常用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

常用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)匯報(bào)人：202X-12-22目錄contents函數(shù)的基本概念常見(jiàn)初等函數(shù)三角函數(shù)及其性質(zhì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)常用復(fù)合函數(shù)及其求導(dǎo)法則常用微分方程及其解法01函數(shù)的基本概念定義函數(shù)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)概念，它是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，將輸入值映射到輸出值。性質(zhì)函數(shù)具有一些基本性質(zhì)，如確定性、單值性、封閉性等。確定性是指對(duì)于每一個(gè)輸入值，函數(shù)都有唯一的輸出值與之對(duì)應(yīng)；單值性是指對(duì)于每一個(gè)輸入值，函數(shù)只有一個(gè)輸出值與之對(duì)應(yīng)；封閉性是指函數(shù)的運(yùn)算結(jié)果仍然是一個(gè)函數(shù)。函數(shù)的定義與性質(zhì)分類(lèi)根據(jù)不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，函數(shù)可以分為不同的類(lèi)型。例如，根據(jù)定義域的不同，函數(shù)可以分為實(shí)數(shù)函數(shù)、復(fù)數(shù)函數(shù)等；根據(jù)值域的不同，函數(shù)可以分為有窮函數(shù)和無(wú)窮函數(shù)等。表示函數(shù)的表示方法有多種，包括解析法、圖象法、表格法等。解析法是用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示函數(shù)；圖象法是用圖形來(lái)表示函數(shù)；表格法是用表格來(lái)表示函數(shù)。函數(shù)的分類(lèi)與表示函數(shù)的四則運(yùn)算包括加、減、乘、除等運(yùn)算。這些運(yùn)算的規(guī)則與普通數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則相同。四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算是指將多個(gè)基本函數(shù)組合起來(lái)形成一個(gè)新的函數(shù)。復(fù)合運(yùn)算的規(guī)則是先進(jìn)行內(nèi)層函數(shù)的運(yùn)算，再進(jìn)行外層函數(shù)的運(yùn)算。復(fù)合運(yùn)算反函數(shù)是指將一個(gè)函數(shù)的輸入值和輸出值互換后得到的新函數(shù)。反函數(shù)的性質(zhì)與原函數(shù)相反，例如原函數(shù)是增函數(shù)，則其反函數(shù)是減函數(shù)。反函數(shù)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則02常見(jiàn)初等函數(shù)形如$y=ax+b$的函數(shù)，其中$a$和$b$是常數(shù)，$aneq0$。定義性質(zhì)應(yīng)用當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)$a<0$時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)。一次函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如線(xiàn)性回歸分析、速度與時(shí)間的關(guān)系等。030201一次函數(shù)定義01形如$y=ax^2+bx+c$的函數(shù)，其中$a$、$b$和$c$是常數(shù)，$aneq0$。性質(zhì)02函數(shù)的開(kāi)口方向由$a$的正負(fù)決定，當(dāng)$a>0$時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，開(kāi)口向下。函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-frac{2a},f(-frac{2a}))$。應(yīng)用03二次函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如物體自由下落、拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)等。二次函數(shù)定義形如$y=frac{k}{x}$或$xy=k$的函數(shù)，其中$k$是常數(shù)且$kneq0$。性質(zhì)反比例函數(shù)的圖像分布在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)是單調(diào)遞減的。當(dāng)$k>0$時(shí)，圖像分布在第一、三象限；當(dāng)$k<0$時(shí)，圖像分布在第二、四象限。應(yīng)用反比例函數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如電流與電壓的關(guān)系、人口增長(zhǎng)與資源分配的關(guān)系等。反比例函數(shù)形如$y=x^n$的函數(shù)，其中$n$是實(shí)數(shù)。當(dāng)$n=0$時(shí)，函數(shù)退化為常數(shù)函數(shù)。當(dāng)$n>0$時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。當(dāng)$n<0$時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)槌ヘ?fù)數(shù)部分的全集。定義當(dāng)$n>0$時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)$n<0$時(shí)，冪函數(shù)是減函數(shù)。冪函數(shù)的圖像可以通過(guò)冪函數(shù)的性質(zhì)和變換得到。性質(zhì)冪函數(shù)03三角函數(shù)及其性質(zhì)y=sin(x)，周期為2π，在區(qū)間[0,2π]上重復(fù)。正弦函數(shù)y=cos(x)，周期為2π，在區(qū)間[0,2π]上重復(fù)。余弦函數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正切函數(shù)與余切函數(shù)正切函數(shù)y=tan(x)，周期為π，在區(qū)間[0,π/2)∪(π/2,π)上無(wú)界。余切函數(shù)y=cot(x)，周期為π，在區(qū)間[0,π/2)∪(π/2,π)上無(wú)界。正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的周期均為2π。周期性正弦和余弦函數(shù)具有軸對(duì)稱(chēng)性，正切和余切函數(shù)具有中心對(duì)稱(chēng)性。對(duì)稱(chēng)性正弦和余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上取得最大值為1，最小值為-1；正切和余切函數(shù)在區(qū)間[0,π/2)∪(π/2,π)上無(wú)界。最值問(wèn)題三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性及最值問(wèn)題04指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)定義：$a^x=x^a$底數(shù)大于1時(shí)，函數(shù)是遞增的；底數(shù)小于1時(shí)，函數(shù)是遞減的；性質(zhì)底數(shù)小于1時(shí)，函數(shù)是遞減的；性質(zhì)定義：$log_a(x)=y$底數(shù)大于1時(shí)，函數(shù)是遞增的；底數(shù)等于1時(shí)，函數(shù)無(wú)定義。對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)0103020405運(yùn)算規(guī)則對(duì)數(shù)函數(shù)的加法運(yùn)算：$log_a(x)+log_a(y)=log_a(xy)$指數(shù)函數(shù)的乘法運(yùn)算：$(a^x)times(a^y)=a^{x+y}$指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則及應(yīng)用02030401指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算規(guī)則及應(yīng)用應(yīng)用在金融領(lǐng)域中，指數(shù)函數(shù)常用于計(jì)算復(fù)利；在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，對(duì)數(shù)函數(shù)常用于計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差；在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)常用于加密和數(shù)據(jù)壓縮。05常用復(fù)合函數(shù)及其求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的定義由一個(gè)或多個(gè)基本初等函數(shù)通過(guò)運(yùn)算組合而成的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的特點(diǎn)復(fù)合函數(shù)可以看作是由多個(gè)基本初等函數(shù)通過(guò)逐層復(fù)合而得到的，其定義域和值域取決于各個(gè)基本初等函數(shù)的定義域和值域。復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性等性質(zhì)，這些性質(zhì)與各個(gè)基本初等函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)。復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(u(x))，其導(dǎo)數(shù)為y'=f'(u)×u'，其中f'表示f的導(dǎo)數(shù)，u'表示u的導(dǎo)數(shù)。鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(u)/g(v)，其導(dǎo)數(shù)為y'=(f'u×g-f×g')/(g^2)。商的求導(dǎo)法則對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f(u)×g(v)，其導(dǎo)數(shù)為y'=(f'u)×g+(f×g')，其中f'表示f的導(dǎo)數(shù)，g'表示g的導(dǎo)數(shù)。乘積法則對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=x^n，其導(dǎo)數(shù)為y'=nx^(n-1)。冪的求導(dǎo)法則01030204復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及運(yùn)算規(guī)則ABCD判斷函數(shù)的單調(diào)性通過(guò)求導(dǎo)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。求函數(shù)的拐點(diǎn)通過(guò)求二階導(dǎo)數(shù)可以找到函數(shù)的拐點(diǎn)，即二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。在拐點(diǎn)處，函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變。判斷函數(shù)的圖像形狀通過(guò)求導(dǎo)可以判斷函數(shù)的圖像形狀，如是否為直線(xiàn)、曲線(xiàn)、凹函數(shù)、凸函數(shù)等。求函數(shù)的極值通過(guò)求導(dǎo)可以找到函數(shù)的極值點(diǎn)，即導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。在極值點(diǎn)處，函數(shù)取得局部最大值或最小值。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)分析中的應(yīng)用06常用微分方程及其解法定義一階常微分方程是包含一個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程。解法通過(guò)分離變量法、積分因子法等方法求解。常見(jiàn)類(lèi)型dy/dt=f(t,y)，其中f是關(guān)于t和y的已知函數(shù)。一階常微分方程及其解法二階常微分方程是包含一個(gè)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的二次方程。定義y''+p(t)y'+q(t)y=f(t)，其中p和q是關(guān)于t的已知函數(shù)。常見(jiàn)類(lèi)型通過(guò)特征根法、降階法等方法求解。解法二階常微分方程及其解法定義高階常微分方程