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2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)直線l經(jīng)過A(﹣2,3),B(﹣1,2)兩點(diǎn),則直線l的傾斜角是()A.π4 B.3π4 C.π32.(5分)拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為()A.x=﹣1 B.y=﹣1 C.x=-116 D.3.(5分)圓C1:xA.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切4.(5分)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài) B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài) C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài) D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)5.(5分)若函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間(﹣∞,3)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞,﹣2] B.[﹣2,+∞) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞)6.(5分)直線l的方向向量為m→=(1,-1,0),且l過點(diǎn)A(1,1,2),則點(diǎn)P(2,﹣2,1)到直線A.2 B.3 C.6 D.27.(5分)已知空間三點(diǎn)A(4,1,9),B(10,﹣1,6),C(2,4,3),則下列結(jié)論不正確的是()A.|AB|=|AC| B.點(diǎn)P(8,2,0)在平面ABC內(nèi) C.AB⊥AC D.若AB→=2CD→8.(5分)已知直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+my﹣2m=0相交于點(diǎn)P,圓C:x2+y2﹣4x﹣2y=0交y軸正半軸于M,若N是圓C上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值是()A.5 B.25 C.35 二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.(多選)9.(5分)已知直線l0:x+y+1=0,則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)(0,1)到直線l0的距離是2 B.直線l1:x﹣y+1=0,則l0⊥l1 C.直線l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m為常數(shù)),若l0∥l2,則m=﹣1或m=2 D.直線l3:x+y﹣1=0,則l0和l3的距離為2(多選)10.(5分)已知曲線C:mx2+ny2=mn()A.若m=n>0,則C是圓,其半徑為n B.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±-C.若mn>0,且m>n,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在x軸上 D.若C是等軸雙曲線,則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)以x=n為準(zhǔn)線的拋物線方程為y2=4mx(多選)11.(5分)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q為底面ABCD內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)且滿足A1P→=A1A→+xAB→+xA.C1B.直線PQ與DD1為異面直線 C.線段PQ長(zhǎng)度最小值等于(2D.三棱錐B1﹣APQ的體積可能取值為a12.(5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右兩焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,其中|F1F2|=2c,直線l:y=k(x+A.若|AF2|+|BF2|=m,則|AB|=4a﹣2m B.若AB的中點(diǎn)為M,則kOMC.|AB|的最小值為2bD.AF1三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(5分)過點(diǎn)(1,2)且與圓x2+y2=1相切的直線方程為.14.(5分)如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠BAD=90°,AB=3,AD=2,AA1=3,M是底面ABCD的中心,設(shè)AB→=a→,AD→=b→,A15.(5分)已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線交C于P、Q兩點(diǎn),交l于點(diǎn)M,且PF→=2FQ→,則|16.(5分)已知曲線C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是12,P為其上頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于PF2的直線與C四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知3a=5(1)求sinA的值;(2)若b=4,求△ABC的面積.18.(12分)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.(1)求證:PQ∥平面BCD;(2)若DA=DB=DC=4,∠BDC=90°,求AC與平面BQM所成角的余弦值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中:①圓C過A(1,0)和B(﹣1,2),且圓心在直線l:2x+y+2=0上;②圓C過E(0,3(1)在①②兩個(gè)條件中,任選一個(gè)條件求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)在(1)的條件下,過直線x=3上的點(diǎn)P(3,﹣4)分別作圓C的兩條切線PQ,PR(Q,R為切點(diǎn)),求直線QR的方程,并求弦長(zhǎng)|QR|.20.(12分)已知圓⊙:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)M在x軸上的投影為N,點(diǎn)C滿足CN→(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程C;(2)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與C交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),求△OAB面積的最大值.21.(12分)如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,滿足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,AD=1,AB=3,BC(1)求證:平面SBD⊥平面SAC;(2)若平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為64,求B到平面SCD22.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F(2,0)的距離比到直線x+4=0的距離小2.(1)求曲線C的方程;(2)過點(diǎn)F作斜率為k1,k2的兩條直線分別交C于M,N兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),其中k1+k2=12.設(shè)線段MN和PQ的中點(diǎn)分別為A,B,過點(diǎn)F作FD⊥AB,垂足為D
2022-2023學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(5分)直線l經(jīng)過A(﹣2,3),B(﹣1,2)兩點(diǎn),則直線l的傾斜角是()A.π4 B.3π4 C.π3【解答】解:設(shè)直線的傾斜角為α,由已知可得直線的斜率k=tanα=3-2又α∈[0,π),所以α=3π故選:B.2.(5分)拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程為()A.x=﹣1 B.y=﹣1 C.x=-116 D.【解答】解:因?yàn)閽佄锞€y=4x2,可化為:x2=14則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1故選:D.3.(5分)圓C1:xA.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切【解答】解:∵圓x2+y2﹣8x+6y+9=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x﹣4)2+(y+3)2=16,∴圓x2+y2﹣8x+6y+9=0的圓心是C2(4,﹣3),半徑=4.又∵圓x2+y2=9的圓心是C1(0,0),半徑r2=3.∴|C1C2|=5,∵|r1﹣r2|=1,r1+r2=7,∴|r1﹣r2|<|OC|<r1+r2,可得兩圓相交.故選:B.4.(5分)在北京冬奧會(huì)上,國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lgP的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)T=220,P=1026時(shí),二氧化碳處于液態(tài) B.當(dāng)T=270,P=128時(shí),二氧化碳處于氣態(tài) C.當(dāng)T=300,P=9987時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài) D.當(dāng)T=360,P=729時(shí),二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【解答】解:對(duì)于A,當(dāng)T=220,P=1026時(shí),lgP>3,由圖可知二氧化碳處于固態(tài),故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:當(dāng)T=270,P=128時(shí),2<lgP<3,由圖可知二氧化碳處于液態(tài),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C:當(dāng)T=300,P=9987時(shí),lgP≈4,由圖可知二氧化碳處于固態(tài),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:當(dāng)T=360,P=729時(shí),2<lgP<3,由圖可知二氧化碳處于超臨界狀態(tài),故D正確;故選:D.5.(5分)若函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間(﹣∞,3)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞,﹣2] B.[﹣2,+∞) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞)【解答】解:函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2圖象是開口向上,對(duì)稱軸為x=1﹣a,則函數(shù)f(x)在(﹣∞,1﹣a)上單調(diào)遞減,在(1﹣a,+∞)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=x2+2(a﹣1)x+2在區(qū)間(﹣∞,3)上是單調(diào)函數(shù),所以1﹣a≥3,解得a≤﹣2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(﹣∞,﹣2].故選:A.6.(5分)直線l的方向向量為m→=(1,-1,0),且l過點(diǎn)A(1,1,2),則點(diǎn)P(2,﹣2,1)到直線A.2 B.3 C.6 D.2【解答】解:∵A(1,1,2),P(2,﹣2,1),∴AP→=(1,﹣3,﹣1),又∴AP→在m→方向上的投影|AP→|?cos<∴P到l距離d=|故選:B.7.(5分)已知空間三點(diǎn)A(4,1,9),B(10,﹣1,6),C(2,4,3),則下列結(jié)論不正確的是()A.|AB|=|AC| B.點(diǎn)P(8,2,0)在平面ABC內(nèi) C.AB⊥AC D.若AB→=2CD→【解答】解:因?yàn)閨AB|62+(-2)2+(-3)因?yàn)锳B→?AC→=(6,﹣2,﹣3)?(﹣2,3,﹣6)=﹣12﹣6+18=0,所以AB⊥AC因?yàn)锳B→=(6,﹣2,﹣3),AC→所以AP→=AB→+AC→因?yàn)锳B→=(6,﹣2,﹣3),2CD→=2(﹣1,﹣9,故選:D.8.(5分)已知直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+my﹣2m=0相交于點(diǎn)P,圓C:x2+y2﹣4x﹣2y=0交y軸正半軸于M,若N是圓C上的動(dòng)點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值是()A.5 B.25 C.35 【解答】解:由直線l1:x+y+2=0與直線l2:x+my﹣2m=0相交于點(diǎn)P,故P為直線l1上任意一點(diǎn),圓C:x2+y2﹣4x﹣2y=0,得圓心為C(2,1),半徑r=5,與y軸正半軸交于點(diǎn)M設(shè)M(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),則n-2m-0×(-1)=-1m2+∴D(﹣4,﹣2),∴|DC|=(-4-2)2∴|PM|+|PN|=|PD|+|PN|≥|DN|≥|DC|-5=2故選:B.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.(多選)9.(5分)已知直線l0:x+y+1=0,則下列結(jié)論正確的是()A.點(diǎn)(0,1)到直線l0的距離是2 B.直線l1:x﹣y+1=0,則l0⊥l1 C.直線l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m為常數(shù)),若l0∥l2,則m=﹣1或m=2 D.直線l3:x+y﹣1=0,則l0和l3的距離為2【解答】解:對(duì)于A:直線l0:x+y+1=0,則點(diǎn)(0,1)到直線的距離d=|0+1+1|12對(duì)于B:直線l0:x+y+1=0的斜率k1=﹣1,直線l1:x﹣y+1=0的斜率k2=1,所以k1?k2=﹣1,故l0⊥l1,故B正確;對(duì)于C:直線l0:x+y+1=0,直線l2:mx+(m2﹣2)y+2=0(m為常數(shù)),若l0∥l2,則m=m2﹣2,解得m=2或﹣1,當(dāng)m=2時(shí),兩直線重合舍去;當(dāng)m=﹣1時(shí),兩直線平行,故m=﹣1.故C錯(cuò)誤;對(duì)于D:直線l0:x+y+1=0,直線l3:x+y﹣1=0,則直線l0∥l3,所以這兩直線的距離d=|1+1|12故選AB.(多選)10.(5分)已知曲線C:mx2+ny2=mn()A.若m=n>0,則C是圓,其半徑為n B.若mn<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±-C.若mn>0,且m>n,則C是橢圓,其焦點(diǎn)在x軸上 D.若C是等軸雙曲線,則以原點(diǎn)為頂點(diǎn)以x=n為準(zhǔn)線的拋物線方程為y2=4mx【解答】解:對(duì)A選項(xiàng),∵m=n>0,∴曲線C:mx2+ny2=mn可化為:x2+y2=n,∴曲線C是圓,其半徑為n,∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)B選項(xiàng),∵mn<0,∴曲線C:mx2+ny2=mn可化為:x2∴曲線C是雙曲線,其漸近線方程為x2即y=±-mn對(duì)C選項(xiàng),∵mn>0,且m>n,∴曲線C:mx2+ny2=mn可化為:y2m+x2∴曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,∴C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)D選項(xiàng),∵曲線C:mx2+ny2=mn是等軸雙曲線,∴曲線C:mx2+ny2=mn可化為:x2∴m+n=0,且mn<0,∴以原點(diǎn)為頂點(diǎn)以x=n為準(zhǔn)線的拋物線方程為y2=4mx,∴D選項(xiàng)正確.故選:BD.(多選)11.(5分)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P,Q為底面ABCD內(nèi)兩動(dòng)點(diǎn)且滿足A1P→=A1A→+xAB→+xA.C1B.直線PQ與DD1為異面直線 C.線段PQ長(zhǎng)度最小值等于(2D.三棱錐B1﹣APQ的體積可能取值為a【解答】解:由A1P→=A1→A即P點(diǎn)在AC上,連接BD,則BD∥B1D1,由于AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,故AA1⊥BD,又BD⊥AC,且AC∩AA1=A,AC,AA1?平面AA1C1C,故BD⊥平面AA1C1C,C1P?平面AA1C1C,所以BD⊥CP,則B1D1⊥C1P,∴C1P→?B因?yàn)楫惷嬷本€B1Q與AA1所成角為30°,且AA1∥BB1,故B1Q與BB1所成角為30°,即∠QB1B=30,則BQ=33故Q點(diǎn)在以B為圓心,BQ=33當(dāng)Q為該圓弧與BD的交點(diǎn),且P為AC,BD的交點(diǎn)時(shí),直線PQ與DD1為相交直線,B錯(cuò)誤:由于P點(diǎn)在AC上,Q點(diǎn)在以B為圓心,BQ=33故線段PQ長(zhǎng)度最小值為點(diǎn)B到直線AC的距離2a2減去圓弧的半徑BQ=33a,即最小值為(22三棱錐B1﹣APQ的高為BB1=a,假設(shè)其體積可取到a318,則其底面積S△APQ=1又因?yàn)楫?dāng)P點(diǎn)位于C處,Q位于其所在圓弧與AB或BC的交點(diǎn)處時(shí),△APQ的面積取到最大值,最大值為12×2a×22(a-33a因?yàn)?6(3-3)a2>16a2,故假設(shè)成立,即三棱錐B1﹣APQ的體積可能取值為故選:ACD.12.(5分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右兩焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2,其中|F1F2|=2c,直線l:y=k(x+A.若|AF2|+|BF2|=m,則|AB|=4a﹣2m B.若AB的中點(diǎn)為M,則kOMC.|AB|的最小值為2bD.AF1【解答】解:由題意可知,直線l過左焦點(diǎn)F1,作出圖形如下:對(duì)于A,由橢圓的定義可知,|AB|+|AF2|+|BF2|=4a,∴|AB|=4a﹣m,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,聯(lián)立方程y=k(x+c)x2a2+由韋達(dá)定理可得,x1+x2=-2ck2a2b2+a2k2,y1+y2∴AB的中點(diǎn)弦的斜率為kOM=y∴kOM?k=-b2a對(duì)于C,顯然,當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|最短,此時(shí)(-c)∴y=±b∴|AB|=2但是由于直線AB的斜率k是存在的,直線AB不會(huì)垂直于x軸,所以|AB|>2b2對(duì)于D,設(shè)A(x0,y0),則有AF1→=(c﹣x0∴AF1→?∴x02+y即點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心,2c為半徑的圓上,故原題等價(jià)于x2+y則必有x2≥0x解得55≤e≤1故選:B.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(5分)過點(diǎn)(1,2)且與圓x2+y2=1相切的直線方程為3x﹣4y+5=0或x=1.【解答】解:設(shè)切線方程為y﹣2=k(x﹣1),即kx﹣y+2﹣k=0.由于直線與圓相切,故圓心到直線的距離等于半徑,即|2-k|k2+1=其方程為3x﹣4y+5=0.又,當(dāng)斜率不存在時(shí),切線方程為x=1.故答案為:3x﹣4y+5=0或x=1.14.(5分)如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=60°,∠BAD=90°,AB=3,AD=2,AA1=3,M是底面ABCD的中心,設(shè)AB→=a→,AD→=b→,AA1→=【解答】解:如圖,取ABCD的中心M,連接D1M,AM,則D=1∴D1M→2==9=43則|D1M→故答案為:12a→15.(5分)已知拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過F的直線交C于P、Q兩點(diǎn),交l于點(diǎn)M,且PF→=2FQ→,則|MQ|=【解答】解:如圖,過點(diǎn)P做PD垂直于準(zhǔn)線l,由拋物線定義得|PF|=|PD|,焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,2),準(zhǔn)線方程y=﹣2.因?yàn)镻F→=2FQ→,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),所以x1則直線PQ方程為y=kx+2,聯(lián)立x2=8yy=kx+2,消去y得x2﹣8kx﹣16=0,解得x1=42,x2=﹣22,P(42,4),Q直線的斜率為k=24,直線方程:y所以y=-2y=24x+2,解得|MQ|=(-2故答案為:17.16.(5分)已知曲線C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是12,P為其上頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn),過F1且垂直于PF2的直線與C【解答】解:∵ca=12,∴a=2c,∴又|PF1|=|PF2|=a,|F1F2|=2c=a,∴△PF1F2為正三角形,∴MN直線垂直平分PF2,∴|NP|=|NF2|,|MP|=|MF2|,∴△PMN的周長(zhǎng)為|NP|+|MP|+|MN|=|NF2|+|MF2|+|MN|=4a,∵△PF1F2為正三角形,MN直線垂直平分PF2,∴易得直線MN的傾斜角為30°,∴直線MN的斜率為13∴設(shè)直線MN方程為x=3y﹣c∵a=2c,b=3c∴雙曲線方程可化為x24c2+y23c2聯(lián)立x=3可得13y2-63cy-9c2=0,設(shè)M(x1,y1),則|MN|=1+3∴16c2=169,∴c=134,∴a=2c∴△PMN的周長(zhǎng)為4a=26,故答案為:26.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知3a=5(1)求sinA的值;(2)若b=4,求△ABC的面積.【解答】解:(1)在△ABC中,由cosC=45>0.所以C∈(0,∵3a=5c,∴∴由正弦定理asinA=c(2)由3a=5,可得a=∴A<C,故A∈(0,π又∵sinA=55,∴∴sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2∴由正弦定理可得:asinA∴S△ABC18.(12分)如圖,在四面體ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中點(diǎn),P是BM的中點(diǎn),點(diǎn)Q在線段AC上,且AQ=3QC.(1)求證:PQ∥平面BCD;(2)若DA=DB=DC=4,∠BDC=90°,求AC與平面BQM所成角的余弦值.【解答】解:(1)證明:過P作PS∥MD,交BD于S,過Q作QR∥MD,交CD于R,連接RS,∵PS∥MD,P是BM的中點(diǎn),∴S是BD的中點(diǎn),且PS=12∵QR∥MD,AQ=3QC,M是AD的中點(diǎn),∴QR=1∴QR∥PS,且QR=PS,∴四邊形PQRS為平行四邊形,∴PQ∥SR,∵PQ?平面BCD,SR?平面BCD,∴PQ∥平面BCD.(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DB,DC,DA所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,4),B(4,0,0),C(0,4,0),P(2,0,1),Q(0,3,1),則BM→=(﹣4,0,2),MQ→設(shè)平面BQM的一個(gè)法向量為n→=(x,y,則n→?BM→=-4x+2z=0設(shè)AC與平面BQM所成角為θ,則sinθ=|則AC與平面BQM所成角的余弦值為:cosθ=1-(19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中:①圓C過A(1,0)和B(﹣1,2),且圓心在直線l:2x+y+2=0上;②圓C過E(0,3(1)在①②兩個(gè)條件中,任選一個(gè)條件求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)在(1)的條件下,過直線x=3上的點(diǎn)P(3,﹣4)分別作圓C的兩條切線PQ,PR(Q,R為切點(diǎn)),求直線QR的方程,并求弦長(zhǎng)|QR|.【解答】解:(1)選①:∵A(1,0)和B(﹣1,2),∴AB的垂直平分線方程為y=x+1,由y=x+12x+y+2=0,解得x=-1y=0,∴圓心∴r=|AC|=2,∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=4;選②:設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則3+3E+F=01+D+F=0∴圓C的方程為x2+y2+2x﹣3=0,即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=4;(2)由(1)可知圓心C(﹣1,0),半徑為r=2,由已知可得QR在以CP為直徑的圓上,CP為直徑的圓的方程為(x+1)(x﹣3)+y(y+4)=0,∴x2+y2﹣2x+4y﹣3=0,∴直線QR的方程4x﹣4y=0,即x﹣y=0,圓心C到直線QR的距離為d=|-1-0|∴|QR|=24-120.(12分)已知圓⊙:x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)M在x軸上的投影為N,點(diǎn)C滿足CN→(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程C;(2)過點(diǎn)P(1,0)的直線l與C交于A,B兩個(gè)不同點(diǎn),求△OAB面積的最大值.【解答】解:(1)設(shè)C(x,y),動(dòng)點(diǎn)M(m,n),由CN→=22MN→,可得m=∵M(jìn)(m,n)在圓⊙:x2+y2=4上,∴m2+n2=4,∴x2+2y2=4,∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為x2(2)由題意,設(shè)直線l的方程為1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=my+1x2+2y2=4,消去x得,即(m2所以y1+y2=-2m2+m2,y1所以|AB|=1+而O到AB的距離d=|1|所以S△AOB=12|AB|?d設(shè)4m2+6=t≥6,則m2所以S△AOB=t2+14(所以△AOB面積的最大值為62,此時(shí)m21.(12分)如圖,在四棱錐S﹣ABCD中,滿足AB⊥AD,AB⊥BC,SA⊥底面ABCD,AD=1,AB=3,BC(1)求證:平面SBD⊥平面SAC;(2)若平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為64,求B到平面SCD【解答】解:(1)證明:連接BD,AC,交于點(diǎn)E,∵在平面ABCD內(nèi),AB⊥AD,AB⊥BC,∴AD∥BC,∴△ADE∽△CBE,∵AD=1,BC=3,∴AE=13EC,BEAB=3,又AB⊥AD,AB⊥BC,∴BD=3+1=2,∴AE=14AC=3∴AE2+BE2=34+94=又SA⊥平面SBD,BD?平面ABCD,∴SA⊥BD,
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