2023年四川省樂山市中考數(shù)學真題 含解析

樂山市2023年初中學業(yè)水平考試數(shù)學本試題卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共8頁?？忌鞔饡r，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘。考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回?？忌鞔饡r，不能使用任何型號的計算器。第I卷（選擇題共30分）注意事項：1．選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上。2．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。1.計算：（）A.a B. C. D.12.下面幾何體中，是圓柱的是（）A. B. C. D.3.下列各點在函數(shù)圖象上的是（）A. B. C. D.4.從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調中線一期工程自2014年12月全面通水以來，已累計向受水區(qū)實施生態(tài)補水約90億立方米．其中9000000000用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源．某校準備組織初一年級500名學生進行研學旅行活動，政教處周老師隨機抽取了其中50名同學進行研學目的地意向調查，并將調查結果制成如下統(tǒng)計圖，如圖所示估計初一年級愿意去“沫若故居”的學生人數(shù)為（）A.100 B.150 C.200 D.4006.如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結．若，則（）A.2 B. C.3 D.47.若關于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（）A.4 B.8 C.12 D.168.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（）A. B. C. D.9.如圖，拋物線經過點，且，有下列結論：①；②；③；④若點在拋物線上，則．其中，正確的結論有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個10.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的上兩動點，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，面積的最大值是（）A.8 B.6 C.4 D.3第Ⅱ卷（非選擇題共120分）注意事項：1．考生使用0.5m黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內作答，答在試題卷上無效。2．作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚。3．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟。4．本部分共16個小題，共120分。二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分。11.不等式的解集是__________．12.小張在“陽光大課間”活動中進行了5次一分鐘跳繩練習，所跳個數(shù)分別為：160，163，160，157，160．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為__________．13.如圖，點O在直線上，是的平分線，若，則的度數(shù)為__________．14.若m、n滿足，則__________．15.如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．16.定義：若x，y滿足且（t常數(shù)），則稱點為“和諧點”．（1）若是“和諧點”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點”，則k的取值范圍為__________．三、解答題：本大題共10個小題，共102分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。17.計算：18.解二元一次方程組：19.如圖，AB、CD相交于點O，AO=BO，AC∥DB．求證：AC=BD．20.如圖，在中，，點D為邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作，，分別交、于點E、F，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求點C到距離．21.為了踐行習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計劃在規(guī)定時間內種植梨樹棵．開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹的數(shù)量比原計劃增加了，結果提前2天完成任務．問原計劃每天種植梨樹多少棵？22.為培養(yǎng)同學們愛勞動的習慣，某班開展了“做好一件家務”主題活動，要求全班同學人人參與經統(tǒng)計，同學們做的家務類型為“洗衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”．班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計圖表，如圖所示．家務類型洗衣拖地煮飯刷碗人數(shù)（人）101210m根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：（1）__________；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“拖地”所占圓心角度數(shù)為__________；（3）班會課上，班主任評選出了近期做家務表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學，其中有2名男生．現(xiàn)準備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學中隨機選取兩名同學分享體會，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學中有男生的概率．23.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與x軸交于點B，與y軸交于點．（1）求m的值和一次函數(shù)的表達式；（2）已知P為反比例函數(shù)圖象上的一點，，求點P的坐標．24.如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點，E是延長線上一點，連結，且．（1）求證：直線是是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長．25.在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內容：如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉到達位置，那么可以得到：，，；，，（）劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉到達扇形紙板的位置．①請在圖中作出點；②如果，則在旋轉過程中，點經過的路徑長為__________；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．26.已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點，當時，總有（1）求b值；（2）將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題：①若拋物線與拋物線有一個交點，求m的取值范圍；②設拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E，外接圓的圓心為點F，如果對拋物線上的任意一點P，在拋物線上總存在一點Q，使得點P、Q的縱坐標相等．求長的取值范圍．

樂山市2023年初中學業(yè)水平考試數(shù)學本試題卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共8頁?？忌鞔饡r，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效。滿分150分?？荚嚂r間120分鐘?？荚嚱Y束后，將本試題卷和答題卡一并交回?？忌鞔饡r，不能使用任何型號的計算器。第I卷（選擇題共30分）注意事項：1．選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上。2．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分。1.計算：（）A.a B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)合并同類項法則進行計算即可．【詳解】解：，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了合并同類項，解題的關鍵是熟練掌握合并同類項法則，準確計算．2.下面幾何體中，是圓柱的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓柱體的特征進行判斷即可．【詳解】解：A.是正方體，不符合題意；B.是圓柱，符合題意；C.是圓錐，不符合題意；D.是球體，不符合題意，故選：B．【點睛】本題考查了認識立體圖形，熟練掌握每個幾何體的特征是解題的關鍵．3.下列各點在函數(shù)圖象上的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，將選項中的各點分別代入函數(shù)解析式，進行計算即可得到答案．【詳解】解：一次函數(shù)圖象上的點都在函數(shù)圖象上，函數(shù)圖象上的點都滿足函數(shù)解析式，A.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；B.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；C.當時，，故本選項錯誤，不符合題意；D.當時，，故本選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次函數(shù)圖象上的點都在函數(shù)圖象上，是解題的關鍵．4.從水利部長江水利委員會獲悉，截止2023年3月30日17時，南水北調中線一期工程自2014年12月全面通水以來，已累計向受水區(qū)實施生態(tài)補水約90億立方米．其中9000000000用科學記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，看小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．小數(shù)點向左移動時，n是正整數(shù)；小數(shù)點向右移動時，n是負整數(shù)．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題主要考查科學記數(shù)法．科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關鍵是正確確定a的值以及n的值．5.樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源．某校準備組織初一年級500名學生進行研學旅行活動，政教處周老師隨機抽取了其中50名同學進行研學目的地意向調查，并將調查結果制成如下統(tǒng)計圖，如圖所示估計初一年級愿意去“沫若故居”的學生人數(shù)為（）A.100 B.150 C.200 D.400【答案】C【解析】【分析】用初一年級總人數(shù)500名乘以隨機抽取的50名同學中愿意去“沫若故居”的學生人數(shù)占的比值了可求解．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖，用樣本估計總體一，熟練掌握用樣本頻數(shù)估計總體頻數(shù)是解題的關鍵．6.如圖，菱形的對角線與相交于點O，E為邊的中點，連結．若，則（）A2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先由菱形的性質得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．【詳解】解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E為邊的中點，∴故選：B．【點睛】本考查菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，熟練掌握菱形的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．7.若關于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，然后即可確定兩個根，再由根與系數(shù)的關系求解即可．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程兩根為，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握此關系是解題關鍵．8.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由兩個正方形的面積分別得出其邊長，由趙爽弦圖的特征可得，則，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函數(shù)的定義計算求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長，小正方形的邊長，∵，∴，在中，，∴，解得（負值舍去）∴．故選A．【點睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數(shù)的計算，明確相關性質及定理是解題的關鍵．9.如圖，拋物線經過點，且，有下列結論：①；②；③；④若點在拋物線上，則．其中，正確的結論有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】拋物線經過點，且，，可以得到，，從而可以得到b的正負情況，從而可以判斷①；繼而可得出，則，即可判斷②；由圖象可知，當時，，即，所以有，從而可得出，即可判斷③；利用，再根據(jù)，所以，從而可得，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象開口向上，∴，∵拋物線經過點，且，∴，∴，故①正確；∵，，∴∴，故②正確；由圖象可知，當時，，即，∴∵，，∴，故③正確；∵，又∵，∴，∵拋物線的圖象開口向上，∴，故④錯誤．∴正確的有①②③共3個，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的性質，熟練掌握根據(jù)二次函數(shù)圖象性質是解題的關鍵．10.如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C、D是半徑為1的上兩動點，且，P為弦CD的中點．當C、D兩點在圓上運動時，面積的最大值是（）A.8 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點得出，確定，再由題意得出當?shù)难娱L線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴當時，，當時，，∴，∴，∴，∵的底邊為定值，∴使得底邊上的高最大時，面積最大，點P為的中點，當?shù)难娱L線恰好垂直時，垂足為點E，此時即為三角形的最大高，連接，∵，的半徑為1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】題目主要考查一次函數(shù)的應用及勾股定理解三角形，垂徑定理的應用，理解題意，確定出高的最大值是解題關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題共120分）注意事項：1．考生使用0.5m黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內作答，答在試題卷上無效。2．作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚。3．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟。4．本部分共16個小題，共120分。二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分。11.不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】直接移項即可得解．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關鍵．12.小張在“陽光大課間”活動中進行了5次一分鐘跳繩練習，所跳個數(shù)分別為：160，163，160，157，160．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為__________．【答案】160【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是160，出現(xiàn)了三次，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160，故答案為：160．【點睛】題目注意考查求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，理解眾數(shù)的定義是解題關鍵．13.如圖，點O在直線上，是的平分線，若，則的度數(shù)為__________．【答案】##20度【解析】【分析】根據(jù)鄰補角得出，再由角平分線求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵是的平分線，∴，故答案為：．【點睛】題目注意考查鄰補角及角平分線的計算，找準各角之間的關系是解題關鍵．14.若m、n滿足，則__________．【答案】16【解析】【分析】先將已知變形為，再將變形為，然后整體代入即可．【詳解】解：∵∴∴故答案為：16．【點睛】本題考查代數(shù)式值，冪的乘方和同底數(shù)冪除法，熟練掌握冪的乘方和同底數(shù)冪除法法則是解題的關鍵．15.如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．【答案】【解析】【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進一步即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，證明是解題的關鍵．16.定義：若x，y滿足且（t為常數(shù)），則稱點為“和諧點”．（1）若是“和諧點”，則__________．（2）若雙曲線存在“和諧點”，則k取值范圍為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)“和諧點”的定義得到，整理得到，解得（不合題意，舍去），即可得到答案；（2）設點為雙曲線上的“和諧點”，根據(jù)“和諧點”的定義整理得到，由得到，則，由進一步得到，且，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質即可得到k的取值范圍．【詳解】解：（1）若是“和諧點”，則，則，∴，即，解得（不合題意，舍去），∴，故答案為：（2）設點為雙曲線上的“和諧點”，∴，，∴，即，∴，則，∵，∴，即，∵，∴，且，對拋物線來說，∵，∴開口向下，當時，，當時，，∵對稱軸為，，∴當時，k取最大值為4，∴k的取值范圍為，故答案為：【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的性質、二次函數(shù)的圖象和性質等知識，讀懂題意，熟練掌握反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．三、解答題：本大題共10個小題，共102分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。17.計算：【答案】1【解析】【分析】先化簡絕對值及算術平方根，計算零次冪的運算，然后進行加減法即可．【詳解】解：=1．【點睛】題目注意考查實數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．18.解二元一次方程組：【答案】【解析】【分析】采用加減消元法即可求解．【詳解】解：①，得②，將②+③，得，解得．將代入①，得，∴方程組的解為：．【點睛】本題主要考查了運用加減消元法解二元一次方程組的知識，掌握加減消元法是解答本題的關鍵．19.如圖，AB、CD相交于點O，AO=BO，AC∥DB．求證：AC=BD．【答案】見解析【解析】【分析】要證明AC=BD，只要證明△AOC≌△BOD，根據(jù)AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，則可得到△AOC≌△BOD，從而求得結論．【詳解】（方法一）∵AC//DB，∴∠A=∠B，∠C=∠D．在△AOC與△BOD中∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．（方法二）∵AC//DB，∴∠A=∠B．在△AOC與△BOD中，∵，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．20.如圖，在中，，點D為邊上任意一點（不與點A、B重合），過點D作，，分別交、于點E、F，連接．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求點C到的距離．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行線的性質證明，再利用四邊形內角和為，證明，即可由矩形判定定理得出結論；（2）先由勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【小問1詳解】證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】解：∵，，∴設點C到的距離為h，∵∴∴答：點C到的距離為．【點睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長是解題的關鍵．21.為了踐行習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某地計劃在規(guī)定時間內種植梨樹棵．開始種植時，由于志愿者的加入，實際每天種植梨樹的數(shù)量比原計劃增加了，結果提前2天完成任務．問原計劃每天種植梨樹多少棵？【答案】原計劃每天種植梨樹500棵【解析】【分析】根據(jù)題意列出分式方程求解即可．【詳解】解：設原計劃每天種植梨樹x棵由題可知：解得：經檢驗：是原方程的根，且符合題意．答：原計劃每天種植梨樹500棵．【點睛】題目注意考查分式方程的應用，理解題意列出分式方程是解題關鍵．22.為培養(yǎng)同學們愛勞動的習慣，某班開展了“做好一件家務”主題活動，要求全班同學人人參與經統(tǒng)計，同學們做的家務類型為“洗衣”“拖地”“煮飯”“刷碗”．班主任將以上信息繪制成了統(tǒng)計圖表，如圖所示．家務類型洗衣拖地煮飯刷碗人數(shù)（人）101210m根據(jù)上面圖表信息，回答下列問題：（1）__________；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“拖地”所占的圓心角度數(shù)為__________；（3）班會課上，班主任評選出了近期做家務表現(xiàn)優(yōu)異的4名同學，其中有2名男生．現(xiàn)準備從表現(xiàn)優(yōu)異的同學中隨機選取兩名同學分享體會，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選同學中有男生的概率．【答案】（1）8（2）（3）【解析】【分析】（1）用做飯的人數(shù)除以做飯點的百分比，得抽取的總人數(shù)，再減去“洗衣”、“拖地”、“刷碗”的人數(shù)即可求得到m值；（2）用乘以“拖地”人數(shù)所占的百分比，即可求解；（3）畫樹狀圖或列表分析出所有可能的結果數(shù)和有男生的結果數(shù)，再用概率公式計算即可．【小問1詳解】解：，故荅案：8；【小問2詳解】解：，故荅案為：108°；【小問3詳解】解：方法一：畫樹狀圖如下：由圖可知所有可能的結果共的12種，有男生的結果有10種，所以所選同學中有男生的概率為．方法二：列表如下：男1男2女1女2男1（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，女1）由表可知所有可能的結果共的12種，有男生的結果有10種，所以所選同學中有男生的概率為．【點睛】本題考查統(tǒng)計表，扇形統(tǒng)計圖，用畫樹狀圖或列表的方法求概率．熟練掌握從統(tǒng)計圖表中獲取有用信息和用畫樹狀圖或列表的方法求概率是解題的關鍵．23.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與x軸交于點B，與y軸交于點．（1）求m的值和一次函數(shù)的表達式；（2）已知P為反比例函數(shù)圖象上的一點，，求點P的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先把點A坐標代入反比例函數(shù)解析式求出m的值，進而求出點A的坐標，再把點A和點C的坐標代入一次函數(shù)解析式中求出一次函數(shù)解析式即可；（2）先求出，，過點A作軸于點H，過點P作軸于點D，如圖所示，根據(jù)可得，求出，則點P的縱坐標為2或，由此即可得到答案．【小問1詳解】解：點在反比例函數(shù)的圖象上，，，，又點，都在一次函數(shù)的圖象上，，解得，一次函數(shù)的解析式為．【小問2詳解】解：對于，當時，，∴，，∵，過點A作軸于點H，過點P作軸于點D，如圖所示．，．，解得．點P的縱坐標為2或．將代入得，將代入得，∴點或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵．24.如圖，已知是的外接圓，，D是圓上一點，E是延長線上一點，連結，且．（1）求證：直線是是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由，可知是的直徑，由，可得，由，，可得，，則，由，可得，即，進而結論得證；（2）作，垂足為E，如圖所示，由題意知，是等腰三角形，則，由題意知，，，可求，，，由勾股定理得，根據(jù)，計算求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴是的直徑，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，又∵是半徑，∴直線是是的切線；【小問2詳解】解：作，垂足為E，如圖所示，∵，∴是等腰三角形，∵，∴，由題意知，，，∴，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴的長為．【點睛】本題考查了切線的判定，的圓周角所對的弦為直徑，同弧所對的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質，正弦，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．25.在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數(shù)學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第頁“探索”部分內容：如圖，將一個三角形紙板繞點逆時針旋轉到達的位置，那么可以得到：，，；，，（）劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵；故數(shù)學就是一門哲學．問題解決】（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為，圓心角為的扇形紙板繞點逆時針旋轉到達扇形紙板的位置．①請在圖中作出點；②如果，則在旋轉過程中，點經過的路徑長為__________；【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．【答案】問題解決（1）旋