2023人教版新教材B版高中數(shù)學(xué)必修第三冊同步練習(xí)-5 .5 數(shù)學(xué)歸納法

第五章數(shù)列

*5.5數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一對數(shù)學(xué)歸納法的理解

1.(2022浙江紹興期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明1+捐+...+亳，(論2,〃￡N+)時,第一步

需要驗證的不等式是()

A.1+2B.1+捐<2

C.1+需<3D.1+相+寧3

2.(2021安徽合肥肥東第二中學(xué)月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

l+2+3+...+(2,7+l)=(〃+l)(2"+l)(〃>l/￡N+)時，從八=%到n=k+l時，等式左邊需增添

的項是()

A.2H2

B.2/+D+1

C.(2Z+2)+(2Z+3)

D.[(Z+1)+1][2"+1)+1]

3.(2022江西景德鎮(zhèn)一中期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+汨+...+￡?<"(">1,〃￡N+)”的

過程中，從片網(wǎng)上>1,%￡N+)到n=k+\時，不等式左邊增加的項數(shù)為()

A4B.2&

C.2U1D.2"

4.(2020福建永春第一中學(xué)期末)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)〃是正奇數(shù)時1+y"能

被X+y整除”時，在第二步的證明中，正確的證法是()

A.假設(shè)〃=%(%￡N+)時命題成立，證明n=k+\時命題也成立

B.假設(shè)〃=%(左是正奇數(shù))時命題成立，證明n=k+\時命題也成立

C.假設(shè)是正奇數(shù))時命題成立，證明n=k+2時命題也成立

D.假設(shè)〃=2A+1(%￡N)時命題成立，證明n=k+l時命題也成立

5.對于不等式芻+1(〃￡N+),某學(xué)生的證明過程如下：

⑴當(dāng)n=l時*12+1S1+1,不等式成立.

(2)假設(shè)〃=%(丘1)時，不等式成立，即府言必+1,則當(dāng)n=k+l

時，7(fc+I)2+(/c+l)=V/c2+3k+2<V(fc2+3/c+2)+(fc+2)=7(/c+2)2=(k+])+1,所以當(dāng)

n=k+l時,不等式成立.

上述證法()

A.過程全都正確

B.n=l的驗證不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從n=%到n=k+l的推理不正確

題組二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明:l2+22+32+...+(n-1)2+n2+(n-1)2+...+32+22+1~=^n(2ir+1)(〃￡N+).

2,,+2

7.求證:對任意的neN+,3-8n-9能被64整除.

題組三歸納一猜想一證明問題

8.觀察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

按照以上式子的規(guī)律：

(1)寫出第五個等式，并猜想第〃5金N+)個等式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第〃(〃￡N+)個等式成立.

9.(2021江西萍鄉(xiāng)期中)設(shè)數(shù)列｛?！ǎ那啊椇蜑镾”,且S?=2-an(neN+).

(1)H算。1,。2,。3,。4,并猜^8

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

10.已知數(shù)歹!]｛詼｝和｛兒｝,其中。“=1+3+5+…+(2/7+1)/〃=1+2+…+2〃”,當(dāng)〃￡N+時，試

比較必與久的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

11.(2022河南鄭州期末)已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足:。1=|,即+1an+2an+i=2alt(n￡N+).

⑴計算。2,。3,寺的值;

(2)猜想數(shù)列｛斯｝的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

能力提升練

題組一數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

1.(2020浙江紹興期末)已知數(shù)列｛為｝滿足0<0<1,所吟和￡陽,若對于任意

〃￡N+,都有0<。〃<斯+]<3,則/的取值范圍是()

A.(-l,3]B.[0,3]

C.(3,8)D.(8,+oo)

2.(2021浙江溫.州中學(xué)一模)已知正項數(shù)列｛斯｝滿足0吟。2=|,斯=磷+1+斯+1-1(論2).

證明：

⑴斯<1；

(2)。]。2。3。4.?.。"<27(&+i)2,

3.(2020黑龍江哈爾”濱第三中學(xué)月考)已知數(shù)列｛斯｝和｛0”｝滿足0=2力尸1,且對任意

正整數(shù)〃恒滿足2azi+1=4融+2叢+1,2%1=2。"+4兒-1.求證:

⑴｛斯+兒｝為等比數(shù)列，“也｝為等差數(shù)列；

(2『+漢"??一『Ml，〃￡N).

4.(2020浙江杭州高級中學(xué)月考)已知等差數(shù)列&｝的公差d不為零，且

?3=3,?i,。2,。4成等比數(shù)列，數(shù)列｛勿｝滿足"+2岳+…+nbn=2an(n￡N+).

(1)求數(shù)列｛斯｝,｛①｝的通項公式;

⑵求證:腎腎…+岳加計「河(〃eN+).

題組二歸納一猜想一證明問題

5.(2020江西南昌二中期末)數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”,且滿足??=5?+^-2(HeN+).

⑴求SiSSS的值；

(2)猜想數(shù)列｛SJ的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

6.(2021安徽明光中學(xué)月考)已知數(shù)列｛斯｝滿足ai=2,an+\=a^-na?+1(nN+).

⑴求做,。3,。4,由此猜想出｛?！ǎ囊粋€通項公式,并給出證明；

⑵用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n>\時微+*+…+￡磊

7.(2020河南周口鄲城第二高級/者R考)全而列｛知｝中M=1,做三,且

為+i士普5N2).

⑴求的,％猜想斯的表達(dá)式,并加以證明；

(2)設(shè)仁=與五,求證:對任意〃金N+,都有歷+岳+…+勿<

Van+Van+1

答案與分層梯度式解析

第五章數(shù)列

*5.5數(shù)學(xué)歸納法

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B因為論2,所以由數(shù)學(xué)歸納法可知第一步需要證明n=2時該不等式成立，即1+9|<2,故選B.

2.C當(dāng)a=%(Ql,kGN+)時，左邊=1+2+3+…+(2%+1),當(dāng)n=k+\時，左邊=1+2+3+…+(2左+1)+(2%+2)+(2好3),

所以從〃=%到n=k+\時，等式左邊需增添的項是(2k+2)+(2Z+3).

故選C.

3.B由題意知，當(dāng)"=女(女>1WN+)時，左邊當(dāng)n—k+i時，左邊

=1+殲+--+￡?+玄—+…+最？所以從〃=%到〃4+1時，不等式左邊增加的項數(shù)為(2*」)-(2口)=2上

4.C?.?〃為正普數(shù),...當(dāng)〃=如:是正奇數(shù))時水后面的第一個正奇數(shù)應(yīng)為Z+2,而非k+\.

故選C.

5.D〃=1的驗證及歸納假設(shè)都正確，但從，『左到n=k+\的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而是通過不等式的

放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求.故選D.

6.證明(1)當(dāng)〃=1時，左邊=1,右邊=等=1,此時等式成立.

⑵假設(shè)當(dāng)〃=雙歸)時，等式成立，即

12+22+32+...+{k-1)2+F+(A:-1)2+...+32+22+12=3M2/+1).

則當(dāng)n=k+\時，

左邊=12+22+3?+…+%2+(左+1)24-/：24-...4-32+22+12

=*(242+1)+(%+1)2+%2

三伙+1)[2伙+1>+1]=右邊，

即當(dāng)〃=什1時,等式也成立.

根據(jù)(1)(2)可知，對任意的“GN+,等式恒成立.

7證明⑴當(dāng)〃=1時,32"+2一8〃-9=3￡8-9=64,能被64整除，命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)〃畫后1)時了叱一法9能被64整除.

則當(dāng)n=k+\時3及4一8伏+1)-9

=9(32-2-8k-9)+64k+64

=9(32-2-8h9)+64(k+l),

因為392_8b9能被64整除,

所以9儼+2一8h9)+64伙+1)能被64整除，

即當(dāng)n=k+]時,命題也成立.

2n+2

由⑴(2)可知，對任意的nGN+,3-8n-9能被64整除.

8.解析(1)第五個等式為5+6+7+8+9+10+11+12+13=92;

猜想第"個等式為n+(n+1)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-1)2,nGN+.

(2)證明:①當(dāng)〃=1時，等式左邊=1,等式右邊=(2-1)2=1,所以等式成立.

②假設(shè)后1)時，等式成立，

即人+伏+1)+(%+2)+…+(3h2)=(2hl)2,

那么，當(dāng)n=k+\時,(后+1)+[(%+1)+1]+[8+1)+2]+...+[3(左+1)-

2]=(k+l)+(k+2)+(Z+3)+...+(3%+l)=k+(k+l)+(〃+2)+...+(3k-2)+(3hl)+3E+(3k+l)-^=(2hl)2+8%=4k2-

4k+1+8k=(2k+1)2=[2()1+1)-1]2,

即n~k+1時,等式也成立.

根據(jù)①和②,可知對任意的“GN+,等式都成立.

9.解析⑴當(dāng)“=1時,Si=ai=2-ai,.,.ai=l;

當(dāng)n=2時,52=41+。2=2-°2,，勿今

當(dāng)〃=3時,亂=0+42+43=2-43,二43=工；

4

]

當(dāng)n=4時,54=。1+。2+。3+。4=2-〃4,???。4=一.

8

,猜想知=C)"T.

(2)證明:①當(dāng)n=\時,0=0=1,猜想成立；

②假設(shè)當(dāng)〃=%年1)時，猜想成立，即麗G)J.

則當(dāng)n-k+1時,+尸S*+iSt=(2-的i+D-(2-a?),

.?.2。什|=。尸6)，

k(k+1)-1

???依產(chǎn)/i\卬咆/i\，

即n=k+l時,猜想也成立.

由①②可知,對任意〃eN+,猜想均成立.

10.解析由已知得斯=1+(2：+1).(〃+1)=(〃+[)2力產(chǎn)曰=2"-1.

當(dāng)〃=1時必=4力尸1,則處陽，

當(dāng)n=2時,痣=9,岳=3,貝I」。2>歷，

當(dāng)n=3時,°3=16乃3=7,則例>加，

當(dāng)〃=4時,。4=25/4=15,貝!J。4>。4,

當(dāng)n=5時,。5=36/5=31,貝1」。5>力5,

當(dāng)n=6時,々6=49/6=63,則a6Vb6,

當(dāng)n=l時,。7=64/7=127,則a7Vb1,

由此得到，當(dāng)〃f5,〃￡N+時,4〃>為,

猜想:當(dāng)〃N6,〃￡N+時,〃〃</?〃.

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n=6時，上面己證46Vb6.

②假設(shè)當(dāng)〃的后6#￡N+)時，聯(lián)"成立，即當(dāng)k>6時仆+1)2<2口.

當(dāng)n=k+]時，要證為+|<6+1,

只需證(-2)2〈2人'+」，

只需證(-2)2<2?2"

根據(jù)歸納假設(shè)22口>2[(Z+1)2+1]-1.

因為2[(為1)2+1卜1?伏+2)2=杉-1,46,

所以產(chǎn)-1>0,即2[(2+1)2+1]-1>(4+2)2,即伏+2)2<2?2仁1.

故當(dāng)n=k+\時,猜想也成立.

由①②可知,對任意生6,〃￡N+潴想都成立.

1L解析⑴因為。尸|,斯+1斯+2%+1=2斯，

所以〃2。1+2。2=2。i=42=g,

2

43。2+2。3=2。2=。3=1,

1

?！?。。?！?/p>

43+24=23=>4=4

(2)猜想:斯==.

n+4

證明:①當(dāng)n=l時,S=|G匕猜想成立；

②假設(shè)當(dāng)片《史l#eN+)時猜想成立，即ak=^~.

K+4

因為斯+1。“+2?！?]=2斯,所以。〃+尸2?

an+2

_2

:2%二2引二2二_______2_______

所以以+i=

/+22+2fc+5(k+l)+4

k+4

所以當(dāng)修女+1時,猜想也成立.

根據(jù)①②，可知對任意“GN+,猜想都成立.

能力提升練

1.B當(dāng)心時必“尸”嗜,明顯有??>0.

an+2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:對任意〃CN+,都有a,,<3.

當(dāng)?=1時成立.

假設(shè)當(dāng)”=k慮l#eN+）時，不等式成立，即ak<3.

貝！I當(dāng)n=k+l時,麗="詈=4-一^<4-a=3,

ctj^+2a^+23+2

所以當(dāng)〃"+1時，不等式也成立.

綜上，對任意“6N+,都有a?<3.

”八_4an+3?_4a+3-a?-2a?（-a+3）（a+l）?

囚79a\-a-------n-------------n----n-->0,

n+na〃+2a〃+2。九+2

所以1,

所以當(dāng)仁3時,0vz“v%+]V3恒成立，排除C,D.

當(dāng)時，如+尸絲詈，若〃=1,則當(dāng)Ov。?時,〃2<0,不合題意,故排除A.

2an+2。1+28

故選B.

2.證明（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明如<1.

①當(dāng)〃=1,2時,〃|=[同2=|,顯然滿足如<1；

②假設(shè)當(dāng)行MQ2火￡N+）時，斯<1成立，即以<1,則年或即（M-1）3+I+2）〈0,

又四+I>0,所以以+1<1,

BPn=k+l時,斯＜1也成立.

綜上，對任意的"WN+,即＜1.

(2)因為m=。叁+1+?！?|-1(〃之2),

所以。〃+1=成+i+a〃+i(佗2),

貝IJan+i=-^-(n＞2).

an+l+1

當(dāng)皿時叫，/吟

所以聯(lián)共；

當(dāng)"=2時MQ=|，益小7心

所以⑶念〈就用7；

a_+l_aa(a2+1)_1。_2020

當(dāng)?＞3時M42a3a4…xn112

_27(a+l)-27x2(a+l)27(a+l)2

a3+la4+lan+l-an+lnnn

綜上…〃〃＜：7^7—77^-

27al+1)/

3.證明(1)2%+i=4i〃+2①+1,①

2bn+\=2aH+4bn-l.②

①+②，得2(。〃+1+兒+1)=6(。〃+兒)，

即〃肝1+d+i=3(a〃+瓦),

①-②，得2(斯+1-Z?〃+1)=2(斯加［)+2,

即（即+1也+1）?（?！ㄒ玻?1.

又〃1+4=3川,0-5=1#）,

.??｛斯+"｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，｛斯也｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.

⑵由⑴可得知+為=3〃.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明第<*+91,〃GN）.

33453n

當(dāng)n-2時3+；*+...苣，+2=1=管二,不等式成立；

34534393

假設(shè)“乂（正2）時，不等式成立，即$/+...號>等，

則〃=%+1時=+工白...+4++...-F^->2fc-1|1+^—+...+備

3453k3Jk+l43k+:23k+133k+l3k+23k+1

>2k-l?3上+1-3\_2上一1?2_2(k+l)-l

33k+1~33~3'

當(dāng)〃=k+l時，不等式也成立.

?二對任意〃>1eN,都有N…+—777,

334567an+bn

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明|+^+1+...￡<2"-2(心1,〃eN).

當(dāng)n=2時,$$|+...q<>%2=2x2-2,不等式成立.

假設(shè)〃=k慮2)時，不等式成立，即￥%|+.../<2h2,

1ok+l_qfc2x3^

貝IJn=k+\時…號+公，吃14-"-+^n<2^-2+11。音<2h2+V2h2+U=2(%+D-

3k+l3k+2

2,

.??當(dāng)3k+1時，不等式也成立.

1

二對任意n>\,n&N,都有打本+；+，...+<2〃?2.

34567(an+bn

/.A,[2n—111111,1~｛*一、丫、

綜上，-^―…?+〃工八<2九-2(鹿>l,neN).

334567an+bn

4.解析(1)由〃3=3,可得0+2d=3,

由0M2,。4成等比數(shù)列，可得。以4二謂，

即0(勾+3①=(。1+02,

又存0,所以ai=d=l,

則知=〃]+(〃-l)d=〃.

由數(shù)列｛兒｝滿足41+2岳+??.+泌〃=2甌可得b\=2a\=2,

當(dāng)n>2時，由6+2%+...+〃/?〃=2斯=2〃@

可得bi+2岳+.??+(〃/泡-產(chǎn)2(〃?1),②

①-②可得也=2,則/??=-,

n

又b\=2也適合■，所以b=-.

nfln

(2)證明:不等式...十???+n+l(〃￡N+).

下面應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

；=今右邊=2一夜,左邊〉右邊,不等式成立;

①當(dāng)〃=1時，不等式的左邊=

②假設(shè)”=k(Ql)時，不等式成立，即…+后>"1-mK

貝?。莓?dāng)n=k+］時,暮2E+擺,

k+2

要證累42-5，

只要證&+l-VFH+^->k+2-VF+2,

Y/C+2

即證-匡，

即證“k+2-7k+1)(1—^--^>0,

由女WN+,可得上式成立，即n=M時，不等式也成立.

綜上可得，對一切〃WN+,...+1-Si+1恒成立,

...十

5.解析⑴當(dāng)n=l時M=SI=S+；2,.??SI="

bl2

當(dāng)n=2時,O2=S2-S尸$2+白-2,，S2=；

523

同理可得53=：,54=5

45

⑵猜想6.=含("6用).

下面用數(shù)學(xué)%納法證明這個猜想：

①當(dāng)〃=1時,Si=m=m”猜想成立.

②假設(shè)”=依。)時，猜想成立，即&=看，

當(dāng)n-k+\時,a&+i=S*+i-S*=S*+i+S~>2,

Sk+1

?1_GG.-1-1-k+1

---~=2-Sk,??5Cz：i=—-=—fc-=—,

Sk+1+2-S〃2---k+2

k+1

即當(dāng)〃=k+l時,猜想也成立.

由①②知對任意的正整數(shù)?都成立?

n+1

6.解析⑴由。1=2,得02=*0+1=3;

由。2=3,得。3=今-2。2+1=4；

由。3=4，得。4=磅3。3+1=5.

由此猜想｛〃〃｝的一個通項公式為4〃=”+1.

用數(shù)學(xué)歸納法證明⑨尸”+1.

當(dāng)72=1時,〃[=2=1+1,猜想成立.

假設(shè)當(dāng)〃二4(叵1)時，猜想成立，即年改+1,

那么當(dāng)n=k+l時，以+i=Q+5I+1=(Z+1)2/(Z+1)+1=Z+2=(A+1)+1,

即當(dāng)n=k+\時，猜想也成立.所以斯二〃+1(〃仁N+).

⑵證明:①當(dāng)”=2時，工+工44=殳裊=i,不等式成立.

%。22362+2

②假設(shè)當(dāng)〃=氏(后2)時，不等式成立，即工+工+...上言，

a，2o：kk+2

則當(dāng)n=k+l時，

11,.11k21k21fc2+l

—I----F...HI--