第01講 5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（原卷版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①初步了解導(dǎo)數(shù)概念的背景，掌握平均變化率與瞬時變化率的概念及幾何意義。②會求函數(shù)的平均變率與瞬時變化率。③能結(jié)合實際問題求曲線在某點處與某點附近點的切線與割線的斜率的極限值。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求會求函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率.知識點01：函數(shù)的平均變化率1、定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為：，表示為函數(shù)從到的平均變化率，若設(shè),則平均變化率為2、求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：①作差：求出和②作商：對所求得的差作商，即.【即學(xué)即練1】（2023·全國·高二課堂例題）已知函數(shù)，，分別計算它們在區(qū)間，上的平均變化率．【答案】3；3；3；6【詳解】函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．函數(shù)在上的平均變化率為．3、平均變化率的幾何意義平均變化率如圖：表示直線的斜率。知識點02：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率）1、定義：函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作.【即學(xué)即練2】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)，求自變量x在以下的變化過程中，該函數(shù)的平均變化率：（1）自變量x從1變到；（2）自變量x從1變到；（3）自變量x從1變到．估算當(dāng)時，該函數(shù)的瞬時變化率．【答案】（1）；（2）；（3）；【詳解】（1）因為，所以，所以自變量x從1變到的平均變化率為；（2），所以自變量x從1變到的平均變化率為；（3），所以自變量x從1變到的平均變化率為；所以可估算當(dāng)時，的瞬時變化率為，證明如下：而，則，所以在處的瞬時變化率為.2、定義法求導(dǎo)數(shù)步驟：求函數(shù)的增量：；求平均變化率：；求極限，得導(dǎo)數(shù)：.知識點03：導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖,在曲線上任取一點,如果當(dāng)點沿著曲線無限趨近于點時,割線無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線稱為曲線在點處的切線.則割線的斜率【即學(xué)即練3】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，．【答案】1【詳解】因為，所以，所以當(dāng)時，，故答案為：1知識點04：曲線的切線問題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.第二步：計算切線斜率.第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練4】（2023上·高二課時練習(xí)）已知，求曲線在點處的切線方程．【答案】【詳解】根據(jù)題意，先由導(dǎo)函數(shù)定義求曲線在點處切線的斜率：當(dāng)時，，從而當(dāng)h趨近于0時，．因此，曲線在點處切線的斜率為0．根據(jù)直線的點斜式方程為，即；于是，所求切線方程為．2、過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練5】（2023·高二單元測試）試求過點且與曲線相切的直線的斜率．【答案】或6【詳解】設(shè)切點坐標(biāo)為，則有．因為，所以．切線方程為，將點代入，得，所以，得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以所求直線的斜率為或6．題型01求物體運動的平均速度(含平均變化率）【典例1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）某物體沿直線運動，其位移（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，則在這段時間內(nèi)，該物體的平均速度為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·江西九江·高二校聯(lián)考期中）某汽車在平直的公路上向前行駛，其行駛的路程與時間的函數(shù)圖象如圖.記該車在時間段，，，上的平均速度的大小分別為，，，，則平均速度最小的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023下·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·全國·高二課堂例題）某物體做自由落體運動，其運動方程為，其中t為下落的時間（單位：s），g為重力加速度，大小為2．求它在時間段內(nèi)的平均速度．題型02求物體運動的瞬時速度（含瞬時變化率）【典例1】（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)校考階段練習(xí)）在高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度單位：）是，則運動員在時的瞬時速度為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（

）A． B．1 C．2 D．【變式1】（2023下·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)在處的瞬時變化率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）已知一物體的運動方程是s＝24t－3t2(s的單位為m，t的單位為s)，則物體在t＝s時的瞬時速度為12m/s.題型03曲線在某點處的切線斜率或傾斜角【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)，則該函數(shù)在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）點在曲線上移動，設(shè)點處切線的傾斜角為，則角的范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2022下·安徽黃山·高二屯溪一中校考期中）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（）A．.2 B． C． D．【變式2】（2022·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線斜率為．題型04導(dǎo)數(shù)定義的理解與應(yīng)用【典例1】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？计谥校┤魹榭蓪?dǎo)函數(shù)，且，則過曲線上點處的切線斜率為．【典例2】（2023下·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則.【變式1】（2023下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）如圖，直線是曲線在點處的切線，則．【變式2】（2023下·上海嘉定·高二上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)在處的切線斜率為，且，則題型05求切線方程【典例1】（2023下·湖南長沙·高二長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┰O(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點處的切線斜率為.【典例2】（2023下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)函數(shù)；(2)求曲線在點處的切線的方程.【典例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）求函數(shù)的圖象上過原點的切線方程．【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）已知曲線上的兩點和，求：(1)割線AB的斜率；(2)過點A的切線的斜率；(3)點A處的切線的方程．【變式2】（2022·高二課時練習(xí)）試求過點P(3，5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·江蘇連云港·?？寄M預(yù)測）曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．2．（2023下·廣西桂林·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┖瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率為（

）A． B． C．2 D．4．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為，其中，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B． C． D．5．（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．6．（2023下·陜西渭南·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在處的瞬時變化率為，且，則（

）A．2 B．4 C． D．7．（2023下·高二課時練習(xí)）已知拋物線在處的增量為，則的值為（）A．－ B．－ C． D．8．（2023下·北京海淀·高二人大附中期末）函數(shù)在附近的平均變化率是（）A． B．C． D．二、多選題9．（2023下·山東日照·高二校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時，下列說法正確的是（

）A．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0B．函數(shù)值的改變量為C．函數(shù)在上的平均變化率為D．函數(shù)在上的平均變化率10．（2023下·高二課時練習(xí)）在高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度(單位：是，判斷下列說法正確的是（

）A．運動員在時的瞬時速度是B．運動員在時的瞬時速度是C．運動員在附近以的速度上升D．運動員在附近以的速度下降三、填空題11．（2023上·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)校考階段練習(xí)）若為可導(dǎo)函數(shù)，且，則過曲線上點處的切線斜率為．12．（2023下·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考期中）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在一點，使得（為的導(dǎo)函數(shù)）．則函數(shù)在上這樣的點的個數(shù)為四、解答題13．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）某人服藥后，吸收藥物的情況可以用血液中藥物的質(zhì)量濃度c（單位：μg/mL）來表示，它是時間t（單位：min）的函數(shù)，表示為．下表給出了的一些函數(shù)值：t/min0102030405060708090100(1)求服藥后30min內(nèi)，30min到40min，80min到90min這3段時間內(nèi)，血液中藥物質(zhì)量濃度的平均變化率；(2)討論刻畫血液中的藥物質(zhì)量濃度變化快慢的方法，并說明上述3段時間中，藥物質(zhì)量濃度變化最快的時間段．14．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）對一名工人的研究表明，工作th后生產(chǎn)出的產(chǎn)品量Q（單位：t）可以近似表示為，該工人每天工作8h．(1)求當(dāng)t從2h變到4h，該工人生產(chǎn)的產(chǎn)品量Q關(guān)