二項式定理 全市一等獎

二項式定理復習回顧：

［提問］初中學過的完全平方公式是什么？你能寫出，思路一：提問：(1)、以為例，展開式中各項字母的形式是什么？展開式項的次數(shù)是什么？有幾項？(2)、展開式中各項的系數(shù)與展開式中各項的系數(shù)有沒有關系？(3)、你能猜想展開式的形式嗎？觀察下列幾個等式：（１）、展開式中各項是的形式，可按a（或b）的降冪排成：11121133114641…………（２）、展開式中各項系數(shù)的規(guī)律：將中展開式的系數(shù)列成表如下：發(fā)現(xiàn)：

發(fā)現(xiàn)每行兩端都是１，后一行其它各數(shù)是上一行肩上二數(shù)之和。再從一個數(shù)等于另二數(shù)之和聯(lián)想到結合數(shù)及其性質：，于是各項系數(shù)可寫成表中形式：由此猜想展開式的各項系數(shù)：

……思路二：觀察下式：

由多項式乘法知，其展開式的每一項是由4個括號各取一項相乘而得，故每一項都是形式，即.各項系數(shù)是由相同的項合并而成的，有幾項其系數(shù)就是幾，故

含的項只能由每個括號取a不取b（或說取0個b）而得，即__________，系數(shù)為_________；含的項只能由3個括號取a，余下的1個括號取b而得，即__________

，系數(shù)為__________含的項只能由2個括號取a，余下的2個括號取b而得，即__________

，系數(shù)為__________含的項只能由1個括號取a，余下的3個括號取b而得，即__________

，系數(shù)為__________

；含的項只能由4個括號都取b而得，即，系數(shù)為；

從而可得：提問：的展開式怎么寫呢？可以對b分類：

不取b，得取1個b，得取2個b，得…………取k個b，得…………取n-1個b，得取n個b，得

將這n+1個式子相加，可得二項式定理

完善結論：把上述探索得到的結果叫做二項式定理，右邊的多項式，共有n+1項，其中各項系數(shù)叫做二項式系數(shù)，其通項公式為：.說明：（1）、猜證法是數(shù)學中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明因目前知識所限，留待以后完成，目前，只要求同學熟記并會應用。（2）、二項式定理是個恒等式，定理中字母a、b可表示數(shù)或式，其中.（3）、展開式共有n+1項，各項次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。（4）、通項公式表示的是第r+1項，不是第r項，且a、b位置不能對換。（5）、二項式系數(shù)為，注意與項的系數(shù)的區(qū)別。例如：的第三項是，其二項式系數(shù)為：，第三項的系數(shù)為：。應用解析：例：（1）、展開（2）、求展開式的第3項（3）、求展開式的第3項應用解析：例（4）、的展開式中，項的系數(shù)是多少？例題2：求的展開式中的倒數(shù)第4項.小結思路一：由特殊的二項式來分析猜想一般的展開式思路二：根據(jù)多項式乘法、結合組合知識，通過猜想歸納得到二項式定理：

及通項公式：第二課時

二項式定理二項式展開的通項復習舊知第項題型1利用的二項展開式解題解法1例1求的展開式直接用二項式定理展開例1求的展開式解法2化簡后再展開例題2若,則的值()A一定為奇數(shù)C一定為偶數(shù)B與n的奇偶性相反D與n的奇偶性相同解:所以為奇數(shù)故選(A)思考能用特殊值法嗎?偶偶奇A題型2利用通項求符合要求的項或項的系數(shù)例3求展開式中的有理項解:令原式的有理項為:例4的展開式中的系數(shù)為__________解:設第項為所求的系數(shù)為分析：第k+1項的二項式系數(shù)---

第k+1項的系數(shù)-具體數(shù)值的積。解：例6：由展開式所得的x的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的共有多少項？分析：考慮的展開式的通項要使x系數(shù)為有理數(shù)，則r為6的倍數(shù)，令r=6k（k∈Z），而且0≤6k≤100，即r=0，6，12，…，96。因此共有17項。題型3二項式定理的逆用例7計算并求值解(1):將原式變形解:(2)原式題型4求多項式的展開式中特定的項(系數(shù))例8的展開式中,的系數(shù)等于___________解:仔細觀察所給已知條件可直接求得的系數(shù)是解法2運用等比數(shù)列求和公式得在的展開式中,含有項的系數(shù)為所以的系數(shù)為-20例9．求展開式中的系數(shù)。解:可逐項求得的系數(shù)的展開式通項為當時系數(shù)為的展開式通項為當時系數(shù)為所以展開式中的系數(shù)為的展開式通項為當時系數(shù)為-4題型5求乘積二項式展開式中特定的項(特定項的系數(shù))例題10:求

的展開式中項的系數(shù).解的通項是的通項是的通項是由題意知解得所以的系