第四講統(tǒng)計學中的相關(guān)分析

第四講統(tǒng)計學中的相關(guān)分析*2第一節(jié)相關(guān)分析的意義和種類

一、相關(guān)分析的意義現(xiàn)象總體各單位可以有若干個數(shù)量標志，這些數(shù)量標志之間都有一定的關(guān)系，有的關(guān)系密切一些，有的關(guān)系松散一些。一般地說，如果總體中某個變量x的每一個數(shù)值，與總體中另一個變量y的數(shù)值有對應(yīng)關(guān)系，我們則將其稱為二元總體。如果總體中某個變量x的每一個數(shù)值，與總體中另外若干個變量值有對應(yīng)關(guān)系，則可將其稱為多元總體。我們僅討論二元總體的情形。*3對于二元總體，我們將關(guān)注以下幾個問題：兩個變量是不是存在關(guān)系，關(guān)系的密切程度如何，如商品銷售額是否與它的價格有關(guān)系，關(guān)系密切到什么程度等。

如果存在關(guān)系，那么這種關(guān)系的表現(xiàn)形式是什么。兩個變量是同方向變動，還是反方向變動；是線性變動，還是非線性變動。

怎樣根據(jù)一個變量的變動來估計另一個變量的變動。例如，從全社會固定資產(chǎn)投資額的變動來估計國內(nèi)生產(chǎn)總值的變動，從居民收入的變動來估計零售商品銷售額的變動等。

相關(guān)分析就是研究兩個或兩個以上變量之間相互關(guān)系的統(tǒng)計分析方法。本章將通過分析二元總體的相關(guān)關(guān)系，來提供相關(guān)分析的一般模式。社會經(jīng)濟現(xiàn)象總體中的兩個變量往往表現(xiàn)為因素標志和結(jié)果標志的的相互關(guān)系，即自變量和因變量之間的因果關(guān)系。自變量和因變量之間的關(guān)系可以概括為兩種類型，即函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象存在的一種完全確定的相互依存關(guān)系，即自變量的每一個取值，因變量會有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)。函數(shù)分析中的自變量和因變量有嚴格的區(qū)別，不能互換。相關(guān)關(guān)系是客觀現(xiàn)象存在的一種非確定的相互依存關(guān)系，即自變量的每一個取值，因變量由于受隨機因素影響，與其所對應(yīng)的數(shù)值是非確定性的。相關(guān)分析中的自變量和因變量沒有嚴格的區(qū)別，可以互換。社會經(jīng)濟的很多原發(fā)現(xiàn)象都是以相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來的。相關(guān)關(guān)系不能用數(shù)學方程式表示，只能用相關(guān)表、相關(guān)圖及相關(guān)系數(shù)來分析。*4二、相關(guān)關(guān)系的概念

*5三、相關(guān)關(guān)系的種類

（一）單相關(guān)和復(fù)相關(guān)相關(guān)關(guān)系按影響因素的多少可分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)單相關(guān)就是結(jié)果標志只受一個因素標志影響的相關(guān)關(guān)系。即所謂二元總體的情形，有一個自變量和一個因變量。復(fù)相關(guān)就是結(jié)果標志受兩個或兩個以上因素標志影響的相關(guān)關(guān)系。即所謂多元總體的情形，一個因變量受多個自變量的影響。社會經(jīng)濟現(xiàn)象大多是復(fù)相關(guān)關(guān)系。

相關(guān)關(guān)系按表現(xiàn)形態(tài)可分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)，相關(guān)關(guān)系本身是一種在數(shù)量上不嚴格的依存關(guān)系。如果兩個變量所對應(yīng)的取值在直角坐標系中近似于一條直線，則可將這兩個變量的關(guān)系稱為線性相關(guān)。如果兩個變量所對應(yīng)的取值在直角坐標系中近似于一條曲線，則可將這兩個變量的關(guān)系稱為非線性相關(guān)。現(xiàn)實生活中大多數(shù)現(xiàn)象都表現(xiàn)為非線性相關(guān)。有時非線性相關(guān)現(xiàn)象可以轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)現(xiàn)象來分析。例如，股票的長期K線圖呈現(xiàn)為曲線，但幾天或幾周的K線圖可視為直線。*6（二）線性相關(guān)和非線性相關(guān)*7（三）正相關(guān)和負相關(guān)相關(guān)關(guān)系按變動方向可分為正相關(guān)和負相關(guān)如果相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為因素標志和結(jié)果標志的數(shù)值在變動方向上保持一致，則稱為正相關(guān)。例如家庭收入增加，銀行儲蓄也會增加。如果相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)為因素標志和結(jié)果標志的數(shù)值在變動方向上相反，則稱為負相關(guān)。例如企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模越大，產(chǎn)品的單位成本就越低?，F(xiàn)象總體表現(xiàn)出來的正相關(guān)或負相關(guān)是有一定條件和范圍的。某種現(xiàn)象不會永遠以正相關(guān)表現(xiàn)，也不會永遠以負相關(guān)表現(xiàn)。例如，在一定的范圍內(nèi)，增加施肥量能提高農(nóng)作物的產(chǎn)量，但如果施肥過多，反而使莊稼只長葉子，不長果實，最后可能收獲量很少。*第八章相關(guān)分析8四、相關(guān)分析的主要內(nèi)容

第一，判定相關(guān)關(guān)系呈現(xiàn)的形態(tài)、方向、以及相關(guān)關(guān)系的密切程度。判定的方法主要有繪制相關(guān)圖表和計算相關(guān)系數(shù)。第二，將相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系來分析，即將變量的相關(guān)關(guān)系擬合成一個數(shù)學表達式。如果現(xiàn)象呈現(xiàn)線性相關(guān)，我們就采用配合直線方程式的方法；如果現(xiàn)象呈現(xiàn)非線性相關(guān)，我們就采用配合曲線方程式的方法。第三，確定因變量估計值誤差的程度。用數(shù)學表達式來代表變量之間的相關(guān)關(guān)系，必然會產(chǎn)生誤差，我們可計算這種估計標準誤差。估計標準誤差大，說明數(shù)學表達式的代表性差。反之，估計標準誤差小，說明數(shù)學表達式的代表性好，預(yù)測較為精確。相關(guān)分析的主要內(nèi)容有：*9第二節(jié)相關(guān)圖表和相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)表的編制相關(guān)表可分為簡單相關(guān)表和分組相關(guān)表。相關(guān)表屬于統(tǒng)計表的一種。（一）簡單相關(guān)表簡單相關(guān)表是資料未經(jīng)分組的相關(guān)表，它是直接將原始數(shù)據(jù)中的自變量與因變量一一對應(yīng)排列，并將變量值按從小到大排序形成的統(tǒng)計表。從表中可以直觀地看出：隨著產(chǎn)量的增加，單位成本有逐漸降低的趨勢，但不是與產(chǎn)量成等比例地降低，即產(chǎn)量與單位成本呈現(xiàn)負相關(guān)關(guān)系。產(chǎn)量與單位成本這種變動關(guān)系體現(xiàn)了產(chǎn)品生產(chǎn)的規(guī)模經(jīng)濟效果。*10例8‐1某企業(yè)最近不斷擴大產(chǎn)品生產(chǎn)規(guī)模，每次擴大規(guī)模后產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本的相關(guān)資料如下表所示：某企業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料

產(chǎn)量（萬件）x

單位成本（元）y

101632405060767267656359*11分組相關(guān)表是將原始數(shù)據(jù)進行分組而編制的統(tǒng)計表，它適用于資料數(shù)量很大的情況。下表為某地132戶居民人均收入與人均支出的分組相關(guān)表：（二）分組相關(guān)表分組相關(guān)表的自變量分組可以是單項式的，也可以是組距式的。本例為組距式，人均年收入以組中值表示。某地人均收入與人均支出的樣本資料

人均年收入（千元）組中值x（千元）戶數(shù)（戶）人均年支出y（千元）1.0以下1.0～2.02.0～3.03.0～4.04.0～5.05.0以上915233736120.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.0從表中可以看出：人均收入與人均支出的關(guān)系是正相關(guān)關(guān)系。即人均收入越高，相應(yīng)的人均支出也越多。*12二、相關(guān)圖的繪制相關(guān)圖又稱散點圖，它是將相關(guān)表中的觀察值在平面直角坐標系中用坐標點描繪出來的圖形。相關(guān)圖可以用來直觀地分析兩個變量相關(guān)的分布狀況。本例人均收入x與人均支出y呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)程度較為密切。

下圖根據(jù)以上分組相關(guān)表資料繪制的：4321

??

??

?

?

01234560123456*13三、相關(guān)系數(shù)的計算和分析相關(guān)系數(shù)是測定變量之間相關(guān)密切程度的比較完善的指標。單相關(guān)是最基本的相關(guān)關(guān)系，而測定單相關(guān)的相關(guān)系數(shù)是最基本的相關(guān)分析方法。

0123456（一）相關(guān)系數(shù)計算公式剖析

計算公式為：*第八章相關(guān)分析14

0123456式中：是x和y的協(xié)方差；是x的標準差；是y的標準差。

1．協(xié)方差的意義

協(xié)方差是一個積差平均數(shù)，可用來度量x和y的相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差有兩個作用：一是它的數(shù)值有正有負，可表明兩個變量是正相關(guān)還是負相關(guān)。二是協(xié)方差數(shù)值的大小可表明兩個變量相關(guān)程度的大小。*15

0123456協(xié)方差的正負號與相關(guān)方向的關(guān)系圖示：Ⅰ

ⅡⅢⅣ

當相關(guān)點分布在Ⅰ和Ⅲ兩部分時，協(xié)方差表現(xiàn)為正數(shù)，說明是正相關(guān)；當相關(guān)點分布在Ⅱ和Ⅳ兩部分時，協(xié)方差表現(xiàn)為負數(shù)，說明是負相關(guān)。從圖中可看出：*16

0123456協(xié)方差數(shù)值的大小與與變量相關(guān)程度大小的關(guān)系

如果相關(guān)點呈散亂分布狀態(tài)，表明兩個變量的相關(guān)程度較低，這時因正負項相互抵消，所以絕對值很小，即協(xié)方差的絕對值很小，從而相關(guān)系數(shù)的絕對值也很小，表示x和y的相關(guān)程度較低。反之，若相關(guān)點的分布十分靠近某一直線，這時少有正負項抵消或沒有正負項抵消，則協(xié)方差的絕對值較大，表示x和y的相關(guān)程度密切。協(xié)方差是個隨機變量，可大可小，不能直接作為相關(guān)系數(shù)。*17

01234562．標準差的作用

標準差和的作用在于對協(xié)方差進行標準化處理：

由于

≥０所以

2r+2

≥0，r≥-1;-2r+2≥0，r≤1;-1≤r≤1或∣

r∣≤1當x和y完全相關(guān)時，且*18

0123456和

所以有：

即∣r∣=1，*19

0123456（二）相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

相關(guān)系數(shù)只適用于線性相關(guān)的現(xiàn)象，其性質(zhì)有如下幾點：1．當＝1時，x和y為完全線性相關(guān)，即存在線性函數(shù)關(guān)系。

2．當r>0時，表示x和y為正相關(guān)；當r<

0時，為負相關(guān)。3．當＝1時，即零相關(guān)，表示x和y沒有線性相關(guān)關(guān)系。零相關(guān)表示x和y不相關(guān)或存在非線性關(guān)系。4．當0<<1時，表示x和y存在著一定的線性相關(guān)關(guān)系。<0.3稱為微弱相關(guān);<0.5稱為低度相關(guān);0.3≤<0.8稱為顯著相關(guān);0.5≤<1稱為高度相關(guān);0.8≤相關(guān)系數(shù)的的基本公式比較煩瑣，其簡式計算方法有:

*20

0123456（三）相關(guān)系數(shù)的簡化計算公式

*21

0123456例8‐2試根據(jù)下表資料，計算產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本的相關(guān)系數(shù)。產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本相關(guān)系數(shù)計算表

產(chǎn)量（萬件）序號123456合計10163240506208單位成本（元）

76726765635940210025610241600250036009080577651844489422539693481271247601152214426003150354013346即產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本呈現(xiàn)高度負相關(guān)。*22

0123456例8‐3試根據(jù)下表分組資料計算某地人均收入與人均支出的相關(guān)系數(shù)。

某地人均收入與人均支出的樣本資料

人均年收入（千元）組中值x（千元）戶數(shù)（戶）人均年支出y（千元）1.0以下1.0～2.02.0～3.03.0～4.04.0～5.05.0以上915233736120.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.0將上表資料計算如下（先利用表格計算）:合計

人均收入與人均支出相關(guān)系數(shù)計算表

0.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.013.3915233736121324.522.557.5129.5162.066.0442.04.518.041.481.4129.648.0322.92.327.0103.5284.9583.2264.01264.92.2533.75143.75453.25729.00363.001725.002.2521.6074.52179.08466.56192.00936.01*23

0123456然后可用簡化公式計算如下:式中：計算結(jié)果表明該地居民人均收入與人均支出呈高度正相關(guān)關(guān)系?；貧w分析就是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個或兩個以上變量之間數(shù)量變化的一般關(guān)系進行測定，確立一個相應(yīng)的數(shù)學表達式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估算預(yù)測提供基礎(chǔ)的一種重要方法。*24第三節(jié)回歸分析一、回歸分析的意義相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)，回歸分析是相關(guān)分析的深入。只有當兩個變量具有顯著相關(guān)的情況下，進行線性回歸分析才有意義。按自變量的個數(shù)分，有一元回歸分析和多元回歸分析。一元回歸方程中只有一個自變量，多元回歸方程中，有兩個或兩個以上自變量。按回歸線的形狀分，有線性回歸分析和非線性回歸分析。其中，線性回歸分析是最基本的。本章只介紹一元線性回歸分析，即直線回歸分析。*25回歸分析的種類：*26二、直線回歸方程（一）直線回歸方程的建立當x和y呈現(xiàn)完全線性相關(guān)時，設(shè)，則可用一元線性方程式表示：若兩個變量之間存在著顯著的相關(guān)關(guān)系，可在其相關(guān)圖的散點中引出一條模擬的直線，我們稱這條直線為估計回歸線，配合回歸線的方程式稱回歸方程。即：式中：yc表示y的估計值；a表示直線的起始值，在數(shù)學上稱為直線在縱軸上的截距；b表示自變量增加一個單位時因變量平均增加的值，數(shù)學上稱為斜率，這里被稱為回歸系數(shù)。a、b是兩個待定的參數(shù)。

最小二乘法的思路是：原始數(shù)據(jù)y與它的估計值yc之間存在離差，如果在求解出a、b的同時，能使這些離差的平方之和為最小，那么得到的回歸方程將是一條最能反映原始數(shù)據(jù)變化規(guī)律的理想直線。

*27用最小二乘法來求解直線方程式參數(shù)a、b

設(shè)以Q表示y對于yc的離差平方和，則有分別對a、b求一階偏導(dǎo)，并令一階偏導(dǎo)等于0，有*28整理后得解之可得最小二乘法的數(shù)學基礎(chǔ)是為最小和*29例8‐4根據(jù)下表資料擬合一直線方程，并估算產(chǎn)量為70萬件時的單位成本。產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料及計算表

產(chǎn)量（萬件）序號123456合計10163240506208單位成本（元）

767267656359402100256102416002500360090807601152214426003150354013346可計算如下：*30得直線趨勢方程：當產(chǎn)量為70萬件時，可估算產(chǎn)品的單位成本為：回歸系數(shù)b的經(jīng)濟意義為：產(chǎn)品產(chǎn)量每增加1萬件，單位成本平均來說降低0.32元。注意：回歸系數(shù)b的正負號與同例的相關(guān)系數(shù)是相同的。

（元）注意：預(yù)測時只能給定自變量估算或預(yù)測因變量，不能給定因變量來估算或預(yù)測自變量。*31例8‐5根據(jù)下表資料試擬合一直線方程，并估算人均收入為6000元時，人均支出為多少？可計算如下：合計

某地人均收入與人均支出資料及計算表

0.51.52.53.54.55.50.51.21.82.23.64.013.3915233736121324.522.557.5129.5162.066.0442.04.518.041.481.4129.648.0322.92.327.0103.5284.9583.2264.01264.92.2533.75143.75453.25729.00363.001725.00人均收入人均支出戶數(shù)*32得直線趨勢方程：本例人均收入和人均支出的單位為千元，a為y軸上的截距；

b的經(jīng)濟意義是人均收入每增加1000元，則當年的人均支出將增加750元。彈性系數(shù)是因變量增長率與自變量增長率的比率，它表明自變量增長１%時，因變量增長百分之多少。*33（二）彈性系數(shù)、相關(guān)系數(shù)和回歸系數(shù)的關(guān)系

1．彈性系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系式中，為彈性系數(shù)；就是直線回歸方程中的斜率，即回歸系數(shù)b。因此有*第八章相關(guān)分析342．相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)的關(guān)系因此有相關(guān)系數(shù)的基本公式為而回歸系數(shù)可表達為：注意：r和b在不等于0的情況下正負方向相同。*35第一，回歸分析是研究兩個變量之間的必須有因果關(guān)系，相關(guān)分析兩個變量之間不一定有因果關(guān)系。第二，回歸分析中因變量是隨機的，自變量不是隨機變量，可以給定。相關(guān)分析中兩個變量都可以是隨機變量。第三，回歸分析對于因果關(guān)系不甚明確或互為因果關(guān)系的兩個變量，可以求出y倚x的回歸方程，也可以求出x倚y的回歸方程：（三）回歸分析與相關(guān)分析特點比較

其中：*36而相關(guān)分析時兩個變量是對等的。若將兩個變量互換位置，則計算的相關(guān)系數(shù)與原來是相同的。

第四，回歸方程在進行預(yù)測時，只能給出自變量的數(shù)值來估計因變量的可能值，而不能給出因變量的數(shù)值來估計自變量的可能值。回歸方程的逆向運算沒有現(xiàn)實意義。例如，可以根據(jù)降雨量來估計農(nóng)作物的收獲量，但不能根據(jù)農(nóng)作物的收獲量來估計降雨量。

值得注意的是：無論是相關(guān)分析還是回歸分析，在時間、空間上都是有限度的，超過了一定的范圍，所作的估算和預(yù)測就會失去實際意義。*37三、估計標準誤差（一）估計標準誤差的概念和計算利用回歸方程根據(jù)自變量來推算因變量的可能值是存在一定誤差的，這種誤差可以用估計標準誤差來表示。其計算公式為：

式中：Syx表示估計標準誤差，其下標yx表示y倚x的回歸；y表示因變量實際值；yc表示因變量估計值；分母n‐2稱為回歸估計自由度。因為回歸方程式中a、b兩個參數(shù)已知，所以失去了兩個自由度。*38計算估計標準誤差時，a、b兩個參數(shù)應(yīng)多保留幾位小數(shù)點。特別是b這個參數(shù)，它與一個較大的數(shù)x相乘，在公式中將起到杠桿作用，其微小的變化會引起估計標準誤差計算結(jié)果的很大波動。注意點某企業(yè)產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料

產(chǎn)量（萬件）x

單位成本（元）y

101632405060767267656359例8‐6已知根據(jù)下表資料擬合的直線方程為：試計算估計標準誤差。*39合計序號單位成本倚產(chǎn)量回歸方程及估計標準誤差計算表12345610163240506020876726765635940274.784872.891267.841665.316862.160859.0048—1.47670.79420.70830.10040.70430.00023.7841先利用表格計算:公式計算如下:*40估計標準誤差的簡式計算公式:現(xiàn)證明如下：由于：,和所以有：*第八章相關(guān)分析41

0123456例8‐7已知下表資料的直線方程為:試用簡式計算公式計算估計標準誤差。產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料及計算表

產(chǎn)量（萬件）序號123456合計10163240506208單位成本（元）

767267656359402577651844489422539693481271247601152214426003150354013346計算如下:*42（二）估計標準誤差和相關(guān)系數(shù)的關(guān)系總誤差、估計誤差、回歸誤差圖示：