5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)第二課時課件-高一上學期數(shù)學人教A版

yxo--1234-2-31

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（第二課時）y=sinx(xR)

x6yo--12345-2-3-41

x6o--12345-2-3-41

yy=cosx(xR)

定義域值域周期性R[-1,1]T=2波動的曲線生生不息復習引入1.定義域、值域與周期性sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41

是奇函數(shù)x6o--12345-2-3-41

ycos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱2.奇偶性與對稱性對稱中心對稱中心對稱軸對稱軸3.過山車是一項富有刺激性的娛樂工具.那種風馳電掣、有驚無險的快感令不少人著迷.過山車的運動包含了許多物理學原理，人們在設(shè)計過山車時巧妙地運用了這些原理.如果能親身體驗一下由能量守恒、加速度和力交織在一起產(chǎn)生的效果，那感覺真是妙不可言.一個基本的過山車構(gòu)造中，包含了爬升、滑落、倒轉(zhuǎn)(兒童過山車沒有倒轉(zhuǎn))，幾個循環(huán)路徑.1.函數(shù)y＝sinx與y＝cosx圖象也像過山車一樣“爬升”，“滑落”，這是y＝sinx，y＝cosx的哪些性質(zhì)？2.過山車爬升到最高點，然后滑落到最低點，然后再爬升,對應(yīng)y＝sinx，y＝cosx的哪些性質(zhì)？單調(diào)性最值

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，那么我們現(xiàn)在應(yīng)該怎樣研究正、余弦函數(shù)的單調(diào)性？（1）先研究它們在一個周期上的性質(zhì)；（2）再利用它們的周期性，將性質(zhì)擴展到整個定義域.學習新知

上節(jié)課我們借助于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象研究了它們的周期性、奇偶性.

觀察正弦函數(shù)的圖象，你覺得先選擇哪一個周期研究單調(diào)性比較好？不妨同時考慮函數(shù)值的變化特點，作出合適的選擇.正弦函數(shù)的單調(diào)性

y=sinx(xR)增區(qū)間為[，]

其值從-1增至1xyo--1234-2-31

x

sinx

…0……

…-1010-1減區(qū)間為[，]

其值從1減至-1？？？[

+2k

,

+2k],kZ[

+2k

,

+2k],kZ余弦函數(shù)的單調(diào)性

y=cosx(xR)

x

cosx-

……0…

…

-1010-1增區(qū)間為其值從-1增至1[

+2k

,

2k],kZ減區(qū)間為，

其值從1減至-1[2k

,

2k+

],kZyxo--1234-2-31

研究周期不妨選[-

π,π].xyo--1234-2-31

yxo--1234-2-31

y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

正弦、余弦函數(shù)的最值當x＝

時，ymax=1；當x＝

時，ymin=－1.當x＝

時，ymax=1；當x＝

時，ymin=－1.例1．求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么.(1)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1解：令w＝2x，使函數(shù)y＝sinw，w∈R取得最大值的集合是｛w｜w＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝w＝＋2kπ，得x＝＋kπ.典型例題即使函數(shù)y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝．函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1.(2)當3x+=2k

+即x=(k

Z)時,y的最大值為0.例1．求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么.(1)y＝sin2x，x∈R;(2)y=sin(3x+)－1典型例題鞏固練習你能歸納出形如和的函數(shù)求最值的一般思路和方法嗎？歸納總結(jié)例2.不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

(1)sin()–sin()(2)cos()-cos()

解：

又y=sinx在上是增函數(shù)

sin()<sin()即：sin()–sin()>0cos()=cos=cos

cos()=cos=cos

解：

cos<cos即：cos–cos<0又y=cosx在上是減函數(shù)從而cos()-cos()

<0典型例題(1)異名函數(shù)化為同名函數(shù)；(2)利用誘導公式把角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．歸納總結(jié)比較三角函數(shù)值大小的步驟：鞏固練習

解：令

，則．因為

的單調(diào)遞增區(qū)間是

，且由，得

，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

．例3．求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間．典型例題

變式求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．解：令

，則

．因為

的單調(diào)遞減區(qū)間是

由，得所以，所求單調(diào)遞增區(qū)間是求單調(diào)區(qū)間的步驟(1)用“基本函數(shù)法”求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)y＝sinx(或y＝cosx)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；第二步：將“ωx＋φ”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(用不等式表示)中的“x”；第三步：解關(guān)于x的不等式．(2)對于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當ω＜0時，可先用誘導公式轉(zhuǎn)化為y＝－Asin(－ωx－φ)，則y＝Asin(－ωx－φ)的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是k∈Z這一條件不能省略．歸納總結(jié)總之，求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，只需把ωx＋φ看作一個整體代入y＝sinx的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把ω化為正數(shù).練習2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函數(shù)在上單調(diào)遞減[

+2k,

+2k],kZ函數(shù)在上單調(diào)遞增[

+2k,

+2k],kZ(2)y=3sin(2x-)

單調(diào)增區(qū)間為所以：提示:單調(diào)減區(qū)間為變:y=3sin(－2x)鞏固練習(4)(3)y=(tan)sinx解：

單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為

提示:首先應(yīng)有

為減區(qū)間當即當即

為增區(qū)間。深化練習（1）通過這節(jié)課，你學到了什么知識？

（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？