大學考研數(shù)學分析筆記

全國考研專業(yè)課高分資料大學《數(shù)學分析》筆記筆記：目標院校目標專業(yè)本科生筆記或者輔導班筆記講義：目標院校目標專業(yè)本科教學課件期末題：目標院校目標專業(yè)本科期末測試題2-3套模擬題：目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課模擬測試題2套復習題：目標院校目標專業(yè)考研專業(yè)課導師復習題真題：目標院校目標專業(yè)歷年考試真題，本項為贈送項，未公布的不送！目錄第二模塊筆記3第一局部實數(shù)集與函數(shù)3第二局部數(shù)列極限8第三局部函數(shù)極限10第四局部函數(shù)連續(xù)性15第五局部導數(shù)與微分32第六局部微分中值定理及其應用38第八局部不定積分53第九局部定積分56第十局部定積分的應用62第十一局部反常積分70第十二局部數(shù)項級數(shù)74第十三局部函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)92第十四局部冪級數(shù)103第十五局部傅里葉級數(shù)118第十六局部多元函數(shù)的極限與連續(xù)133第十七局部多元函數(shù)微分學138第十八局部隱函數(shù)定理及其應用150第十九局部含參量積分154第二十局部曲線積分165第二十一局部重積分168第二十二局部曲面積分177第二模塊筆記第一局部實數(shù)集與函數(shù)

§1

實數(shù)數(shù)學分析研究的對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，因此先表達一下實數(shù)的有關概念一．

實數(shù)及其性質(zhì)：回憶中學中關于有理數(shù)和無理數(shù)的定義.有理數(shù)：假設規(guī)定：那么有限十進小數(shù)都能表示成無限循環(huán)小數(shù)。例如：記為；0記為；記為實數(shù)大小的比擬定義1

給定兩個非負實數(shù)其中為非負整數(shù)，。假設由1〕那么稱與相等，記為2〕假設存在非負整數(shù)，使得，而，那么稱大于〔或小于〕，分別記為〔或〕。規(guī)定任何非負實數(shù)大于任何負實數(shù)；對于負實數(shù)，假設按定義1有，那么稱實數(shù)的有理數(shù)近似表示定義2設為非負實數(shù)，稱有理數(shù)為實數(shù)的位缺乏近似值，而有理數(shù)稱為的位過剩近似值。對于負實數(shù)的位缺乏近似值規(guī)定為：；的位過剩近似值規(guī)定為：比方，那么1.4,1.41,1.414,1.4142,稱為的缺乏近似值；1.5,1.42,1.415,1.4143,稱為的過剩近似值。命題設為兩個實數(shù)，那么實數(shù)的一些主要性質(zhì)

1

四那么運算封閉性:2

三歧性(即有序性):3

實數(shù)大小由傳遞性，即4

Achimedes性:5

稠密性:有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性.6

實數(shù)集的幾何表示───數(shù)軸:例二.絕對值與不等式絕對值定義：從數(shù)軸上看的絕對值就是到原點的距離：絕對值的一些主要性質(zhì)性質(zhì)4〔三角不等式〕的證明：三.

幾個重要不等式:

⑴⑵對記

(算術平均值)

(幾何平均值)

(調(diào)和平均值)有均值不等式:

等號當且僅當時成立.⑶

Bernoulli不等式:

(在中學已用數(shù)學歸納法證明過)對由二項展開式有:上式右端任何一項.§2數(shù)集。確界§2二數(shù)集.確界原理:一區(qū)間與鄰域:鄰域二有界數(shù)集.確界原理:1.有界數(shù)集:

定義(上、下有界,有界)閉區(qū)間、為有限數(shù)〕、鄰域等都是有界數(shù)集，集合也是有界數(shù)集.無界數(shù)集:對任意，存在，那么稱S為無界集。等都是無界數(shù)集,

例證明集合是無界數(shù)集.證明：對任意,存在由無界集定義，E為無界集。確界先給出確界的直觀定義：假設數(shù)集S有上界，那么顯然它有無窮多個上界，其中最小的一個上界我們稱它為數(shù)集S的上確界；同樣，有下界數(shù)集的最大下界，稱為該數(shù)集的下確界。精確定義定義2

設S是R中的一個數(shù)集，假設數(shù)滿足一下兩條：〔1〕

對一切有，即是數(shù)集S的上界；〔2〕

對任何存在使得〔即是S的最小上界〕那么稱數(shù)為數(shù)集S的上確界。記作定義3

設S是R中的一個數(shù)集，假設數(shù)滿足一下兩條：〔3〕

對一切有，即是數(shù)集S的下界；〔4〕

對任何存在使得〔即是S的最大下界〕那么稱數(shù)為數(shù)集S的下確界。記作§3函數(shù)概念函數(shù)是整個高等數(shù)學中最根本的研究對象,可以說數(shù)學分析就是研究函數(shù)的.因此我們對函數(shù)的概念以及常見的一些函數(shù)應有一個清楚的認識.一函數(shù)的定義1.函數(shù)的幾點說明.函數(shù)的兩要素:定義域和對應法那么約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.函數(shù)的表示法:解析法,列表法,圖像法.分段函數(shù)狄里克雷函數(shù)黎曼函數(shù)三函數(shù)的四那么運算〔見課本〕四.函數(shù)的復合:六初等函數(shù):根本初等函數(shù):1常函數(shù)2冪函數(shù)冪函數(shù)§4具有某些特性的函數(shù)1.有界函數(shù)假設函數(shù)在定義域上既有上界又有下界，那么稱為上的有界函數(shù)。這個定義顯然等價于，對一切，恒有請同學們利用有界函數(shù)的定義給出無界函數(shù)的定義。例是無界函數(shù)。證明對任意的，存在，取，那么2.單調(diào)函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)〔1〕定義域關于原點對稱周期函數(shù)1)通常我們所說的周期總是指函數(shù)的最小周期2)有的周期函數(shù)不一定有最小周期，例如常函數(shù)是周期函數(shù)，狄里克雷函數(shù)，它們顯然沒有最小周期第二局部數(shù)列極限§1數(shù)列極限概念對于數(shù)列，設A是一個常數(shù)，假設任給，都存在相應的自然數(shù)時，，那么稱A為數(shù)列的極限。下面我們通過圖示，對數(shù)列定義作幾點說明：〔1〕的任意性〔2〕的相應性三、用極限定義證明的例題2.數(shù)列極限的等價定義:對對任正整數(shù)§2

收斂數(shù)列的性質(zhì)1.

極限唯一性：〔證〕2.

收斂數(shù)列有界性——收斂的必要條件：〔證〕3.

收斂數(shù)列保號性：定理2.4

設或.那么對

(或

(或例1設證明：假設那么〔證〕定理2.5

設假設，〔注意“=〞；并注意和的情況〕.推論假設那么對4.

定理〔迫斂性〕

(證)5.

絕對值收斂性:

(注意反之不確).

(證)推論設數(shù)列{}和{}收斂,那么6.四那么運算性質(zhì):7.

子列收斂性:

子列概念.定理

(數(shù)列收斂充要條件)

{}收斂

{}的任何子列收斂于同一極限.定理

(數(shù)列收斂充要條件){}收斂子列{}和{}收斂于同一極限.定理

(數(shù)列收斂充要條件){}收斂子列{}、{}和{都收斂.(簡證)一、利用數(shù)列極限性質(zhì)求極限:兩個根本極限：1.

利用四那么運算性質(zhì)求極限：數(shù)列的單調(diào)遞增是顯然的,有界很容易用歸納法證明,而且利用單調(diào)有界定理,設其極限為,那么有,A=2定理2.10數(shù)列{收斂，〔或數(shù)列{收斂，}第三局部函數(shù)極限§1函數(shù)極限概念一趨于時函數(shù)的極限設函數(shù)定義在上，類似于數(shù)列情形，我們研究當自變量趨于時，對應的函數(shù)值能否無限地接近于某個定數(shù)。例如，對于函數(shù)從圖象上可見，當無限增大時，函數(shù)值無限地接近于0；而對于函數(shù)，那么當趨于時函數(shù)值無限地接近于。我們稱這兩個函數(shù)當時有極限。一般地，當趨于時函數(shù)極限的精確定義如下：定義1設定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。假設對任給的，存在正數(shù)，使得當時,有，那么稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作或。說明:(1)、在定義1中正數(shù)的作用與數(shù)列極限定義中的相類似，說明充分大的程度；但這里所考慮的是比大的所有實數(shù)，而不僅僅是正整數(shù)。因此，當趨于時函數(shù)以為極限意味著：的任意小鄰域內(nèi)必含有在的某鄰域內(nèi)的全部函數(shù)值。(2)、定義1的幾何意義如以下圖所示，

對任給的，在坐標平面上平行于軸的兩條直線與，圍成以直線為中心線、寬為的帶形區(qū)域；定義中的“當時有〞表示：在直線的右方，曲線全部落在這個帶形區(qū)域之內(nèi)。如果正數(shù)給的小一點，即當帶形區(qū)域更窄一點，那么直線一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)，使得曲線在直線的右邊局部全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi)。定義1的否認表達:定義1’設定義在上的函數(shù)，為定數(shù)。假設存在某個，對任意充分大的正數(shù)，總存在某個,使得:，那么稱函數(shù)當趨于時不以為極限.(3)、現(xiàn)設為定義在或上的函數(shù)，當或時，假設函數(shù)值能無限地接近某定數(shù)，那么稱當或時以為極限，分別記作:或;或這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“〞分別改為“〞或“〞即可。問題:(4)、顯然,假設為定義在上的函數(shù)，那么〔1〕HYPERLINK(返回)二趨于時函數(shù)的極限設為定義在某個空心鄰域內(nèi)的函數(shù)?，F(xiàn)在討論當趨于時，對應的函數(shù)值能否趨于某個定數(shù)。這類函數(shù)極限的精確定義如下：定義2〔函數(shù)極限的定義〕設函數(shù)在某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。假設對任給的，存在正數(shù)，使得當時有，那么稱函數(shù)當趨于時以為極限，記作或。下面我們舉例說明如何應用定義來驗證這種類型的函數(shù)極限。請讀者特別注意以下各例中的值是怎樣確定的。通過以上各個例子，讀者對函數(shù)極限的定義應能體會到下面幾點：1.定義2中的正數(shù)，相當于數(shù)列極限定義中的，它依賴于，但也不是由所唯一確定，一般來說，愈小，也相應地要小一些，而且把取得更小些也無妨。如在例3中可取或等等。2.定義中只要求函數(shù)在某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮在點處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值。這是因為，對于函數(shù)極限我們所研究的是當趨于過程中函數(shù)值的變化趨勢。如在定理3.9設函數(shù)在點的某空心右鄰域有定義。的充要條件是：對任何以為極限的遞減數(shù)列，有。這個定理的證明可仿照定理3.8進行，但在運用反證法證明充分性時，對的取法要作適當?shù)男薷?，以保證所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細節(jié)留給讀者作為練習。相應于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關于上述四類單側極限也有相應的定理?，F(xiàn)以這種類型為例表達如下：定理3.10設是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，那么右極限存在。證不妨設在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。下證。事實上，任給，按下確界定義，存在，使得。取，那么由的遞增性，對一切=，有另一方面，由，更有。從而對一切有這就證得。最后，我們表達并證明關于函數(shù)極限的柯西準那么。定理3.11〔柯西準那么〕設在內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，，有．證必要性設，那么對任給的，存在正數(shù)，使得對任何有。于是對任何，有。充分性設數(shù)列且。按假設，對任給的，存在正數(shù)，使得對任何，有。由于〔〕，對上述的，存在，使得當時有，,從而有.于是,按數(shù)列的柯西收斂準那么,數(shù)列的極限存在,記為,即.設另一數(shù)列且,那么如上所證,存在,記為.現(xiàn)證.為此,考慮數(shù)列:,,,,．．．,,,．．．易見且故仍如上所證,也收斂.于是，作為的兩個子列，與必有相同的極限。所以由歸結原那么推得按照函數(shù)極限的柯西準那么，我們能寫出極限不存在的充要條件：存在，對任何〔無論多么小〕，總可找到，，使得．如在例１中我們可取，對任何設正整數(shù)，令，，那么有，，而于是，按柯西準那么極限不存在．解當時有。故所求極限等于。第四局部函數(shù)連續(xù)性§1連續(xù)性的概念一函數(shù)在一點的連續(xù)的定義設函數(shù)在的某個空心鄰域內(nèi)有定義，是一個確定的數(shù)，假設對，當時，都有，那么稱在時，以為極限。這里可以有三種情況：1〕無定義，比方上局部講過的特殊極限2〕，比方，

2〕的情形

1〕的情形

3〕3〕的情形對1〕、2〕兩種情況，曲線在處都出現(xiàn)了間斷;第3〕種情況與前兩種情況不同，曲線在處連綿不斷，我們稱這種情況即：時，在處連續(xù)。為此給出函數(shù)在點連續(xù)的定義定義1設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，假設：那么稱函數(shù)在點連續(xù)。2、函數(shù)在一點的左、右連續(xù)的定義相應于在的左、右極限的概念，我們給出左右連續(xù)的定義如下：定義2設函數(shù)在的某左〔右〕鄰域內(nèi)有定義，假設：〔〕那么稱在點左〔右〕連續(xù)。由極限與單側極限的關系不難得出：3、函數(shù)在點連續(xù)與函數(shù)在該點左、右連續(xù)的關系：定理4.1函數(shù)在點連續(xù)的充分必要條件為：在點既左連續(xù)又右連續(xù)。〔事實上：〕定理4.1的等價的否認表達：函數(shù)在點不連續(xù)的充分必要條件為：在點或不左連續(xù)或不右連續(xù)。前面我們學習函數(shù)在一點上連續(xù)的有關定義，下面我們來學習二函數(shù)的間斷點〔不連續(xù)點〕及其分類1、函數(shù)不連續(xù)點的定義定義3設函數(shù)在某內(nèi)有定義，假設在點無定義，或在點有定義但不連續(xù)，那么稱點為函數(shù)的間斷點或不連續(xù)點。由連續(xù)的定義知，函數(shù)在點不連續(xù)必出現(xiàn)如下3種情形:1〕，而在點無定義，或有定義但2〕左、右極限都存在，但不相等,稱：為HYPERLINK跳躍度或躍度。3〕左、右極限至少一個不存在據(jù)此，函數(shù)的間斷點可作如下分類：2、間斷點及其分類1〕、可去間斷點對于情況1〕，即假設：〔存在〕，而在點無定義，或有定義但，那么稱：為可去間斷點〔或可去不連續(xù)點〕；三區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)定義假設函數(shù)在區(qū)間I上每一點都連續(xù)，那么稱為I上的連續(xù)函數(shù),對于區(qū)間端點上的連續(xù)性那么按左、右連續(xù)來確定。定義如果在區(qū)間上僅有有限個第一類不連續(xù)點，那么稱函數(shù)在區(qū)間上按段連續(xù)。例如是按段連續(xù)函數(shù)。小結：1〕函數(shù)在一點連續(xù)的三個等價定義；2〕函數(shù)的左右連續(xù)性；3〕不連續(xù)的分類：可去不連續(xù)點；跳躍不連續(xù)；第二類不連續(xù)點；4〕區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的定義?！?連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)內(nèi)容：1連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)2區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)3反函數(shù)的連續(xù)性4一致連續(xù)性重點：連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)性質(zhì)；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)難點：連續(xù)函數(shù)的保號性；一致連續(xù)性.一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)根據(jù)函數(shù)的在點連續(xù)性，即可推斷出函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)的性態(tài)。定理4.2〔局部連續(xù)性〕假設函數(shù)在點連續(xù)，那么在點的某鄰域內(nèi)有界。定理4.3〔局部保號性〕假設函數(shù)在點連續(xù)，且，那么對任意存在某鄰域時，定理4.4〔四那么運算性質(zhì)〕假設函數(shù)那么在區(qū)間I上有定義，且都在連續(xù)，那么〔〕在點連續(xù)。例因連續(xù)，可推出多項式函數(shù)和有理函數(shù)為多項式〕在定義域的每一點連續(xù)。同樣,由上的連續(xù)性，可推出與在定義域的每一點連續(xù)。定理4.5〔復合函數(shù)的連續(xù)性〕假設函數(shù)在點連續(xù)，在點連續(xù)，，那么復合函數(shù)在點連續(xù)。證明由于在連續(xù)，對任給的，存在，使時有〔1〕又由及在連續(xù)，故對上述，存在，使得當時，有.聯(lián)系〔1〕得:對任給的，存在，當時有.這就證明了在點連續(xù).注：根據(jù)連續(xù)性的定義，上述定理的結論可表示為(2)二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)前面我們研究了函數(shù)的局部性質(zhì)，下面通過局部性質(zhì)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的整體性質(zhì)。定義1設f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，假設存在，使得對一切有，那么稱f在D上有最大〔最小值〕值，并稱為f在D上的最大〔最小值〕值.例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定義域D上不一定有最大值或最小值〔即使f在D上有界〕。如在上既無最大值又無最小值，又如(4)在閉區(qū)間上也無最大、最小值。定理4.6(最大最小值定理)假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有最大值與最小值。該定理及以后的定理4.7和定理4.9將在第七局部§2給出證明.推論：〔有界性〕假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在閉區(qū)間上有界。定理4.7(介值性定理)假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，假設為介于之間的任何實數(shù)〔或〕,那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得:推論〔根的存在定理〕假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號，那么至少存在一點使得.即在內(nèi)至少有一個實根.

應用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：假設在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且不是常量函數(shù),那么值域也是一個區(qū)間；特別假設為區(qū)間[a,b],在[a,b]上的最大值為,最小值為，那么；又假設為[a,b]上的增〔減〕連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù)，那么例3證明：假設為正整數(shù)，那么存在唯一正數(shù)，使得.證明先證存在性。由于當時有，故存在正數(shù)，使得.因在上連續(xù)，并有，故有介值性定理，至少存在一點使得.再證唯一性。設正數(shù)使得由于第二個括號內(nèi)的數(shù)為正所以只能，即.例4設在[a,b]連續(xù)，滿足〔5〕證明：存在，使得〔6〕證條件〔5〕意味著：對任何有，特別有以及.假設或，那么取，從而〔6〕式成立?，F(xiàn)設與。。令，那么，.由根的存在性定理，存在，使得即.三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8〔反函數(shù)的連續(xù)性〕假設函數(shù)在閉區(qū)間嚴格遞增〔遞減〕且連續(xù)，那么其反函數(shù)在相應的定義域〔〕上遞增〔遞減〕且連續(xù)。證明〔只證明f(x)嚴格遞增情況〕由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域為。設，且那么，對任給的可在的兩側各取異于的兩點〔〕，使它們與的距離小于〔參見上圖〕.設，由函數(shù)的嚴格遞增性，必分別落在的兩側，即當時，令，那么當時，對應的的值必落在之間，從而.應用單側極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點也是連續(xù)的。四一致連續(xù)性前面介紹的函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性，是指它在區(qū)間的每一點都連續(xù)。這只反映函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點附近的局部性質(zhì)，就是說連續(xù)定義中的不僅與有關，而且與有關。下面介紹的一致連續(xù)性，那么是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，其定義中的只與有關，而與無關。定義2〔一致連續(xù)性〕設函數(shù)在區(qū)間I上有定義，假設只要，，都有，那么稱在區(qū)間I上一致連續(xù)。這里要特別注意逐點連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別。直觀的說在區(qū)間I一致連續(xù)意味著：不管兩點在I中處于什么位置只要它們的距離小于，就可使.顯然I必然在I上每一點連續(xù)，反之，結論不一定成立〔參見例9〕。定理4.9〔一致連續(xù)性〕假設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在上一致連續(xù)。§3初等函數(shù)連續(xù)性從前面兩節(jié)知道根本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)冪函數(shù)，都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實指數(shù)冪函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一局部中，我們已定義了實指數(shù)的乘冪，并證明了指數(shù)函數(shù)在上是嚴格單調(diào)的.下面先把關于有理指數(shù)冪的一個重要性質(zhì)推廣到一般指數(shù)冪,然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。定理4.10設為任意實數(shù),那么有.證明不妨設，那么由第一局部§3〔6〕式所定義，即.任給，設為兩個有理數(shù)，且，使得.由的嚴格增遞性，得.又有，故得.由任意性推出.為證相反的不等式,設為有理數(shù)，且，使得.再取有理數(shù)使,那么有故得到.由任意性推出,所以有.(后一等式的證明留給讀者.)定理4.11指數(shù)函數(shù)在R上是連續(xù)的.證明先設.有第三局部§2例4知這說明在連續(xù).現(xiàn)任取.由定理4.10得.令那么當時有,從而有.這證明了在任一點處連續(xù).當時,令,那么有,而可看作函數(shù)與的復合，所以此時亦在上連續(xù)。利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，以及第三局部§5例4中已證明的可知的值域為〔〕(時也是如此).于是的反函數(shù)—對數(shù)函數(shù)在其定義域()內(nèi)也連續(xù)..二初等函數(shù)的連續(xù)性由于冪函數(shù)〔為實數(shù)〕可表為，它是函數(shù)與的復合，故有指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復合函數(shù)的連續(xù)性，推得冪函數(shù)在其定義域〔〕上連續(xù)。前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù).因此我們有下述定理：定理4.12一切根本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).由于任何初等函數(shù)都是由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么運算與復合運算所得到,所以有：定理4.13任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).第五局部導數(shù)與微分§1導數(shù)概念速度和切線的例子雖然各有其特殊內(nèi)容，但如果撇開它們具體的物理意義，單從數(shù)量關系上看它們有共同的本質(zhì)，兩者都表示函數(shù)因變量隨自變量變化的快慢程度，即都反映了函數(shù)的變化率〔3〕定義1、設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，假設極限存在，那么稱函數(shù)在點可導，并稱該極限為函數(shù)在點處的導數(shù)，等.假設上述極限不存在，那么稱在點不可導。注：令，，那么〔3〕式可改寫為〔4〕所以，導數(shù)是函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個增量比稱為函數(shù)關于自變量的平均變化率〔又稱差商〕，而導數(shù)那么為在χ0處關于的變化率，它能夠近似描繪函數(shù)在點附近的變化性態(tài)。注：此公式對△χ=0仍舊成立。利用有限增量公式，可得下面結論：定理1假設函數(shù)在處可導，那么函數(shù)在處連續(xù)。但是可導僅是連續(xù)的充分條件，而不是必要條件，比方：函數(shù)在處連續(xù)，但不可導?！捕澈瘮?shù)在一點的單側導數(shù)類似于函數(shù)在一點有左、右極限,對于定義在某個閉區(qū)間或半開區(qū)間上的函數(shù)，如果要討論改函數(shù)在端點處的變化率時，就要對導數(shù)概念加以補充，引出單側導數(shù)的概念。定義2設函數(shù)在點的某右鄰域上有定義，假設右極限(0＜＜或(存在，那么稱該極限值為在點0的右導數(shù)，記作，類似地，可定義左導數(shù)右導數(shù)和左導數(shù)統(tǒng)稱為單側導數(shù)。如同左、右極限與極限之間的關系，導數(shù)與單側導數(shù)的關系是：定理5.2假設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，那么存在的充分必要條件是：都存在，且=。說明：分段函數(shù)在分界點處討論導數(shù)便是依據(jù)這一結論，通過左、右導數(shù)來判斷該點是否存在導數(shù)及假設存在應等于什么。由定理2，連續(xù)函數(shù)不存在導數(shù)舉例函數(shù)，處是焦點，不可導。在處振蕩，左右導數(shù)都不存在?！踩硨Ш瘮?shù)假設函數(shù)在區(qū)間I上每一點都可導〔對區(qū)間端點，僅考慮相應的單側導數(shù)〕，那么稱為I上的可導函數(shù)。此時對每一個χ∈I，都有的一個導數(shù)〔或單側導數(shù)〕與之對應，這樣就定義了一個在I上的函數(shù)，稱為在I上的導函數(shù)，也簡稱為導數(shù)，記作等.即.說明：1°區(qū)間上的可導概念與連續(xù)一樣，也是逐點定義的局部概念。2°在物理學中導數(shù)yˊ也常用牛頓記號y`表示，而記號是萊布尼茨首先引用的。目前我們把看作為一個整體，也可把它理解為施加于y的求導運算，待到學過“微分〞之后，將說明這個記號實際上是一個“商〞，相應于上述各種表示導數(shù)的形式，三、導數(shù)的幾何意義我們已經(jīng)知道由導數(shù)的定義，，所以曲線在點的切線方程是〔7〕這就是說：函數(shù)在點x0的導數(shù)是曲線在點〔x0，y0〕處的切線斜率，假設α表示這條切線與x軸正向的夾角，那么=tanα從而＞0意味著切線與x軸正向的夾角為銳角；=0表示切線與x軸平行。四、小結〔可以師生共同總結，或教師引導學生小結，然后教師再條理一下〕本節(jié)課重點在于“導數(shù)〞的定義，而函數(shù)在一點的導數(shù)=是一個構造性的定義，是利用繼用極限為工具，研究函數(shù)連續(xù)性以后，又一次用極限為工具研究函數(shù)性質(zhì)的典型范例，為此1．深刻理解導數(shù)，左〔右〕導數(shù)的概念〔三個階段〕取差對整個運動作分割〔第一次否認〕求平均以“勻代不勻〞；再回到時刻〔第二次否認〕2．明確導數(shù)與單側導數(shù)，可導與連續(xù)的關系，導數(shù)與導函數(shù)的相互聯(lián)系與區(qū)別。3．能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導數(shù)。4．能利用導數(shù)概念解決一些涉及函數(shù)變化率的實際應用問題。導數(shù)概念的建立是高等數(shù)學常用的方法，下面我們總結一下這個過程，這對我們認識、掌握高等數(shù)學的思維方法，提高數(shù)學素質(zhì)是很有幫助的。為了考察運動物體在某時刻的瞬時速度，我們不能只停留在這個時刻，因為那樣我們除了知道物體的位置外，就什么也得不到。我們必須用運動的觀點看待這個問題，使t動起來，讓t變到，產(chǎn)生對位置的第一次否認，得到差和。這就把一點的運動狀態(tài)和周圍的運動狀態(tài)聯(lián)系了起來，就能在運動中把握運動；取差其實就是對整個運動作了分割，一分割就使勻〞和“不勻〞這對矛盾的兩個方面發(fā)生了轉(zhuǎn)化：整體上的“不勻〞，轉(zhuǎn)化為局部的“勻〞，然后“以勻代替不勻〞求出平均速度。為得到瞬時速度，就必須使再回到，即令，對狀態(tài)第一次否認的否認。當回到時，和都消失了，結果變成，仿佛什么也的不到，其實不然，因為的消失依賴于的消失，雖然兩個相互制約的差都消失了，但他們的“比〞卻保持著，這個比就是瞬時速度，或?qū)?shù)，它反映了兩個量之間的“質(zhì)〞的聯(lián)系。正是這第二次否認，我們又回到了整體上的“不勻〞。求瞬時速度或函數(shù)的導數(shù)經(jīng)歷了一個否認之否認的過程，但第二次否認我們不是又回到出發(fā)點，而是解決了初等數(shù)學解決不了的課題。§4高階導數(shù)高階導數(shù)的概念：加速度高階導數(shù)定義:注意區(qū)分符號和以函數(shù)為例介紹高階導數(shù)計算方法.高階導數(shù)的記法:函數(shù)在處的階導數(shù)記為相應的階導數(shù)記為二.幾個特殊函數(shù)的高階導數(shù):1.多項式:多項式的高階導數(shù).例1求和.2.正弦和余弦函數(shù):計算、、、的公式.3．和的高階導數(shù)：4．的高階導數(shù)：5．的高階導數(shù)：6．分段函數(shù)在分段點的高階導數(shù)：以函數(shù)為例，求.三.高階導數(shù)的運算性質(zhì):設函數(shù)和均階可導.那么1．2．3．乘積高階導數(shù)的Leibniz公式：第六局部微分中值定理及其應用§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性一．極值概念：1．回憶極值的概念和可微極值點的必要條件:定理(Fermat)設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，且在點可導，假設點為的極值點，那么必有1、羅爾中值定理：假設函數(shù)滿足如下條件：〔i〕在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；〔ii〕在開區(qū)間〔a，b〕內(nèi)可導；〔iii〕，那么在〔a，b〕內(nèi)至少存在一點ξ，使得〔ξ〕=0〔分析〕由條件〔i〕知在[a，b]上有最大值和最小值，再由條件〔ii〕及〔iii〕，應用費馬定理便可得到結論。證明：因為在［a,b］上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與m表示，現(xiàn)分兩種情況討論：(i)假設M=m,那么在［a,b］上必為常數(shù)，從而結論顯然成立。(ii)假設m＜M，那么因(a)=(b)，使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點ξ處取得，從而ξ是的極值點，由條件(ii)在點ξ處可導，故由費馬定理推知=0.注1：羅爾定理的幾何意義：在每一點都可導的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，那么至少存在一條水平切線。注2：習慣上把結論中的ξ稱為中值，羅爾定理的三個條件是充分而非必要的，但缺少其中任何一個條件，定理的結論將不一定成立，見以下圖：中值定理：?〔a〕=?(b)時的特殊情況，應用羅爾定理證明此定理要構造輔助函數(shù)，使得滿足羅爾定理的條件〔i〕-(iii)且，從而推得證明：作輔助函數(shù)顯然，F(xiàn)〔a〕=F(b)〔=0〕，且F在[a，b]上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在點ξ(a，b)，使得即注1°羅爾定理是拉格朗日中值定理時的特例注2°幾何意義：在滿足拉格朗日中值定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB，我們在證明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線與直線AB之差，事實上，這個輔助函數(shù)的引入相當于坐標系統(tǒng)原點在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，使在新坐標系下，線段AB平行于新х軸〔F〔a〕=F〔b〕〕。注3°此定理的證明提供了一個用構造函數(shù)法證明數(shù)學命題的精彩典范；同時通過巧妙地數(shù)學變換，將一般化為特殊，將復雜問題化為簡單問題的論證思想，也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的表達。注4°拉格朗日中值定理的結論常稱為拉格朗日公式，它有幾種常用的等價形式，可根據(jù)不同問題的特點，在不同場合靈活采用：注5°拉格朗日中值定理的兩個條件彼此有關，并不彼此獨立，因為：在〔a,b〕可導可以推出?在〔a，b〕連續(xù)，但反之不成立。把這兩個條件的“重疊〞局部去掉，改成“函數(shù)在〔a，b〕可導且在a右連續(xù)在b左連續(xù)〞這樣，兩個條件互相獨立，但文字累贅且不便記憶，因此一般不這樣表達。中值定理的簡單應用:(講1時)3、拉格朗日中值定理的幾個重要推論推論1函數(shù)在區(qū)間I上可導且為I上的常值函數(shù).證明：任取兩點〔設〕，在區(qū)間[]上應用拉格朗日中值定理，存在

ξ〔〕I，使得推論2函數(shù)和在區(qū)間I上可導且推論3〔導數(shù)極限定理〕設函數(shù)在點的某鄰域U〔〕內(nèi)連續(xù)，在U°〔〕內(nèi)可導，且極限存在，那么在點可導，且證明：分別按左右導數(shù)來證明上式成立〔1〕任取，在[]上滿足拉格朗日中值定理條件，那么存在ξ，使得由于＜ξ＜，因此當時隨之有ξ→，對上式兩邊取極限，使得〔2〕同理可得因為=存在，所以==，從而即注1°由推論3可知：在區(qū)間I上的導函數(shù)在I上的每一點，要么是連續(xù)點，要么是第二類間斷點，不可能出現(xiàn)第一類間斷點。注2°導數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導數(shù)。推論4(導函數(shù)的介值性)假設函數(shù)在閉區(qū)間上可導,且(證)定理(Darboux)設函數(shù)在區(qū)間上可導且.假設為介于與之間的任一實數(shù),那么這就證得在區(qū)間I上任何兩點之值相等?？晌⒑瘮?shù)單調(diào)性判別法：1．單調(diào)性判法：定理1設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導.那么在內(nèi)↗(或↘)在內(nèi)(或).證明：必要性充分性在I上遞增。定理2設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導.那么在內(nèi)嚴格↗(或嚴格↘)ⅰ〕對有(或;ⅱ〕在內(nèi)任子區(qū)間上例證明不等式證明：設時§2柯西中值定理和不等式極限一柯西中值定理定理(6.5)設、滿足(i)在區(qū)間上連續(xù)，(ii)在內(nèi)可導(iii)不同時為零;(iv)那么至少存在一點使得

柯西中值定理的幾何意義

曲線由參數(shù)方程給出，除端點外處處有不垂直于軸的切線，那么上存在一點P處的切線平行于割線.。注意曲線AB在點處的切線的斜率為，而弦的斜率為.受此啟發(fā)，可以得出柯西中值定理的證明如下：由于，類似于拉格朗日中值定理的證明，作一輔助函數(shù)容易驗證滿足羅爾定理的條件且根據(jù)羅爾定理，至少有一點使得，即由此得注2：在柯西中值定理中，取，那么公式〔3〕可寫成這正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，那么.這恰恰是羅爾定理.注3:設在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上為常數(shù)，.三、利用拉格朗日中值定理研究函數(shù)的某些特性1、利用其幾何意義要點：由拉格朗日中值定理知：滿足定理條件的曲線上任意兩點的弦，必與兩點間某點的切線平行?？梢杂眠@種幾何解釋進行思考解題：3、作為函數(shù)的變形要點：假設在[a，b]上連續(xù)，〔a，b〕內(nèi)可微，那么在[a，b]上〔介于與之間〕此可視為函數(shù)的一種變形，它給出了函數(shù)與導數(shù)的一種關系，我們可以用它來研究函數(shù)的性質(zhì)。例3設在上可導，，并設有實數(shù)A＞0，使得≤在上成立，試證證明：在[0，]上連續(xù)，故存在]使得==M于是M=≤A≤≤。故M=0，在[0，]上恒為0。用數(shù)學歸納法，可證在一切[]〔i=1,2,…〕上恒有=0,所以=0,。利用柯西中值定理研究函數(shù)的某些特性1.證明中值點的存在性:例1設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導,那么,使得.證在Cauchy中值定理中取..2.證明恒等式:四、小結本節(jié)課重點是拉格朗日中值定理及利用它研究函數(shù)的某些特性；難點是用輔助函數(shù)解決問題的方法。1°

拉格朗日中值定理的內(nèi)容及證明方法要熟練掌握。微分中值定理主要指拉格朗日中值定理，它的特例是羅爾定理，它的推廣是接下來我們要學習的柯西定理和泰勒定理。拉格朗日中值定理是溝通函數(shù)及其導數(shù)的橋梁，是數(shù)學分析的重要定理之一。2°

構造輔助函數(shù)法是應用微分中值定理的根本方法。實際上，輔助函數(shù)法是轉(zhuǎn)化問題的一種重要手段，通過巧妙地數(shù)學變換，將一般問題化為特殊問題，將復雜問題化為簡單問題，這種論證思想也是數(shù)學分析的重要而常用的數(shù)學思維的表達。關于如何恰當?shù)貥嬙旌瓦x用輔助函數(shù)問題，請同學們結合第三局部的題目仔細體會總結。二不定式的極限一.型:定理6.6(Hospital法那么)假設函數(shù)和滿足：(i)(ii)在點的某空心鄰域內(nèi)而這可導，且；(iii)可為實數(shù)，也可為〕那么(證)注意:假設將定理中的x換成，只要相應地求證條件(ii)中的鄰域，也可以得到同樣的結論。二.型不定式極限:定理6.7(Hospital法那么)假設函數(shù)和滿足：(i)(ii)在點的某右鄰域內(nèi)二這可導，且；(iii)可為實數(shù)，也可為〕那么注意1不存在，并不能說明不存在〔為什么？〕注意2不能對任何比式極限都按洛必達法那么來求，首先要注意它是不是不定式極限，其次是否滿足洛必達法那么條件例求極限.(Hospital法那么失效的例)三.其他待定型:.前四個是冪指型的.§3泰勒公式一.問題和任務:泰勒定理的引入和根本思想容易驗證多項式函數(shù)一般函數(shù)上面的結果能否成立或近似成立呢？假設一個函數(shù)能用多項式近似，對函數(shù)的計算、性質(zhì)的研究就會大大簡化。用多項式逼近函數(shù)的可能性;對的函數(shù),希望找一個多項式逼近到要求的精度.三Taylor(1685—1731)多項式:分析前述任務，引出用來逼近的多項式應具有的形式定義Taylor多項式及Maclaurin多項式四Taylor公式和誤差估計:稱為余項.稱給出的定量或定性描述的式為函數(shù)的Taylor公式.1.誤差的定量刻畫(整體性質(zhì))——Taylor中值定理:定理6.9設函數(shù)滿足條件:ⅰ)在閉區(qū)間上有直到階連續(xù)導數(shù);ⅱ)在開區(qū)間內(nèi)有階導數(shù).那么對使.證稱這種形式的余項為Lagrange型余項.并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Lagrange型余項的Taylor公式.Lagrange型余項還可寫為.時,稱上述Taylor公式為Maclaurin公式,此時余項常寫為.關于Taylor公式中Lagrange型余項的進一步討論可參閱:Alfono,G.Azpeitia,OntheLagrangeremeinderoftheTaylorformula.Amer.Math.Monthly,89(1982).2.誤差的定性描述(局部性質(zhì))——Peano型余項:定理2假設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有階導數(shù),且存在,那么證設,.應用Hospital法那么次,并注意到存在,就有.稱為Taylor公式的Peano型余項,相應的Maclaurin公式的Peano型余項為.并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式(或Maclaurin公式).四.函數(shù)的Taylor公式(或Maclaurin公式)展開:例驗證以下函數(shù)的Maclaurin公式§4函數(shù)的極值與最大(小)值一可微極值點判別法:極值問題:極值點,極大值還是極小值,極值是多少.1.可微極值點的必要條件:Fermat定理.函數(shù)的駐點和(連續(xù)但)不可導點統(tǒng)稱為穩(wěn)定點,穩(wěn)定點的求法.2.極值點的充分條件:對每個穩(wěn)定點,用以下充分條件進一步鑒別是否為極值點.定理4(充分條件Ⅰ)設函數(shù)在點連續(xù),在鄰域和內(nèi)可導.那么ⅰ〕在內(nèi)在內(nèi)時,為的一個極小值點;ⅱ〕在內(nèi)在內(nèi)時,為的一個極大值點;?！臣僭O在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號,那么不是極值點.定理5(充分條件Ⅱ)設點為函數(shù)的駐點且存在，那么ⅰ〕當時,為的一個極大值點;ⅱ〕當時,為的一個極小值點.證法一當時,在點的某空心鄰域內(nèi)與異號,……證法二用Taylor公式展開到二階,帶Peano型余項.二最大值最小值先看三個函數(shù)的圖象(c61)由上面圖像看出，函數(shù)的最大最小值可能發(fā)生在穩(wěn)定點處，不可導點處，也可能發(fā)生在區(qū)間的端點。因此,函數(shù)的最大最小值點應從：穩(wěn)定點,不可導點,端點中去尋找，這三種點中，函數(shù)取最大者為函數(shù)的最大點，取最小者為函數(shù)的最小值點，因此求解最大最小點的步驟應為:第一步求出穩(wěn)定點,不可導點和端點第二步算出這些點處的函數(shù)值,其中最大者就是最大值,最小者就是最小值§5函數(shù)的凸性與拐點一．凸性的定義及判定：1．凸性的定義：由直觀引入.強調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1設函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù).假設對I和恒有那么稱曲線在區(qū)間I的凸函數(shù),反之,如果總有那么稱曲線在區(qū)間I的凹函數(shù).假設在上式中,當時,有嚴格不等號成立,那么稱曲線在區(qū)間上是嚴格凸(或嚴格凹)的.凸性的幾何意義:倘有切線，考慮與切線的位置關系;與弦的位置關系;曲線的彎曲方向.引理為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對I上任意三點:,總有證明:必要性充分性定理6.13設函數(shù)在區(qū)間I上可導,那么下面條件等價:(i)為I上凸函數(shù)(ii)為I上的增函數(shù)(iii)對I上的任意兩點有證明2．利用二階導數(shù)判斷曲線的凸向:定理6.14設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在二階導數(shù),那么在內(nèi)⑴

在內(nèi)嚴格上凸;

⑵

在內(nèi)嚴格下凸.證法一(用Taylor公式)對設,把在點展開成具Lagrange型余項的Taylor公式,有.其中和在與之間.注意到,就有,于是,假設有上式中,即嚴格上凸.假設有上式中,即嚴格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)假設那么有↗↗.不妨設,并設,分別在區(qū)間和上應用Lagrange中值定理,有.有又由，<,，即，嚴格下凸.可類證的情況.3．凸區(qū)間的別離:的正、負值區(qū)間分別對應函數(shù)的下凸和上凸區(qū)間.二.曲線的拐點:拐點的定義.§6函數(shù)圖象的討論我們要認識一個函數(shù)，搞清它的性質(zhì)，往往要從研究它的圖象入手，借助對函數(shù)圖象的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)其隱含的規(guī)律性東西。比方我們在第二局部研究特殊極限時，首先用中學時講過的從中學求點描跡作圖知道，作圖象的一般步驟應是1確定函數(shù)定義域，以安排適宜大小的坐標系；2確定函數(shù)的奇偶性、周期性，以減少作圖工作量；3給出反映函數(shù)特性的某些關鍵點，比方與軸的交點；4函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，凸凹性、拐點。例1作函數(shù)圖象1函數(shù)定義域2該函數(shù)不是奇偶函數(shù)，也不是周期函數(shù)3與軸的交點與4單調(diào)區(qū)間和極值y='1/4*(x-3)^2/(x-1)';y1=diff(y);dydx=simplify(y1)dydx=1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2時，導數(shù)不存在，導數(shù)的符號由決定：時,函數(shù)嚴格遞增,時,遞減，為極大點，為極小點。x－13y

極大極小凸凹性d2ydx2=simplify(diff(y1))d2ydx2=2/(x-1)^3x<1上凸,x>1下凸x<-1x=-11<x<1x=11<x<3x=3x>3增

極大減

減

極小增

漸近線垂直漸近線:顯然x=1為垂直漸近線斜漸近線:=k再計算s='1/4*x';s1=symsub(y,s);simplify(s1)ans=-1/4*(5*x-9)/(x-1)有斜漸近線我們把找到的特殊點,漸近線先畫出來第八局部不定積分§1不定積分概念與根本積分公式一原函數(shù)與不定積分前面我們學習了導數(shù)與微分，由函數(shù)利用根本求導公式和求導法那么可以求出它的導數(shù)，那自然會想到：求導運算能否和數(shù)的四那么運算那樣，知道了導數(shù)反過來就能求出，比方知道了物體的運動速度，求路程，知道了加速度求速度？定義〔原函數(shù)〕如果在區(qū)間I上，那么稱為在區(qū)間I上的原函數(shù)。例如例1中的是的原函數(shù)；是的原函數(shù)，等等因為常數(shù)導數(shù)為零，所以如果的原函數(shù)存在，那么對任意常數(shù)C，都是的原函數(shù)。這就是說，原函數(shù)存在的話，它有無限多個。而且容易證明，的任意兩個原函數(shù)之間相差一個常數(shù)。換句話說>的原函數(shù)的全體為，C為任意常數(shù)。定義〔不定積分〕>在區(qū)間I上原函數(shù)的全體稱為在I上的不定積分。記作。其中為積分號，為積分函數(shù)，為積分變量。不定積分的幾何意義一個函數(shù)的原函數(shù)盡管有無限多個,但它們的幾何圖形是一模一樣的,最多是在坐標系中的上下位置不一樣,相差一個上下平移關系。二根本積分公式怎樣求不定積分呢？我們先按照不定積分的定義給出一些常見函數(shù)的不定積分：這些積分公式是我們后面計算不定積分的根底，一定要把它記住。不定積分的根本性質(zhì):以下設和有原函數(shù).

⑴

.(先積后導,形式不變).

⑵

.(先導后積,多個常數(shù))

⑶

>時，

⑷

由⑶、⑷可見,不定積分是線性運算,即對,有(當時,上式右端應理解為任意常數(shù).)三．利用不定積分根本公式計算不定積分§2不定積分的計算不定積分的計算一般由三種方法：1〕湊公式法2〕部積分法2〕第二變量替換法今天講前兩種方法：一第一類換元法——湊公式法引出湊公式法:定理假設連續(xù)可導,那么該定理可表達為：假設函數(shù)能分解為那么有.湊公式法：外表看不符合根本積分公式，但作變換，令后，而符合根本積分公式。二分部積分我們講導數(shù)時，知道從而有移項得或我們稱這個公式為分部積分公式。當不容易積分，但容易積分時，我們就可以用分部積分把不容易積分的計算出來分析分部積分公式，我們可總結出下面一個原那么：一般應把〔相比之下〕容易積分，積分后比擬簡單的函數(shù)作為，積分較難或積分后比擬復雜的函數(shù)作為。二使用分部積分公式的一般原那么.1.冪X型函數(shù)的積分:分部積分追求的目標之一是:對被積函數(shù)兩因子之一爭取求導,以使該因子有較大簡化,特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會變繁),但總體上應使積分簡化或能直接積出.對“冪〞型的積分,使用分部積分法可使“冪〞降次,或?qū)Α皑暻髮б允蛊涑蔀榇鷶?shù)函數(shù).2建立所求積分的方程求積分:分部積分追求的另一個目標是:對被積函兩因子之一求導,進行分部積分假設干次后,使原積分重新出現(xiàn),且積分前的符號不為1.于是得到關于原積分的一個方程.從該方程中解出原積分來.二.第二類換元法——拆微法：從積分出發(fā)，從兩個方向用湊微法計算，即===引出拆微原理.定理設是單調(diào)的可微函數(shù),并且又具有原函數(shù).那么有換元公式(證)常用代換有所謂無理代換,三角代換,雙曲代換,倒代換,萬能代換,Euler代換等.我們著重介紹三角代換和無理代換.1.三角代換:⑴

正弦代換:正弦代換簡稱為“弦換〞是針對型如的根式施行的,目的是去掉根號.方法是:令,那么例1解法一直接積分;解法二用弦換.3.倒代換:當分母次數(shù)高于分子次數(shù),且分子分母均為“因式〞時,可試用倒代換第九局部定積分§1

定積分的概念．理解定積分定義要注意以下三點：1〕定積分定義與我們前面講的函數(shù)極限的“〞定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差異的。對于定積分來說，給定了細度以后，積分和并不唯一確定，同一細度分割由無窮多種，即使分割確定，介點仍可以任意選取，所以積分和的極限比前面講的函數(shù)極限要復雜的多。2〕定積分是積分和的極限，積分值與積分變量的符號無關3)表示分割越來越細的過程，分點個數(shù)，但反過來并不能保證，所以不能寫成小結：學習定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學習建立定積分概念的根本思想，我們以后的學習中還會遇到其它類型的積分，比方勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了?，F(xiàn)在我們再來總結一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實例和概念中看到定積分的根本思想是：首先作分割然后用“直〞的長方形去近似代替小曲邊梯形，以“直〞代“曲〞；然后把所有長方形加起來，近似求和，得到曲邊梯形面積的一個近似值；當分割無限加細時，就得到曲邊梯形的準確值，即，這時又從“直〞回到了“曲〞?！胺指?、近似求和、取極限〞是定積分的核心思想。§2可積條件必要條件:定理1在區(qū)間上有界.充要條件:1.思路與方案:思路:鑒于積分和與分法和介點有關,先簡化積分和.用相應于分法的“最大〞和“最小〞的兩個“積分和〞去雙逼一般的積分和,即用極限的雙逼原理考查積分和有極限,且與分法及介點無關的條件.方案:定義上和和下和.研究它們的性質(zhì)和當時有相同極限的充要條件.2.Darboux和:以下總設函數(shù)在區(qū)間上有界.并設,其中和分別是函數(shù)在區(qū)間上的下確界和上確界.定義Darboux和,指出Darboux和未必是積分和.但Darboux和由分法唯一確定.分別用、和記相應于分法的上〔大〕和、下〔小〕和與積分和.積分和是數(shù)集(多值).但總有,因此有.和的幾何意義.3.Darboux和的性質(zhì):本段研究Darboux和的性質(zhì),目的是建立Darboux定理.先用分點集定義分法和精細分法:表示是的加細.性質(zhì)1假設,那么,.即:分法加細,大和不增,小和不減.(證)性質(zhì)2對任何,有,.即:大和有下界,小和有上界.(證)性質(zhì)3對任何和,總有.即:小和不會超過大和.證.性質(zhì)4設是添加個新分點的加細.那么有+,.證設是只在中第個區(qū)間內(nèi)加上一個新分點所成的分法,分別設,,.顯然有和.于是.添加個新分點可視為依次添加一個分點進行次.即證得第二式.可類證第一式.系設分法有個分點，那么對任何分法，有，.證..4.上積分和下積分:設函數(shù)在區(qū)間上有界.由以上性質(zhì)2，有上界，有下界.因此它們分別有上確界和下確界.定義記,.分別稱和為函數(shù)在區(qū)間上的上積分和下積分.對區(qū)間上的有界函數(shù),和存在且有限,.并且對任何分法,有.上、下積分的幾何意義.5.Darboux定理:定理1設函數(shù)在區(qū)間上有界,是區(qū)間的分法.那么有=,=.證(只證第一式.要證:對使當時有.是顯然的.因此只證.),對,使<設有個分點,對任何分法,由性質(zhì)4的系,有,由*式,得<即<亦即<.于是取,(可設,否那么為常值函數(shù),=對任何分法成立.)對任何分法,只要,就有.此即=.6.可積的充要條件:定理2〔充要條件1〕設函數(shù)在區(qū)間上有界.=.證設=,那么有=.即對使當時有||<對成立.在每個上取,使,于是,||=<.因此,時有||||+||<+=.此即=.由Darboux定理,=.同理可證=.=.對任何分法,有,而===.令和的共值為,由雙逼原理=.定理3有界.對.證()=0.即對時,.,由,–

,=.定義稱為函數(shù)在區(qū)間上的振幅或幅度.易見有0.可證=定理3’(充要條件2)有界.對.定理3’的幾何意義及應用Th3’的一般方法:為應用Th3’當函數(shù)在區(qū)間上含某些點的小區(qū)間上作不到任意小時,可試用在區(qū)間上的振幅作的估計,有.此時,倘能用總長小于,否那么為常值函數(shù))的有限個小區(qū)間復蓋這些點，以這有限個小區(qū)間的端點作為分法的一局部分點，在區(qū)間的其余局部作分割，使在每個小區(qū)間上有<,對如此構造的分法,有<.定理((R)可積函數(shù)的特征)設在區(qū)間上有界.對和,使對任何分法,只要,對應于的那些小區(qū)間的長度之和.證在區(qū)間上可積,對和,使對任何分法,只要,就有.對的區(qū)間總長小于此時有=例討論Dirichlet函數(shù)在區(qū)間上的可積性.三．可積函數(shù)類：1．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積：定理5〔證〕2．閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積.定理6〔證〕系1閉區(qū)間上按段連續(xù)函數(shù)必可積.系2設函數(shù)在區(qū)間上有界且其間斷點僅有有限個聚點,那么函數(shù)在區(qū)間上可積.例2判斷題:閉區(qū)間上僅有一個間斷點的函數(shù)必可積.()閉區(qū)間上有無窮多個間斷點的函數(shù)必不可積.()閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積〔〕定理7〔證〕例3證明在上可積.關于可積性的更一般的充分條件為:Th閉區(qū)間上的正規(guī)函數(shù)(regulatedfunction)是可積的.參閱:S.K.Berberian,Regulatedfunction:Bourbaki’salternativetotheRiemannintegral,TheAmericanMathematicalMonthly,Vol.86,No.3.1979,P208—211.第十局部定積分的應用

§1平面圖形的面積教學內(nèi)容：平面圖形面積的計算教學目的：理解定積分的意義；學會、掌握微元法處理問題的根本思想熟記平面圖形面積的計算公式。一．直角坐標系下平面圖形的面積：由定積分的幾何意義，連續(xù)曲線與直線軸所圍成的曲邊梯形的面積為假設在上不都是非負的，那么所圍成的面積為一般的，有兩條連續(xù)曲線及直線所圍成的平面圖形的面積為1．簡單圖形：型和型平面圖形.2．簡單圖形的面積:給出型和型平面圖形的面積公式.對由曲線和圍成的所謂“兩線型〞圖形,介紹面積計算步驟.注意利用圖形的幾何特征簡化計算.例1求拋物線與直線所圍的平面圖形的面積.所給的區(qū)域不是一個標準的x-區(qū)域,如圖需將其切成兩塊,即可化成x-形區(qū)域的面積問題第一塊的面積等于int('2*sqrt(x)','x',0,1)ans=4/3第二塊的面積等于int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9)ans=28/328/3+4/3ans=10.6667總面積我們也可以把圖形看成y-形區(qū)域計算其面積int('-y^2+2*y+3','y',-1,3)ans=32/3例2求由曲線圍成的平面圖形的面積.例3求由拋物線與直線所圍平面圖形的面積.3．參數(shù)方程下曲邊梯形的面積公式：設區(qū)間上的曲邊梯形的曲邊由方程由參量方程表示且在上連續(xù)，，〔對于或的情況類似討論〕。計算中，主要的困難是上下限確實定。上下限確實定通常有兩種方法：1〕具體計算時常利用圖形的幾何特征.2〕從參數(shù)方程定義域的分析確定例2求擺線的一拱與x軸所圍的平面圖形的面積由圖看出,對應原點(0,0),對應一拱的終點所以其面積為int('a^2*(1-cos(t))^2',0,2*pi)ans=3*pi*a^2例2求由曲線所圍圖形的面積.(cd3)由圖看出,積分的上下限應為t從–1到1,其面積為:極坐標下平面圖形的面積:假設曲線是極坐標方程和參數(shù)方程一樣，極坐標情況面積的計算主要困難是積分上下限確實定。確定上下限方法通常也是1〕利用圖象；2〕分析定義域

例3求雙扭線所圍成的平面圖形的面積解先看一下雙紐線的圖象，t=0:pi/50:2*pi;r=sqrt(cos(2*t));r1=real(r);polar(t,r1,'r')它由兩支，因，所以雙扭線所圍成的平面圖形的面積為int('a^2*cos(2*x)',-pi/4,pi/4)ans=a^2例

求曲線與所圍局部的面積[例題演示]2．三葉形曲線雙扭線所圍成的平面圖形的面積(cd4(n))t=0:pi/50:2*pi;r=sin(3*t);r1=real(r);polar(t,r1,'r')§2由平行截面面積求體積上節(jié)我們學習了平面圖形面積的計算，還利用分割、求和的分析方法，導出了極坐標下平面圖形的面積公式：現(xiàn)在我們看下面一個空間立體，假設我們知道它在x處截面面積為S(x)，可否利用類似于上節(jié)極坐標下推導面積公式的思想求出它的體積？如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，那么每個薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘高，所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積。即由此可得這里，體積的計算的關鍵是求截面面積S(x),常用的方法先畫出草圖，分析圖象求出S(x)例1求兩圓柱所圍的立體體積先畫出兩圓柱的圖象，圖中看到的是所求立體的八分之一的圖像,該立體被平面〔因為兩圓柱半徑相同〕所截的截面,是一個邊長為的正方形,所以截面面積,考慮到是8個卦限，所以有int('8*(a^2-x^2)',0,'a')ans=16/3*a^3第十一局部反常積分教學目的：1.深刻理解反常積分的概念及其斂散性的含義；2.熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。教學重點難點：本局部的重點是反常積分的含義與性質(zhì)；難點是反常積分斂散性的判別。教學時數(shù)：8學時§1反常積分概念〔2學時〕教學目的：深刻理解反常積分的概念。教學重點難點：反常積分的含義與性質(zhì)一問題的提出:例〔P264〕.二兩類反常積分的定義定義1.設函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積，如果存在極限〔1〕那么稱此極限J為函數(shù)在上的無窮限反常積分〔簡稱無窮積分〕，記作,并稱收斂.如果極限〔1〕不存在，為方便起見，亦稱發(fā)散.定義2.設函數(shù)定義在上，在點的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間上有界且可積，如果存在極那么稱此極限為無界函數(shù)在上的反常積分，記作并稱反常積分收斂，如果極限不存在，這時也說反常積分發(fā)散.例1⑴討論積分,,的斂散性.⑵計算積分.例2討論以下積分的斂散性:⑴;⑵.例3討論積分的斂散性.例4判斷積分的斂散性.例5討論瑕積分的斂散性,并討論積分的斂散性.三瑕積分與無窮積分的關系:設函數(shù)連續(xù),為瑕點.有,把瑕積分化成了無窮積分;設,有，把無窮積分化成了瑕積分.可見,瑕積分與無窮積分可以互化.因此,它們有平行的理論和結果.§2.無窮積分的性質(zhì)與收斂判定〔2學時〕教學目的：深刻理解反常積分斂散性的含義。教學重點難點：反常積分斂散性的判別。一無窮積分的性質(zhì)⑴在區(qū)間上可積,—Const,那么函數(shù)在區(qū)間上可積 ,且.⑵和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,且.⑶無窮積分收斂的Cauchy準那么:Th積分收斂.⑷絕對收斂與條件收斂:定義概念.絕對收斂收斂,(證)但反之不確.絕對型積分與非絕對型積分.二比擬判別法非負函數(shù)無窮積分判斂法:對非負函數(shù),有↗.非負函數(shù)無窮積分斂散性記法.⑴比擬判斂法:設在區(qū)間上函數(shù)和非負且，又對任何>,和在區(qū)間上可積.那么<,<；,.例6判斷積分的斂散性.推論1〔比擬原那么的極限形式〕:設在區(qū)間上函數(shù),.那么ⅰ><<,與共斂散:ⅱ>,<時,<；ⅲ>,時,.(證)推論2〔Cauchy判斂法〕:(以為比擬對象,即取.以下>0)設對任何>,,且,<；假設且,.Cauchy判斂法的極限形式:設是在任何有限區(qū)間可積的正值函數(shù).且.那么ⅰ><；ⅱ>.(證)例7討論以下無窮積分的斂散性:ⅰ>ⅱ>三狄利克雷判別法與阿貝爾判別法:1.Abel判斂法:假設在區(qū)間上可積,單調(diào)有界,那么積分收斂.2.Dirichlet判斂法:設在區(qū)間上有界，在上單調(diào)，且當時，.那么積分收斂.例8討論無窮積分與的斂散性.例9證明以下無窮積分收斂,且為條件收斂:,,.例10(乘積不可積的例)設,。由例6的結果,積分收斂.但積分卻發(fā)散.§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別〔2學時〕教學目的：熟練掌握無窮積分和瑕積分的性質(zhì)與斂散性的判別。教學重點難點：無窮積分和瑕積分斂散性的判別。類似于無窮積分的柯西收斂準那么以及其后的三個性質(zhì)，瑕積分同樣可由函數(shù)極限的原意寫出相應的命題.Th(比擬原那么)P277Th11.6.系1(Cauchy判別法)P277推論2.系2(Cauchy判別法的極限形式)P277推論3.例11判別以下瑕積分的斂散性:⑴(注意被積函數(shù)非正).⑵.例12討論非正常積分的斂散性.注記.C—R積分與R積分的差異:1.R,在上;但在區(qū)間上可積,在區(qū)間上有界.例如函數(shù)2.R,||R,但反之不正確.R積分是絕對型積分.||在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積,但反之不正確.C—R積分是非絕對型積分.3.,R,R;但和在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.可見,在區(qū)間上可積,在區(qū)間上可積.第十二局部數(shù)項級數(shù)教學目的：1.明確認識級數(shù)是研究函數(shù)的一個重要工具；2.明確認識無窮級數(shù)的收斂問題是如何化歸為局部和數(shù)列收斂問題的；3.理解并掌握收斂的幾種判別法，記住一些特殊而常用的級數(shù)收斂判別法及斂散性。教學重點難點：本局部的重點是級數(shù)斂散性的概念和正項級數(shù)斂散性的判別；難點是一般級數(shù)斂散性的判別法。教學時數(shù)：18學時§1級數(shù)的收斂性一．概念：1．級數(shù)：級數(shù)，無窮級數(shù);通項(一般項,第項),前項局部和等概念(與中學的有關概念聯(lián)系).級數(shù)常簡記為.2.級數(shù)的斂散性與和:介紹從有限和入手,引出無限和的極限思想.以在中學學過的無窮等比級數(shù)為藍本,定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念.例1討論幾何級數(shù)的斂散性.〔這是一個重要例題！〕解時,.級數(shù)收斂;時,級數(shù)發(fā)散;時,,,級數(shù)發(fā)散;時,,,級數(shù)發(fā)散.綜上,幾何級數(shù)當且僅當時收斂,且和為(注意從0開始).例2討論級數(shù)的斂散性.解〔利用拆項求和的方法〕例3討論級數(shù)的斂散性.解設,,=,.,.因此,該級數(shù)收斂.例4討論級數(shù)的斂散性.解,.級數(shù)發(fā)散.3.級數(shù)與數(shù)列的關系:對應局部和數(shù)列{},收斂{}收斂;對每個數(shù)列{},對應級數(shù),對該級數(shù),有=.于是,數(shù)列{}收斂級數(shù)收斂.可見,級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式.4.級數(shù)與無窮積分的關系:,其中.無窮積分可化為級數(shù);對每個級數(shù),定義函數(shù),易見有=.即級數(shù)可化為無窮積分.綜上所述,級數(shù)和無窮積分可以互化,它們有平行的理論和結果.可以用其中的一個研究另一個.二.級數(shù)收斂的充要條件——Cauchy準那么：把局部和數(shù)列{}收斂的Cauchy準那么翻譯成級數(shù)的語言，就得到級數(shù)收斂的Cauchy準那么.Th(Cauchy準那么)收斂和N,.由該定理可見,去掉或添加上或改變(包括交換次序)級數(shù)的有限項,不會影響級數(shù)的斂散性.但在收斂時,級數(shù)的和將改變.去掉前項的級數(shù)表為或.系(級數(shù)收斂的必要條件)收斂.例5證明級數(shù)收斂.證顯然滿足收斂的必要條件.令,那么當時有應用Cauchy準那么時，應設法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定.例6判斷級數(shù)的斂散性.(驗證.級數(shù)判斂時應首先驗證是否滿足收斂的必要條件)例7(但級數(shù)發(fā)散的例)證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散.證法一(用Cauchy準那么的否認進行驗證)證法二證明{}發(fā)散.利用已證明的不等式.即得，.三．收斂級數(shù)的根本性質(zhì)：〔均給出證明〕性質(zhì)1收斂，—Const收斂且有=(收斂級數(shù)滿足分配律)性質(zhì)2和收斂，收斂,且有=.問題:、、三者之間斂散性的關系.性質(zhì)3假設級數(shù)收斂,那么任意加括號后所得級數(shù)也收斂,且和不變.(收斂數(shù)列滿足結合律)例8考查級數(shù)從開頭每兩項加括號后所得級數(shù)的斂散性.該例的結果說明什么問題?§2正項級數(shù)一.正項級數(shù)判斂的一般原那么:1.正項級數(shù):↗;任意加括號不影響斂散性.2.根本定理:Th1設.那么級數(shù)收斂.且當發(fā)散時,有,.(證)正項級數(shù)斂散性的記法.3.正項級數(shù)判斂的比擬原那么:Th2設和是兩個正項級數(shù),且時有,那么ⅰ><,<;ⅱ>=,=.(ⅱ>是ⅰ>的逆否命題)例1考查級數(shù)的斂散性.解有例2設.判斷級數(shù)的斂散性.推論1(比擬原那么的極限形式)設和是兩個正項級數(shù)且,那么ⅰ>時,和共斂散;ⅱ>時,<,<;ⅲ>時,=,=.(證)推論2設和是兩個正項級數(shù),假設=，特別地，假設～,，那么<=.例3判斷以下級數(shù)的斂散性:⑴;(～);⑵;⑶.二.正項級數(shù)判斂法:1．檢比法：亦稱為D’alembert判別法.用幾何級數(shù)作為比擬對象,有以下所謂檢比法.Th3設為正項級數(shù),且及時ⅰ>假設,<;ⅱ>假設,=.證ⅰ>不妨設時就有成立,有依次相乘,,即.由,得,<.ⅱ>可見往后遞增,.推論(檢比法的極限形式)設為正項級數(shù),且.那么ⅰ><,<;ⅱ>>或=,=.(證)註倘用檢比法判得=,那么有.檢比法適用于和有相同因子的級數(shù),特別是中含有因子者.例4判斷級數(shù)的斂散性.解,.例5討論級數(shù)的斂散性.解.因此,當時,;時,;時,級數(shù)成為,發(fā)散.例6判斷級數(shù)的斂散性.注意對正項級數(shù)，假設僅有，其斂散性不能確定.例如對級數(shù)和,均有，但前者發(fā)散,后者收斂.2.檢根法(Cauchy判別法):也是以幾何級數(shù)作為比擬的對象建立的判別法.Th4設為正項級數(shù),且及,當時,ⅰ>假設,<;ⅱ>假設,=.(此時有.)(證)推論(檢根法的極限形式)設為正項級數(shù),且.那么,<;,=.(證)檢根法適用于通項中含有與有關的指數(shù)者.檢根法優(yōu)于檢比法.例7研究級數(shù)的斂散性.解,.例8判斷級數(shù)和的斂散性.解前者通項不趨于零,后者用檢根法判得其收斂.3．積分判別法：Th5設在區(qū)間上函數(shù)且↘.那么正項級數(shù)與積分共斂散.證對且.例9討論級數(shù)的斂散性.解考慮函數(shù)0時在區(qū)間上非負遞減.積分當時收斂,時發(fā)散.級數(shù)當時收斂,時發(fā)散.時,,級數(shù)發(fā)散.綜上,級數(shù)當且僅當時收斂.例10討論以下級數(shù)的斂散性:⑴;⑵.習題課一．直接比擬判斂：對正項級數(shù)，用直接比擬法判斂時,常用以下不等式:⑴.⑵對,有.⑶;特別地,有,.⑷時,有.⑸.⑹充分大時,有.例1判斷級數(shù)的斂散性.解時,,(或).……例2判斷級數(shù)的斂散性,其中.解時,有;時,.例3設數(shù)列有界.證明.證