2024屆山東省臨沂市蘭山區(qū)高三上數(shù)學期末檢測試題含解析

2024屆山東省臨沂市蘭山區(qū)高三上數(shù)學期末檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．2．定義運算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．3．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．4．已知直線y＝k（x﹣1）與拋物線C：y2＝4x交于A，B兩點，直線y＝2k（x﹣2）與拋物線D：y2＝8x交于M，N兩點，設λ＝|AB|﹣2|MN|，則（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣125．設（是虛數(shù)單位），則（）A． B．1 C．2 D．6．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當時，（為實數(shù)），則關于的不等式的解集是（）A． B． C． D．7．已知向量與向量平行，，且，則（）A． B．C． D．8．在直角中，，，，若，則（）A． B． C． D．9．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎，現(xiàn)甲從盒中隨機取出2張，則至少有一張有獎的概率為()A． B． C． D．10．已知，為兩條不同直線，，，為三個不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③11．關于函數(shù)有下述四個結論：（）①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)；③在上的最大值為2；④在區(qū)間上有4個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④12．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點的距離等于（）A． B．1 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線相切于點，是上一點(不與重合)，若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則點到拋物線頂點的距離的最小值是__________.14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則_______.15．在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.16．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，已知，且，則_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)，，且．（1）當時，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（3）若方程的兩個實數(shù)根是，試比較，與的大小，并說明理由．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（1）求直線和圓的普通方程；（2）已知直線上一點，若直線與圓交于不同兩點，求的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列中，，數(shù)列的前項和.（1）求；（2）若，求的前項和.21．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．22．（10分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設為邊上一點，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.2、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項中的圖象符合要求，故選A.3、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．4、D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，可得，，然后計算，可得結果.【詳解】設，聯(lián)立則，因為直線經(jīng)過C的焦點，所以.同理可得，所以故選：D.【點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題，運用拋物線的焦點弦求參數(shù)，屬基礎題。5、A【解析】

先利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則求出，即可根據(jù)復數(shù)的模計算公式求出．【詳解】∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的四則運算法則的應用，以及復數(shù)的模計算公式的應用，屬于容易題．6、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應用，側重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).7、B【解析】

設，根據(jù)題意得出關于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出向量的坐標.【詳解】設，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題考查向量坐標的求解，涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中等題.8、C【解析】

在直角三角形ABC中，求得，再由向量的加減運算，運用平面向量基本定理，結合向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，化簡計算即可得到所求值．【詳解】在直角中，，，，，

，

若，則故選C.【點睛】本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

先計算出總的基本事件的個數(shù)，再計算出兩張都沒獲獎的個數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎的概率，由對立事件的概率關系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機取出2張，共有種情況，2張均沒有獎的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關系，意在考查數(shù)學建模、數(shù)學計算能力，屬于基礎題.10、C【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關系進行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯誤；若，，則可能平行，故③錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C【點睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關系，屬于中檔題.11、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點對四個結論逐一分析，由此得出正確結論的編號.【詳解】的定義域為.由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù)，所以②錯誤.當時，，且存在，使.所以當時，；由于為偶函數(shù)，所以時，所以的最大值為，所以③錯誤.依題意，，當時，，所以令，解得，令，解得.所以在區(qū)間，有兩個零點.由于為偶函數(shù)，所以在區(qū)間有兩個零點.故在區(qū)間上有4個零點.所以④正確.綜上所述，正確的結論序號為①④.故選：C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.12、D【解析】

建立平面直角坐標系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點到圓錐頂點的距離.【詳解】將拋物線放入坐標系，如圖所示，∵，，，∴，設拋物線，代入點，可得∴焦點為，即焦點為中點，設焦點為，，，∴.故選：D【點睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點間的距離等基礎知識；考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)拋物線，不妨設，取，通過求導得，，再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，則，得到，兩式聯(lián)立，求得點N的軌跡，再求解最值.【詳解】因為拋物線，不妨設，取，所以，即，所以，因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過，所以，所以，所以，由，解得，所以點在直線上，所以當時，最小，最小值為.故答案為：2【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系直線的交軌問題，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14、-2【解析】

由是定義在上的奇函數(shù),可知對任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域為,,是奇函數(shù),則,即對任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應用,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.15、【解析】

利用即可建立關于的方程.【詳解】設雙曲線右焦點為，過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.16、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數(shù)的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．18、（1）（2）詳見解析（3）【解析】

試題分析：（1）當時，，由得減區(qū)間；（2）因為，所以，因為所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（3）因為，，所以試題解析：（1）當時，，由得減區(qū)間；（2）法1：，，，所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根；法2：，，是開口向上的二次函數(shù)，所以，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（3）因為，，又在和增，在減，所以．考點：利用導數(shù)求函數(shù)減區(qū)間，二次函數(shù)與二次方程關系19、（1），；（2）【解析】分析：（1）用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程，由公式可化極坐標方程為直角坐標方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，其中參數(shù)的絕對值表示直線上對應點到的距離，因此有，，直接由韋達定理可得，注意到直線與圓相交，因此判別式＞0，這樣可得滿足的不等關系，由此可求得的取值范圍.詳解：（1）直線的參數(shù)方程為，普通方程為，將代入圓的極坐標方程中,可得圓的普通方程為，（2）解：直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為可得：（*），且由題意，,.因為方程（*）有兩個不同的實根，所以，即，又，所以.因為，所以所以.點睛：（1）參數(shù)方程化為普通方程，一般用消參數(shù)法，而消參法有兩種選擇：一是代入法，二是用公式；（2）極坐標方程與直角坐標方程互化一般利用公式；（3）過的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）中參數(shù)具有幾何意義：直線上任一點對應參數(shù)，則.20、（1），；（2）.【解析】

（1）由條件得出方程組，可求得的通項，當時，，可得，當時，，得出是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，可求得的通項；（2）由（1）可知，，分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)分別求得.【詳解】（1）由條件知，，，當時，，即，當時，，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）可知，，當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，綜上，【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項的求得，以及其前n項和，注意分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況分別求得其數(shù)列的和，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡得到，故，得到答案.（2）計算，再利用面積公式計算得到答案.【詳解】（1），則，即，故，，故.（2），故，故.當時等號成立.，故，，故△ABC面積的最大值為.【點睛】本題考查了