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文檔簡(jiǎn)介
第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第一節(jié)概述第二節(jié)一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)
第三節(jié)二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)第三節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算核心要點(diǎn):了解時(shí)間響應(yīng)定義和典型輸入信號(hào)特點(diǎn);;掌握一階和二階系統(tǒng)時(shí)域分析方法;
掌握一階、二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算;
了解系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響,掌握穩(wěn)態(tài)誤
差的計(jì)算方法。第一節(jié)
概述1、時(shí)域分析法:
根據(jù)系統(tǒng)的微分方程,采用拉氏變換法求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),再根據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及響應(yīng)曲線來(lái)分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能及穩(wěn)態(tài)性能。用時(shí)域分析法分析系統(tǒng)性能具有直接、準(zhǔn)確、易于接受等特點(diǎn)。2、時(shí)間響應(yīng)定義:時(shí)間響應(yīng):在輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)輸出隨時(shí)間的變化過(guò)程稱為系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。(1)瞬態(tài)響應(yīng):系統(tǒng)在某一輸入信號(hào)的作用下,其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。(2)穩(wěn)態(tài)響應(yīng):當(dāng)某一輸入信號(hào)的作用下,系統(tǒng)的響應(yīng)在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)的輸出狀態(tài)。時(shí)間響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3、典型輸入信號(hào)正弦0tsinwt第二節(jié)
一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、時(shí)域分析法的思路:輸入信號(hào)Xi(t)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型Φ(s)輸出信號(hào)Xo(t)2、數(shù)學(xué)求解過(guò)程:Xi(t)Xi(S)Xo(S)=Φ(s)Xi(S)Xo(t)td、tr、tp、tsMp、N、ess拉氏變換由Φ(s)定義拉氏反變換計(jì)算性能指標(biāo)一、時(shí)域分析方法3.時(shí)間響應(yīng)分析的步驟:系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)動(dòng)態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)性能分析系統(tǒng)的基本性質(zhì)及結(jié)論二、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
凡是能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。其典型形式是慣性環(huán)節(jié)。Ui(S)Uo(S)I
(S)-Uo(S)+微分方程:傳遞函數(shù):方框圖:Xi(s)Xo(s)例:RC低通濾波電路三、一階系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)1.單位脈沖響應(yīng)脈沖輸入輸入的拉氏變換一階系統(tǒng)脈沖響應(yīng)輸出的拉氏變換脈沖響應(yīng)分析:響應(yīng)的初始值為1/T,當(dāng)響應(yīng)時(shí)間達(dá)到時(shí)間常數(shù)T時(shí),響應(yīng)的值為0.368/T,只有當(dāng)t趨近于無(wú)窮時(shí),響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài),穩(wěn)態(tài)值為0。
2.單位階躍響應(yīng)階躍輸入輸入的拉氏變換階躍響應(yīng)輸出的拉氏變換階躍響應(yīng)分析:當(dāng)響應(yīng)時(shí)間t達(dá)到時(shí)間常數(shù)T時(shí),響應(yīng)的值為0.632,經(jīng)過(guò)時(shí)間3T~4T,響應(yīng)值達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%~98%,只有當(dāng)t趨近于無(wú)窮時(shí),響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值為13.單位速度響應(yīng)速度輸入輸入的拉氏變換輸出的拉氏變換速度響應(yīng)速度響應(yīng)分析:當(dāng)響應(yīng)時(shí)間t達(dá)到時(shí)間常數(shù)T時(shí),響應(yīng)的值為0.368T,當(dāng)t趨近于無(wú)窮時(shí),響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為T(mén)。4、一階系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)時(shí)間響應(yīng)的比較:一階系統(tǒng)傳遞函數(shù)典型輸入(時(shí)域)
時(shí)間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差ess01(t)0tT總結(jié)規(guī)律:(1)三個(gè)典型輸入信號(hào)之間存在著積分和微分的關(guān)系,因此它們的時(shí)間響應(yīng)之間也存在著同樣的積分和微分的關(guān)系;(2)一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線為單調(diào)變化曲線,響應(yīng)滯后,慣性較大,時(shí)間常數(shù)T越小,系統(tǒng)響應(yīng)速度越快,T反映了系統(tǒng)的慣性大小。微分積分微分積分5、時(shí)間常數(shù)對(duì)時(shí)間響應(yīng)的影響分析單位脈沖響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)時(shí)間常數(shù)T越小,系統(tǒng)慣性越小,系統(tǒng)響應(yīng)越快;時(shí)間常數(shù)T越大,系統(tǒng)慣性越大,系統(tǒng)響應(yīng)越慢。結(jié)論:第三節(jié)
二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
能夠用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。其典型形式是振蕩環(huán)節(jié)。微分方程:傳遞函數(shù):方框圖:-Xi(s)Xo(s)根據(jù)ξ的大小,可將二階系統(tǒng)分為以下類型:jωs2s1[s平面]jωs1=s2二、二階系統(tǒng)的類型二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程2個(gè)特征根為(1)ξ>1,有2個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,系統(tǒng)稱為過(guò)阻尼系統(tǒng)。(2)ξ=1,有2個(gè)相等的負(fù)實(shí)根,系統(tǒng)稱為臨界阻尼系統(tǒng)。jωs2s1jωs2s1jωs2s1jωs2s1(3)0<ξ<1,有2個(gè)共軛復(fù)根,系統(tǒng)稱為欠阻尼系統(tǒng)。(4)ξ=0,有2個(gè)共軛虛根,系統(tǒng)稱為無(wú)阻尼系統(tǒng)。(5)ξ<0,系統(tǒng)稱負(fù)無(wú)阻尼系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個(gè)相等根jωnξ<0ωd=ωnσjωnβξ=0
jω右半平面ξ<0ξ>1兩個(gè)不等根0負(fù)<-1ξ<-1兩個(gè)不等根正穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定ξ不同取值對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響三、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1、欠阻尼狀態(tài)輸入:輸出:有2個(gè)共軛復(fù)根有阻尼振蕩角頻率
穩(wěn)態(tài)分量由輸入信號(hào)決定;瞬態(tài)分量是一個(gè)以ωd為頻率的周期衰減振蕩過(guò)程,其衰減的快慢取決于ωn和ξ的大小,指數(shù)ξ,ωn稱為衰減系數(shù),由系統(tǒng)的極點(diǎn)決定。穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量0[s]
欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線衰減振蕩欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線為衰減振蕩,振幅大小取決于阻尼比ξ,衰減的快慢取決于ωn和ξ的大小。2、無(wú)阻尼狀態(tài)這是一條無(wú)阻尼的等幅振蕩曲線,二階系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。過(guò)渡過(guò)程是不收斂的,即不存在。有2個(gè)共軛虛根3、臨界阻尼狀態(tài)有2個(gè)相等的負(fù)實(shí)根xo0t1這是一條單調(diào)上升曲線,沒(méi)有振蕩,沒(méi)有超調(diào),二階系統(tǒng)處于振蕩與不振蕩的臨界狀態(tài)。但是曲線響應(yīng)很慢,相當(dāng)于2個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。4、過(guò)阻尼狀態(tài)txo01這是一條無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線,二階系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間較長(zhǎng),也相當(dāng)于2個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。有2個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根jωs2s1發(fā)散振蕩5、負(fù)阻尼狀態(tài)(1)-1<ξ<0,有一對(duì)共軛虛根,位于S平面的右邊。輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同,但是曲線為發(fā)散振蕩,由于指數(shù)的冪–ξωn>0,導(dǎo)致周期振蕩的幅值包絡(luò)線發(fā)散。jωs2s1單調(diào)發(fā)散(2)ξ<-1,有一對(duì)不相等的負(fù)實(shí)根,位于S平面的右邊。
輸出表達(dá)式與過(guò)阻尼狀態(tài)相同,但是曲線為單調(diào)發(fā)散。jωs2s1jωs1=s2jωs2s1jωs2s1xo01t無(wú)阻尼欠阻尼臨界阻尼過(guò)阻尼
左極點(diǎn)穩(wěn)定,右極點(diǎn)發(fā)散;復(fù)極點(diǎn)振蕩,實(shí)極點(diǎn)不振蕩;極點(diǎn)起慣性延緩的作用,離虛軸越近影響越大;零點(diǎn)起微分加快作用,可抵消最近極點(diǎn)作用;結(jié)論:總結(jié)xo01t衰減振蕩不振蕩不振蕩等幅振蕩jωs2s1jωs2s1負(fù)阻尼發(fā)散振蕩單調(diào)發(fā)散
實(shí)際系統(tǒng)一般設(shè)計(jì)為0.4≤ξ≤0.8的欠阻尼狀態(tài),系統(tǒng)可以既快又穩(wěn)的跟蹤輸入信號(hào)。在控制工程中,除了那些不容許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外,通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、快速的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。
例1、求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)例2、求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第四節(jié)
二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)性能指標(biāo)是時(shí)域分析方法中對(duì)系統(tǒng)性能的定量描述,包括:穩(wěn)定性指標(biāo)、穩(wěn)態(tài)性指標(biāo)、動(dòng)態(tài)性指標(biāo)。a收斂性b振蕩次數(shù)N穩(wěn)定性指標(biāo)c延遲時(shí)間td動(dòng)態(tài)性指標(biāo)d上升時(shí)間tre峰值時(shí)間tpf調(diào)節(jié)時(shí)間tsg超調(diào)量Mp穩(wěn)態(tài)性指標(biāo)h穩(wěn)態(tài)誤差ess快穩(wěn)準(zhǔn)在時(shí)域分析法中約定在單位階躍信號(hào)作用下測(cè)定系統(tǒng)的性能。1、性能指標(biāo)定義收斂性①穩(wěn)定性指標(biāo):收斂是指系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)狀態(tài),在其動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程中,振蕩逐漸減弱并穩(wěn)定在某一狀態(tài)。反之則稱為發(fā)散。振蕩次數(shù)N①穩(wěn)定性指標(biāo):振蕩次數(shù)N是指在ts內(nèi)輸出量h(t)達(dá)到穩(wěn)態(tài)前,穿越穩(wěn)態(tài)值h(∞)次數(shù)的一半,反映了控制系統(tǒng)的阻尼特性。ts延遲時(shí)間td②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):延遲時(shí)間td是單位階躍響應(yīng)第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值h(∞)的50%所需的時(shí)間。ts②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):上升時(shí)間tr上升時(shí)間tr是響應(yīng)從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間;對(duì)有振蕩的系統(tǒng),也可定義為從0到第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。ts②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):峰值時(shí)間tp峰值時(shí)間tp是響應(yīng)超過(guò)穩(wěn)態(tài)值h(∞)到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。ts調(diào)節(jié)時(shí)間ts調(diào)節(jié)時(shí)間是響應(yīng)到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的允許誤差范圍內(nèi)(±5%或±2%)所需的最小時(shí)間。ts②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):超調(diào)量Mp超調(diào)量Mp是在動(dòng)態(tài)過(guò)程中,輸出量的最大值h(tp)超出穩(wěn)態(tài)值h(∞)的百分比。定義為Mpts②動(dòng)態(tài)性指標(biāo):ts③
穩(wěn)態(tài)性指標(biāo):穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差:期望值與穩(wěn)態(tài)值之差,是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時(shí)間響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所用時(shí)間在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值上,用穩(wěn)態(tài)值的絕對(duì)百分?jǐn)?shù)做一個(gè)允許誤差范圍,響應(yīng)曲線達(dá)到并且永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所用的最小時(shí)間10t這些點(diǎn)已被確定0.05或0.022、性能指標(biāo)推導(dǎo)不可能為0!04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表1不同阻尼比的最大超調(diào)量最大超調(diào)量與阻尼比成反比10t另一種求解方法:阻尼比0.707為最佳阻尼比總結(jié):當(dāng)ξ一定時(shí),tr,tp,ts均與ωn成反比,提高ωn可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度,因此tr,tp,ts反映時(shí)間響應(yīng)的快速性;當(dāng)ωn一定時(shí),若ξ增大,則tr,tp增大,系統(tǒng)響應(yīng)速度降低,但振蕩幅度Mp和振蕩次數(shù)N減小,Mp和N反映時(shí)間響應(yīng)的平穩(wěn)性;響應(yīng)速度和振蕩幅度矛盾,應(yīng)折衷選取ξ和ωn;(1)對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié),決定了振蕩衰減的快慢。極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn),該環(huán)節(jié)響應(yīng)曲線衰減越快。(2)若某極點(diǎn)附近有零點(diǎn),則該極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響大大減小。(偶極子相消)Xi(s)Xo(s)-例1:某數(shù)控機(jī)床的位置隨動(dòng)系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)框圖如圖所示,試求系統(tǒng)的。解:首先計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式相比較,得例2:控制系統(tǒng)框圖如圖所示。若要求單位階躍響應(yīng)超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間,試確定的值。解:首先計(jì)算系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式相比較,得Xi(s)Xo(s)-由性能指標(biāo),可以求得系統(tǒng)的特征參數(shù)將系統(tǒng)的特征參數(shù)帶入,可以求得例3:已知機(jī)械系統(tǒng)如圖,在質(zhì)量塊上施加8.9N的階躍力作用,測(cè)得其時(shí)間響應(yīng)如圖。求系統(tǒng)參數(shù)m,B,ktxo(t)00.030.00292解:首先求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。xiBxomK聯(lián)立三式求出m、c、k。第五節(jié)
高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)t01二階系統(tǒng)階躍響應(yīng):1xot0一階系統(tǒng)階躍響應(yīng):
二階以上的高階微分方程所描述的系統(tǒng)叫做高階系統(tǒng)。大多數(shù)實(shí)際控制系統(tǒng)都屬于高階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)響應(yīng)二階系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)論:高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成的。因此高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)包含指數(shù)函數(shù)分量和衰減正弦函數(shù)分量。
距離虛軸最近的極點(diǎn)對(duì)(或極點(diǎn))對(duì)時(shí)間響應(yīng)起主導(dǎo)作用,稱之為主導(dǎo)極點(diǎn)。1、主導(dǎo)極點(diǎn)
高階系統(tǒng)各閉環(huán)極點(diǎn)產(chǎn)生的分量對(duì)系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的影響程度是不同的。工程上當(dāng)極點(diǎn)對(duì)S3,4,S5,6距離虛軸的距離大于5倍的極點(diǎn)對(duì)S1,2距虛軸的距離時(shí),分析時(shí)可忽略S3,4,S5,6。即若ai
≥5an
,sn稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。
閉環(huán)傳遞函數(shù)中,如果零、極點(diǎn)數(shù)值上相近(零、極點(diǎn)靠得很近),則可將該零點(diǎn)和極點(diǎn)一起消去,這對(duì)靠得很近的零、極點(diǎn)稱為偶極子。
偶極子的概念對(duì)控制系統(tǒng)的綜合設(shè)計(jì)很有用,利用偶極子相消,可以消去對(duì)系統(tǒng)性能有不利影響的極點(diǎn),使系統(tǒng)性能得到改善。2、偶極子
對(duì)于高階系統(tǒng)的研究和分析,一般是比較復(fù)雜的。高階系統(tǒng)通過(guò)合理的簡(jiǎn)化,可以用低階系統(tǒng)近似。3.6穩(wěn)態(tài)誤差分析與計(jì)算1、穩(wěn)定性
2、準(zhǔn)確性
3、快速性誤差動(dòng)態(tài)誤差:誤差隨時(shí)間變化的過(guò)程值;穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后實(shí)際輸出量和希望輸出量之間的相差程度。對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求:1、誤差:輸出量的希望值和實(shí)際值之差。3、偏差:系統(tǒng)的輸入和主反饋信號(hào)之差。2、穩(wěn)態(tài)誤差:當(dāng)t→∞時(shí)的系統(tǒng)誤差,即誤差的穩(wěn)態(tài)分量。3.6.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)-Xor(s)Er(s)+4、誤差與偏差的關(guān)系:控制系統(tǒng)在理想工作狀態(tài)下,偏差E(s)=0,控制系統(tǒng)無(wú)控制作用,此時(shí)系統(tǒng)的輸出為理想輸出對(duì)于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1,誤差即為偏差。3.6.2穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算單位反饋系統(tǒng)H(s)=1Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)G(s):前向通道傳遞函數(shù)H(s):反饋通道傳遞函數(shù)3.6.3系統(tǒng)的類型與典型信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳函為1、系統(tǒng)的類型K-開(kāi)環(huán)增益;(注意一定是開(kāi)環(huán)傳函尾1形式對(duì)應(yīng)的K)
v-開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中包含積分環(huán)節(jié)的數(shù)目;T-時(shí)間常數(shù);(尾1形式)稱為0型系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng)稱為II型系統(tǒng)系統(tǒng)的型別以來(lái)劃分:Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)2、典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(1)單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差位置誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)E(s)-B(s)(2)單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差速度誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1(3)單位加速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差加速度誤差系數(shù)單位反饋系統(tǒng)H(s)=1輸入誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別3、典型輸入作用下,單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差表結(jié)論:(1)提高系統(tǒng)型次,或增加前向通道中積分環(huán)節(jié)數(shù)目,可減小或消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。(2)增大系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益K,有利于減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例題:?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,試求求輸入信號(hào)分別為
,時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差解:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)為0型,開(kāi)環(huán)增益K=2注意K一定是開(kāi)環(huán)傳函尾1形式對(duì)應(yīng)的K時(shí)時(shí)例題:?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
當(dāng)輸入為單位速度(斜坡)函數(shù)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為的K值。解:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)化成尾1形式為:則:K=500
例題:考慮下圖所示的電纜卷線機(jī)控制系統(tǒng),已知輸入信號(hào)即電纜的預(yù)
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