新教材2024版高中數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系課件新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第二章直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.結(jié)合教材實(shí)例了解直線與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)抽象2.會(huì)解決關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系的問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算3.會(huì)解決直線與圓相切、弦長(zhǎng)等相關(guān)的問(wèn)題，能利用直線與圓的位置關(guān)系解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用性問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象4.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算|自學(xué)導(dǎo)引|直線Ax＋By＋C＝0和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷1．幾何法判定依據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r進(jìn)行大小比較判定結(jié)論d＞r____________d＝r____________d＜r____________相離相切相交2．代數(shù)法判定依據(jù)將直線方程代入圓的方程，消元得關(guān)于x(或y)的一元二次方程的判別式Δ判定結(jié)論Δ＞0____________Δ＝0____________Δ＜0____________相交相切相離1．思維辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)過(guò)圓外一點(diǎn)可作兩條圓的切線． (

)(2)如果一條直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，則此直線過(guò)圓心．(

)(3)過(guò)半徑外端的直線與圓相切． (

)(4)若C為圓O內(nèi)一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C的直線與圓O相交． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)×

(4)√【預(yù)習(xí)自測(cè)】【解析】(1)過(guò)圓外一點(diǎn)可作兩條圓的切線．(2)直線被圓截，所得最長(zhǎng)弦為直徑．(3)過(guò)半徑外端與半徑垂直的直線與圓相切．(4)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線一定與圓相交，此說(shuō)法正確．2．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是 (

)A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心C．直線過(guò)圓心 D．相離【答案】B

3．已知直線x＝a(a＞0)和圓(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是 (

)A．5

B．4

C．3

D．2【答案】C

【解析】因?yàn)閨a－1|＝2，又因?yàn)閍＞0，所以a＝3．【答案】4

坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何要素，如點(diǎn)、直線、圓，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論【預(yù)習(xí)自測(cè)】1．一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過(guò)一個(gè)半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(guò) (

)A．1.4m

B．3.5m

C．3.6m

D．2.0m【答案】B2．設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直線方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________.|課堂互動(dòng)|題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷當(dāng)m為何值時(shí)，直線mx－y－1＝0與圓x2＋y2－4x＝0相交、相切、相離？直線與圓的位置關(guān)系的判定有兩種方法(1)代數(shù)法：通過(guò)直線方程與圓的方程所組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即Δ＞0，則相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即Δ＝0，則相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即Δ＜0，則相離．(2)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷．當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d＝r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離．提醒：利用幾何法來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，一定要明確圓心的坐標(biāo)．1．判斷下列直線與圓的位置關(guān)系，若有公共點(diǎn)，求出公共點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)直線：x＋y＝0，圓：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；(2)直線：y＝x＋5，圓：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0；(3)直線：x＋y＝3，圓：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0．題型2直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題過(guò)點(diǎn)M(2,4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程．解：由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50＞1，故點(diǎn)M在圓外．當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程是y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0．【例題遷移1】(改變問(wèn)法)若本例中的條件不變，如何求其切線長(zhǎng)？【例題遷移2】(變換條件)若將本例中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線的方程？解：由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點(diǎn)M在圓上．由已知圓心坐標(biāo)為C(1，－3)，此時(shí)直線MC的斜率不存在，故切線的斜率為0，所以切線的方程為y＝－2．(2)點(diǎn)(x0，y0)在圓外．①設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，即可求得切線方程．②當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r．③過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．提醒：已知一點(diǎn)求圓的切線方程時(shí)，切勿漏掉斜率不存在的情況．2．過(guò)點(diǎn)A(4，－3)作圓C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線的方程．解：因?yàn)?4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以點(diǎn)A在圓外．(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)．【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝4

探究2已知直線和圓的方程求弦長(zhǎng)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長(zhǎng)為________．解：由題意可知，若直線與圓相交，斜率須存在，設(shè)直線l的斜率為k，則方程可表示為y＋2＝k(x＋1)．又因?yàn)閳A的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，題型4直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用

黨的二十大報(bào)告提出要加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó)．我國(guó)已建成總長(zhǎng)接近赤道長(zhǎng)度的隧道(約4萬(wàn)千米).這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過(guò)，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”，或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路，更多時(shí)候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門．佛山某學(xué)生學(xué)過(guò)圓的知識(shí)后受此啟發(fā)，為山體隧道設(shè)計(jì)了一個(gè)圓弧形洞門樣式，如圖所示，路寬AB為16米，洞門最高處距路面4米．(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓弧AB的方程．(2)為使雙向行駛的車輛更加安全，該同學(xué)進(jìn)一步優(yōu)化了設(shè)計(jì)方案，在路中間建立了2米寬的隔墻．某貨車裝滿貨物后整體呈長(zhǎng)方體狀，寬2米，高3.6米，則此貨車能否通過(guò)該洞門？并說(shuō)明理由．解：(1)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，DC所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，(2)此火車不能通過(guò)該洞口，由題意可知，隔墻在y軸右側(cè)1米，車寬2米，車高3.6米，所以貨車右側(cè)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，3.6)，因?yàn)?2＋(3.6＋6)2>100，因此，該貨車不能通過(guò)該洞口．利用直線與圓的方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟(1)認(rèn)真審題，明確題意．(2)建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而在實(shí)際問(wèn)題中建立直線與圓的方程的模型．(3)利用直線與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問(wèn)題；④把代數(shù)結(jié)果還原為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解釋．4．如圖，某海面上有O，A，B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì))，A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O的正東方向?yàn)閤軸的正方向，1千米為單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，圓C經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東60°行駛，若不改變方向，試問(wèn)該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)？錦囊妙計(jì)活用隱圓的定義妙解壓軸題【思維導(dǎo)讀】(1)與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面．解決此類問(wèn)題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化．(2)直線與圓的綜合問(wèn)題主要包括弦長(zhǎng)問(wèn)題，切線問(wèn)題及組成圖形面積問(wèn)題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì)．命題意圖：考查圓的定義及直線與圓的位置關(guān)系．知識(shí)依托：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓．點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ＞0且λ≠1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．1．直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來(lái)判斷的．2．求過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上，然后設(shè)出切線方程．注意：斜率不存在的情形．3．(1)求圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，注意應(yīng)用圓的性質(zhì)解題，即用圓心與弦中點(diǎn)連線與弦垂直的性質(zhì)，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．(2)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．|素養(yǎng)達(dá)成|(2)求過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程：幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，切線方程即可求出．并注意檢驗(yàn)當(dāng)k不存在時(shí)，直線x＝x0是否為圓的切線．代數(shù)法：設(shè)切線方程y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，切線方程即可求出．并注意檢驗(yàn)當(dāng)k不存在時(shí)，直線x＝x0是否為圓的切線．

(2)代數(shù)法：①聯(lián)立直線方程和圓的方程，解方程組得A，B點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式求弦長(zhǎng)|AB|；②設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，聯(lián)立直線l的方程和圓的方程，消去一個(gè)未知數(shù)得一個(gè)一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．1．(題型1)直線l：x－y＝1與圓C：x2＋y2－4x＝0的位置關(guān)系是 (

)A．相離 B．相切C．相交 D．無(wú)法確定【答案】C

2．(題型2)直線3x＋4y＝b與圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，則b＝

(

)A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或