贛馬高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：二分法求方程近似解

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精贛馬高級(jí)中學(xué)2010級(jí)高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案二分法求方程的近似解【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】知識(shí)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；2．能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解；3．體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一【新課導(dǎo)學(xué)】1．二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下:（1)確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度;（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（3)計(jì)算:①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若·<，則令=(此時(shí)零點(diǎn)）；③若·<,則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（4）判斷是否達(dá)到精度：即若，則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4．【互動(dòng)探究】例1：利用計(jì)算器，求方程的一個(gè)近似解(精確到0。1）．；例2：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0。1）．例3：利用計(jì)算器,求方程的近似解（精確到0.1）．【遷移應(yīng)用】1。設(shè)是方程的解,則所在的區(qū)間為（) A．B．C．D．2.估算方程的正根所在的區(qū)間是（）A．B．C．D．3．計(jì)算器求得方程的負(fù)根所在的區(qū)間是（）A．(，0）B．C．D．4。利用計(jì)算器，求下列方程的近似解（精確到）(1）（2）5.方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間和內(nèi)，則的取值范圍是；6．已知函數(shù),在上存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．答案：1．二分法對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2．給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)；（3）計(jì)算：①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若·〈，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；③若·<,則令=（此時(shí)零點(diǎn))；（4）判斷是否達(dá)到精度：即若,則得到零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2~4．例1：利用計(jì)算器，求方程的一個(gè)近似解(精確到0。1）．【解】設(shè)，先畫(huà)出函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖.（如右圖所示)因?yàn)?所以在區(qū)間內(nèi)，方程有一解，記為.取與的平均數(shù),因?yàn)?，所?再取與的平均數(shù)，因?yàn)?，所以。如此繼續(xù)下去,得,因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為.利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個(gè)近似解.點(diǎn)評(píng)：②建議列表樣式如下：零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值區(qū)間長(zhǎng)度10。50。250.125如此列表的優(yōu)勢(shì)：計(jì)算步數(shù)明確，區(qū)間長(zhǎng)度小于精度時(shí)，即為計(jì)算的最后一步．例2：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）．分析：分別畫(huà)函數(shù)和的圖象,在兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)處，函數(shù)值相等．因此,這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的解．由函數(shù)與的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程有惟一解,記為，并且這個(gè)解在區(qū)間內(nèi)?！窘狻吭O(shè)，利用計(jì)算器計(jì)算得因?yàn)榕c精確到的近似值都為，所以此方程的近似解為.思考：發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果約穩(wěn)定在。這實(shí)際上是求方程近似解的另一種方法——迭代法．除了二分法、迭代法,求方程近似解的方法還有牛頓切線(xiàn)法、弦切法等．例3：利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0.1）．【解】方程可以化為．分別畫(huà)函數(shù)與的圖象，由圖象可以知道，方程的解在區(qū)間內(nèi)，那么對(duì)于區(qū)間，利用二分法就可以求得它的近似解為.1.設(shè)是方程的解，則所在的區(qū)間為（B） A．B．C．D．2.估算方程的正根所在的區(qū)間是（B）A．B．C．D．3．計(jì)算器求得方程的負(fù)根所在的區(qū)間是（A）A．（，0）B．C．D．4.利用計(jì)算器,求下列方程的近似解（精確到)（1）(2)答案:(1)(2),例4:二次函數(shù)中實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足，其中，求證：（1）)；（2)方程在內(nèi)恒有解．分析：本題的巧妙之處在于,第一小題提供了有益的依據(jù)：是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，且，這就啟發(fā)我們把區(qū)間劃分為(，)和(，）來(lái)處理．【解】(1），由于是二次函數(shù)，故，又，所以，．⑵由題意，得,．①當(dāng)時(shí),由(1）知若，則，又，所以在（，)內(nèi)有解．若，則，又，所以在（,）內(nèi)有解．②當(dāng)時(shí)同理可證．點(diǎn)評(píng):（1)題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)．若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改．(2）對(duì)字母、分類(lèi)時(shí)先對(duì)哪個(gè)分類(lèi)是有一定講究的，本題的證明中，先對(duì)分類(lèi)，然后對(duì)分類(lèi)顯然是比較好．1．若方程在內(nèi)恰有一則實(shí)數(shù)的取值范圍是(B)A．B．C．D．2.方程的兩個(gè)根分別在區(qū)間和內(nèi),則的取值范圍是;3．已知函數(shù)，