南通市如皋市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

如皋市2022—2023學(xué)年度高二年級第一學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.已知平面的一個法向量，平面的一個法向量，若，則（）A. B.4 C. D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由面面垂直可得法向量也相互垂直，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則可得，且，，則可得，解得故選:C2.若直角三角形三條邊長組成公差為2的等差數(shù)列，則該直角三角形外接圓的半徑是（）A. B.3 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)中間的邊為，由等差數(shù)列的定義，結(jié)合勾股定理即可得到的值，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)中間的邊為，則三邊依次為由勾股定理可得，解得或（舍）即斜邊為，所以外接圓的半徑為故選:C3.已知為雙曲線與拋物線的交點，則點的橫坐標為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立方程組并求解判斷作答.【詳解】依題意，，則由解得，所以點的橫坐標為3.故選：A4.若直線與圓相切，則實數(shù)取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與圓相切可得，結(jié)合點到直線的距離公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由圓可得，表示圓心為，半徑為的圓，則圓心到直線的距離，因為直線與圓相切，所以，即，解得或，即實數(shù)取值的集合為故選:B5.已知數(shù)列首項為2，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知的遞推公式，利用累加法可求數(shù)列通項.【詳解】由已知得，，則當時，有，經(jīng)檢驗當時也符合該式．∴.故選：D6.如圖，在直三棱柱中，，為的中點，為棱的中點，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.//平面C. D.//平面【答案】B【解析】【分析】A選項可以利用三線合一證明垂直關(guān)系，B選項可利用“線面平行時，直線無論怎么平移不會和平面相交”性質(zhì)來判斷.C選項先通過類似A選項的證明得到線線垂直，結(jié)合AC的結(jié)論得到線面垂直后判斷，D選項可以構(gòu)造平行四邊形，結(jié)合線面平行的判定證明，【詳解】不妨設(shè)棱柱的高為，.B選項，根據(jù)棱柱性質(zhì)，//，而平面，若//平面，無論怎樣平移直線，都不會和平面只有一個交點，于是得到矛盾，故B選項錯誤；A選項，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），A選項正確；C選項，連接，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，過，計算可得，，又為的中點，故（三線合一），結(jié)合A選項，，，平面，故平面，由平面，故，棱柱的側(cè)棱//，故，C選項正確；D選項，取中點，連接，結(jié)合為的中點可知，為中位線，故//，且，即//，且，故四邊形為平行四邊形，故//，由平面，平面，故//平面，D選項正確.故選：B7.在數(shù)列中，若存在不小于2的正整數(shù)使得且，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.下列數(shù)列中為“數(shù)列”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用“數(shù)列”定義逐項判斷可得答案.【詳解】對于A，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故A錯誤；對于B，，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故B錯誤；對于C，對于函數(shù)，令，，因為，所以，，所以，在上為單調(diào)遞增函數(shù)，令，，因為，所以，，所以，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以對于，當時，有，當時，有，存在使得數(shù)列是“數(shù)列”，故C正確；對于D，，時，因為的單調(diào)遞增數(shù)列，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以不存在不小于2的正整數(shù)使得且，所以數(shù)列不是“數(shù)列”，故D錯誤.故選：C.8.已知為坐標原點，點坐標為，是拋物線在第一象限內(nèi)圖象上一點，是線段的中點，則斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，可得，再利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)，所以，所以，當且僅當即時等號成立，則斜率的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.已知正四面體的棱長均為1，分別以四個頂點中的兩個點作為向量的起點與終點，在這些向量中兩兩的數(shù)量積可能是（）A.0 B. C.2 D.【答案】AB【解析】【分析】由，排除C、D；取，求出；取，求出.即可判斷A、B.【詳解】在正四面體中，棱長均為1.任意以四個頂點中的兩個點作為向量的起點與終點，得到的向量的模長為1.任取兩個向量，則.所以.故C、D錯誤；取.設(shè)中點為,連接.因為為正四面體，所以.因為,面，面，所以面.因為面，所以，所以.所以.故A正確；取，則所以.故B正確.故選：AB10.已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，為橢圓上一點（異于左，右頂點），且的周長為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦距為1 B.橢圓的短軸長為C.面積的最大值為 D.橢圓上存在點，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，解得可判斷AB；設(shè)，由知當點為橢圓的上頂點或下頂點時面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓上存在點，設(shè)，求出、，可看作方程，求出判別式可判斷D.【詳解】由已知得，，解得，，對于A，橢圓的焦距為，故A錯誤；對于B，橢圓的短軸長為，故B正確；對于C，設(shè)，，當點為橢圓的上頂點或下頂點時面積的最大，此時，所以面積的最大值為，故C正確；對于D，假設(shè)橢圓上存在點，使得，設(shè)，所以，，，所以是方程，其判別式，所以方程無解，故假設(shè)不成立，故D錯誤.故選：BC.11.在棱長為的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角的為B.異面直線與所成角的為C.直線與平面所成角的正弦值為D.二面角的大小為【答案】ACD【解析】【分析】利用異面直線所成角的定義可判斷AB選項；利用線面角的定義可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，，則與所成的角為，A對；對于B選項，，所以，與所成角為或其補角，因為，，，，則，所以，，故，B錯；對于C選項，平面，故直線與平面所成角為，平面，則，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為，C對；對于D選項，平面，、平面，則，，所以，二面角的平面角為，D對.故選：ACD.12.已知數(shù)列的前項和，數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，將數(shù)列和中的項按照從小到大的順序排列構(gòu)成新的數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.數(shù)列中與之間共有項C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意可得：數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)逐項判斷即可求解.【詳解】由題意可知：數(shù)列的前項和，當時，；當時，；經(jīng)檢驗，當時也滿足，所以；又因為數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以.則數(shù)列為：，所以，故選項正確；數(shù)列是由連續(xù)奇數(shù)組成的數(shù)列，都是偶數(shù)，所以與之間包含的奇數(shù)個數(shù)為，故選項正確；因為，則為偶數(shù)，但為奇數(shù)，所以，故選項錯誤；因為，前面相鄰的一個奇數(shù)為，令，解得：，所以數(shù)列從1到共有，也即，故選項錯誤，故選：三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知等差數(shù)列前3項的和為6，前6項的和為21，則其前12項的和為______.【答案】【解析】【分析】先求得等差數(shù)列的首項和公差，然后求得前項和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以前項的和為.故答案為：14.以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，根據(jù)雙曲線的離心率公式可得出，進而可求得雙曲線的共軛雙曲線的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，則，可得，所以，雙曲線的共軛雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距為，因此，雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.故答案為：.15.已知軸截面為正三角形的圓錐頂點與底面均在一個球面上，則該圓錐與球的體積之比為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圓錐、球的體積公式求得正確答案.【詳解】畫出軸截面如下圖所示，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)球心為，圓錐底面圓心為，球的半徑為，則圓錐的高為，底面半徑為，所以圓錐與球的體積之比為.故答案為：16.擺線是一類重要的曲線，許多機器零件的輪廓線都是擺線，擺線的實用價值與橢圓、拋物線相比毫不遜色.擺線是研究一個動圓在一條曲線（基線）上滾動時，動圓上一點的軌跡.由于采用不同類型的曲線作為基線，產(chǎn)生了擺線族的大家庭.當基線是圓且動圓內(nèi)切于定圓作無滑動的滾動時，切點運動的軌跡就得到內(nèi)擺線.已知基線圓的方程為，半徑為1的動圓內(nèi)切于定圓作無滑動的滾動，切點的初始位置為.若，則的最小值為______；若，且已知線段的中點的軌跡為橢圓，則該橢圓的方程為______.【答案】①2②.【解析】【分析】根據(jù)圓、擺線、橢圓的知識求得正確答案.【詳解】當時，的最小值為.當時，初始位置為，圓的四分之一弧長為，圓的半周長為，所以的軌跡過點，所以，橢圓焦點在軸上，所以橢圓方程為.故答案為：；四、解答題（本大題共6小題，共計70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.如圖，是三棱錐的高，線段的中點為，且，.（1）證明：平面；（2）求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件證明，，由直線與平面垂直的判定定理即可證明.（2）法一：在平面中，過點作，證明平面，再求值即可；法二：到平面的距離，是三棱錐的高，利用等體積法求解.【小問1詳解】因為，線段的中點為，所以.因為是三棱錐的高，所以平面，因為平面，所以.因為平面，平面，，所以平面【小問2詳解】法一：（綜合法）在平面中，過點作，如圖所示，因平面，平面，所以.因為，平面，平面，，所以平面.在中，.所以在中，，所以，所以到平面的距離為.法二：（等體積法）設(shè)到平面的距離為，則在中，.在中，.因為是三棱錐的高，所以，，解得，所以到平面的距離為.18.已知等比數(shù)列的首項為2，前項和為，且.（1）求；（2）已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由可得公比，再由等比數(shù)列通項公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯位相減法即可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，，所以，……①所以，……②①-②，得，所以.19.已知雙曲線的實軸長為2，右焦點到的距離為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于，兩點，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線實軸長為2可得，再利用右焦點到的距離為可得，即可求得雙曲線的方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程容易解出，兩點坐標即可求得的面積.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因為雙曲線的實軸長為2，所以，解得.因為右焦點到的距離為，所以，解得或.因為，所以.可得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，聯(lián)立直線和雙曲線可得，即，或不妨設(shè)，，所以.所以.即的面積為20.已知數(shù)列的首項為1，前項和為，且滿足______.①，；②；③.從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：（1）求；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當選①時，分為奇數(shù)，偶數(shù)時，分別計算即可得到結(jié)果；當選②時，根據(jù)與的關(guān)系，即可得到結(jié)果；當選③時，根據(jù)條件得到是常數(shù)數(shù)列，從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由裂項相消法即可得到結(jié)果.【小問1詳解】選①因為，所以當為奇數(shù)時，；同理，當為偶數(shù)時，.所以.選②因為，（*）所以當時，，（**）（*）-（**），得，即，所以數(shù)列是首項為1的常數(shù)列，所以.選③因為，所以，所以數(shù)列是首項為的常數(shù)列，所以，所以當時，.當時，也符合上式.所以.【小問2詳解】由（1）得，，所以21.三棱柱中，，，線段的中點為，且.（1）求證：平面；（2）點在線段上，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由、根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面；（2）以為原點，以所在的直線為建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】三棱柱中，，在中，，線段的中點為，所以，所以；因為，平面，平面，，平面，所以平面；【小問2詳解】做交于點，以為原點，以所在的直線為建立空間直角坐標系，則，，，，.所以，，，因為，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量，則，解得，令，則，所以，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，則，由圖知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的平面角的余弦值為.22.已知為橢圓上一點，上、下頂點分別為、，右頂點為，且.（1）求橢圓的方程