高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講義平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算 教師

課題：平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一、平面向量基本定理1．平面向量基本定理（1）定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使＝λ1＋λ2．（2）基底：不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．單位向量定義：長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量．設(shè)是非零向量同方向的單位向量，則或．2．向量平行的充要條件：與非向量平行（共線）的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得推論：的充要條件是存在實(shí)數(shù)使．3．平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a與數(shù)對(duì)（x，y）是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝（x，y），其中a在x軸上的坐標(biāo)是x，a在y軸上的坐標(biāo)是y．4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)=，=，則=．（2）設(shè)=，=，則=．（3）設(shè)，，則．（4）設(shè)=，，則=．（5）設(shè)=，=，則（斜乘相減等于零）．（6）設(shè)=，則||=．5．平面向量共線的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0．a(chǎn)，b共線?x1y2－x2y1＝0．【注1】1．兩個(gè)向量平行（共線）的充要條件:（1）如果，則的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得（沒有坐標(biāo)背景）．（2）如果=，=，則的充要條件是（坐標(biāo)背景）．2．三點(diǎn)共線的充要條件:（1）、、三點(diǎn)共線的充要條件是．（2）設(shè)、不共線，點(diǎn)、、三點(diǎn)共線的充要條件是．特別地，當(dāng)時(shí)，是中點(diǎn)．【注2】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路1．向量問題坐標(biāo)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算．2．巧借方程思想求坐標(biāo)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用．3．妙用待定系數(shù)法求系數(shù)利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)．典型例題例1下列哪組向量可以作為平面向量的一組基底（）A．e1＝（－2，4），e2＝（1，－2）B．e1＝（4，3），e2＝（－3，8）C．e1＝（2，3），e2＝（－2，－3）D．e1＝（3，0），e2＝（4，0）答案]B解析]對(duì)于A．e1＝－2e2，對(duì)于C，e1＝－e2，對(duì)于D，e1＝eq\f(3,4)e2，對(duì)于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故選B．例2向量a，b滿足a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），則b為（）A．（－3，4） B．（3，4）C．（3，－4） D．（－3，－4）答案]A解析]由a＋b＝（－1，5），a－b＝（5，－3），得2b＝（－1，5）－（5，－3）＝（－6，8），∴b＝eq\f(1,2)（－6，8）＝（－3，4），故選A．例3已知a＝（4，2），b＝（－6，m），若a∥b，則m的值為（）A．－3B．3C．－12 D．12答案]A解析]法一：∵a∥b，∴4m－2×（－6）＝0，∴m＝－3，故選A．法二：∵a∥b，∴a＝λb，即（4，2）＝λ（－6，m），∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝－6λ，,2＝λm.))解得λ＝－eq\f(2,3)，m＝－3，故選A．例4已知A（－1，－1），B（m，m＋2），C（2,5）三點(diǎn)共線，則m的值為（）A．1 B．2C．3 D．4答案]A解析]eq\o(AB,\s\up14(→))＝（m，m＋2）－（－1，－1）＝（m＋1，m＋3），eq\o(AC,\s\up14(→))＝（2,5）－（－1，－1）＝（3,6），∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴3（m＋3）－6（m＋1）＝0，∴m＝1．故選A．例5在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．若，，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),,所以，==，＝,故選C．例6已知，若，則的值是（）．A．1 B．1 C．2 D．2【答案】C【解析】由題得，因?yàn)?，所?（c2）2×0=0，所以c=2，故選C。例7已知點(diǎn)，和向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得，因?yàn)?，所以，故選B。例8已知向量，，則x=（）A．1 B．2 C．1 D．2【答案】D【解析】，因?yàn)?，所以，所以，故選D。例9已知平面向量，則向量等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樗?，又因?yàn)?，所以，故選A。例10設(shè)向量，定義兩個(gè)向量之間的運(yùn)算“”為．若向量，則向量等于（）A．（－3，－2） B．（3，－2） C．（－2，－3） D．（－3，2）【答案】A【解析】設(shè)向量，，，，，，故向量，，故選A。例11如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：C．例12已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，又，所以，又，所以，得．故選：A例13在中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)AD交BC于E，且，由B,E,C三點(diǎn)共線可得：，∴，∴．設(shè)，則，∴．又，∴，∴．故選：B．例14已知A（－2，－3），B（2，1），C（1，4），D（－7，t），若eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線，則t＝________．答案]解析]eq\o(AB,\s\up12(→))＝（2，1）－（－2，－3）＝（4，4），eq\o(CD,\s\up12(→))＝（－7，t）－（1，4）＝（－8，t－4）．∵eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(CD,\s\up12(→))共線，∴4（t－4）－4×（－8）＝0．即4t＋16＝0，∴t＝－4．例15設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________．答案]解析]假設(shè)λ1≠0時(shí)，由λ1e1＋λ2e2＝0，得e1＝－eq\f(λ2,λ1)e2，∴e1與e2共線與e1，e2為基底矛盾，故λ1＝0，同理λ2＝0，∴λ1＋λ2＝0．例16若a＝（3,2），－2a＋4b＝（－6,0），則a－2b＝________．答案]解析]由題意得4b＝（－6,0）＋2×（3,2）＝（－6,0）＋（6,4）＝（0,4），∴b＝eq\f(1,4)（0,4）＝（0,1）．∴a－2b＝（3,2）－2×（0,1）＝（3,2）－（0,2）＝（3,0）．例17已知向量，且，則等于．【答案】【解析】因,,故,所以,故,故應(yīng)填．舉一反三1．下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于選項(xiàng)A,B,C中的向量都共線，故不能作為基底．而選項(xiàng)D中的向量不共線，故可作為基底．選D．2．在中，為邊上一點(diǎn)，，，則=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，，故,故．3．已知平面向量=（2，1），=（1，1），=（5，1），若∥，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】∵=，=，∴＝，又=，且∥，∴，解得：=．故選B．4．如圖，中，，，點(diǎn)E是的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選：B．5．在平行四邊形ABCD中，，G為EF的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】．故選：B．6．在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于，則是的中點(diǎn)，且，，又，所以，即，所以，又，故選：B7．在邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC中，點(diǎn)M滿足，則（）A． B． C．6 D．【答案】D【解析】依題意得：，故選D．8．如圖，在△ABC中，是BN的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】∵分別是的中點(diǎn)，∴．又，∴．故選C．9．在中，是直線上的點(diǎn)．若，記的面積為，的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意作上圖，設(shè)，由條件，∴，，，∴點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，并且，∴

，故選：D．．10．已知為內(nèi)一點(diǎn)，，則，的面積之比為______．【答案】【解析】如圖所示，由，得，取為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，所以．故答案為：．11．在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，若，，則______．【答案】【解析】由已知，得，所以，因?yàn)?，所以，，所以．故答案為?2．在邊長(zhǎng)為的等邊中，已知，點(diǎn)在線段上，且，則________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，即，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，，三點(diǎn)共線，由平面向量三點(diǎn)共線定理得，，即，所以，又是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，故．故答案為：．13．已知向量a＝（1,2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）．若c∥（2a＋b），則λ＝________．【答案】eq\f(1,2)【解析】因?yàn)?a＋b＝（4,2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝eq\f(1,2)．14．已知向量a=（2,6）,b=,若a||b,則．【答案】【解析】由a||b可得15．若向量，，則．【答案】【解析】．課后練習(xí)1．一直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且交其對(duì)角線AC于點(diǎn)M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))（λ，μ∈R），則eq\f(5,2)μ－λ＝（）A．－eq\f(1,2) B．1 C．eq\f(3,2) D．－3【答案】A【解析】（1）eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))）＝（λ－μ）eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2（λ－μ）eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→))．因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以2（λ－μ）＋（－3μ）＝1，即2λ－5μ＝1，∴eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2)．2．已知向量滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，故選A。3．已知平面向量，則（）A． B．3C． D．5【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因此．故選A。4．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題得=（0,4），所以，故選C。5．已知向量，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，故選A。6．中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】三點(diǎn)共線，；同理由三點(diǎn)共線得解得故，故選B．7．如圖，在中，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1B．C．D．3【答案】C8．已知向量和不共線，向量，，，若??三點(diǎn)共線，則（）A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】因?yàn)??三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得，，所以，∴，解得．故選：A．9．在平行四邊形中，分別是的中點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)，且，則，又因?yàn)?，所以，解得，所以．故選：B．10．在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．故選：B．11．在等邊中，O為重心，D是的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】O為的重心，延長(zhǎng)AO交BC于E，如圖，E為BC中點(diǎn)，則有，而D是的中點(diǎn)，所以．故選：D12．在△ABC中，，M為AD的中點(diǎn)，，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取為基底．利用向量的線性運(yùn)算可得：