可得的解集為:.題型4利用正切函數(shù)的奇偶性求參數(shù)根據(jù)函數(shù)奇偶性的規(guī)律判定使用前提：函數(shù)解析式比較復雜，由若干基本函數(shù)經(jīng)過運算之后的函數(shù)判定奇偶性.解題步驟：第一步：確定所給函數(shù)的結構特征，應用奇函數(shù)的性質進行判斷；第二步：結合基本函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的相關結論確定所給函數(shù)的奇偶性.常見的結論包括：(1)幾個奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；幾個偶函數(shù)的代數(shù)和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的代數(shù)和是非奇非偶函數(shù).(2)奇函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，偶函數(shù)的乘積或商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積或商是奇函數(shù).形如①已知奇函數(shù)，則②已知奇函數(shù)，則常見的奇函數(shù)三角函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)形如．若函數(shù)，則；已知，則．破解：令，則即是奇函數(shù)又，∴∴，故答案為：0；1．已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，結合奇函數(shù)的性質進行求解即可.【詳解】設，定義域為，關于原點對稱，則，故是奇函數(shù)，從而，即，即.故選：A2．已知函數(shù)，若，則（

）A．5 B．3 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)誘導公式，結合函數(shù)的奇偶性進行求解即可.【詳解】設，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，因此，故選：A3．已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】依題意可得，令，，即可得到是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解:，令，，于是，所以是奇函數(shù)，從而的最大值G與最小值g的和為0，而.故選：B4．已知函數(shù)，若，則（

）A．－100 B．102 C．98 D．－102【答案】B【解析】利用計算可得．【詳解】由已知，又，所以，，故選：B．5．若函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算得出，進而可得出的值.【詳解】因為，則，由于，因此，.故選：B.6．設函數(shù)，如果，則的值是（

）A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B【解析】令，由奇函數(shù)定義可知，化簡計算可求得結果.【詳解】令,則，所以，由可知，，即，，故選：B.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質，考查計算能力，屬于基礎題.7．，若，則．【答案】0【分析】代入計算并運用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：0.8．已知，.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性，結合奇函數(shù)的性質，可得答案.【詳解】令，由與為奇函數(shù)，則，則.故答案為：.9．對于函數(shù)，其中．若，則．【答案】【分析】代入計算得到，再計算，得到答案.【詳解】，故，.故答案為：10．函數(shù)，若，則．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，結合計算即可求解.【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.11．已知函數(shù)，其中，、、，且，則．【答案】【分析】構造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義求解函數(shù)值.【詳解】設，則，的定義域為，，所以為奇函數(shù)，所以，，所以，所以，故答案為:.12．已知函數(shù)，且，則.【答案】0【分析】計算得到，代入計算得到答案【詳解】，則.故答案為：13．對于函數(shù)，其中，已知，則.【答案】【分析】根據(jù)誘導公式計算的值并觀察與的關系即可求得結果.【詳解】而所以，故故答案為：.14．已知函數(shù)（，為常實數(shù)），且，則．【答案】【分析】判斷出是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質可得答案．【詳解】因為，定義域關于原點對稱，設，，則是奇函數(shù)，因為，所以，所以．故答案為：.15．已知，若，則．【答案】【分析】由為奇函數(shù)得出.【詳解】由于，即，故，令，則，即在定義域內是奇函數(shù)，滿足，則，故．故答案為：16．函數(shù)，若，則的值為【答案】0【分析】由，可得，然后再求出【詳解】因為，且，所以，得，所以，故答案為：017．已知函數(shù)，且，則．【答案】0【分析】由得，再由即可求解．【詳解】由，所以又故答案為：018．已知函數(shù)，，則.【答案】5【解析】由題意可得，再利用正切函數(shù)為奇函數(shù)即可求得．【詳解】由函數(shù)，，即，即，.故答案為：5題型5求含的二次式的最值第一步：令并求新元的取值范圍第二步：將函數(shù)轉化為二次函數(shù)第三步：畫出二次函數(shù)的有效圖象并求最值形如．求函數(shù)，的值域.破解：第一步：因為，所以，令，則第二步：所以轉化為，第三步：所以當，即，時，當，即，時，，所以函數(shù)的值域為1．函數(shù)，的值域為.【答案】【分析】求出的取值范圍，再結合二次函數(shù)的基本性質可求得結果.【詳解】令，，因為函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，又因為函數(shù)在上單調遞增，當時，，所以，函數(shù)，的值域為.故答案為：.2．函數(shù)，的值域為．【答案】【分析】由的范圍求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.3．函數(shù)，的值域為．【答案】【分析】由的范圍求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，，則當時，，當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.4．函數(shù)的值域為.【答案】【分析】先求出，再結合二次函數(shù)的內容求解.【詳解】由得，，故當時，有最小值，當時，有最大值.故答案為：.5．已知函數(shù)，，則其值域為.【答案】【分析】令，將原函數(shù)轉化為關于t的二次函數(shù)，求出二次函數(shù)值域即得.【詳解】令，，顯然在上單調遞增，因此，，則原函數(shù)化為：，而在上單調遞增，于是當，即時，，當，即時，，所以原函數(shù)的值域為.故答案為：6．函數(shù)，的值域是．【答案】【分析】求出的范圍，利用二次函數(shù)的性質得出值域.【詳解】，故答案為：7