4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式5題型分類（原卷版）

n項(xiàng)和公式5題型分類一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和公式為

=.二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時(shí)，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(diǎn)(n,)是直線y=x上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)q≠1時(shí)，=.記A=，則=+Aq>0且q≠1時(shí)，y=是指數(shù)函數(shù)，此時(shí)，點(diǎn)(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點(diǎn).三、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.（一）等比數(shù)列基本量的求解1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=a113.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算:在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，做到“知三求二”．題型1：等比數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的求解11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中.（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.12．（2023上·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知遞增的等比數(shù)列中，，，則（

）A．25 B．31 C．37 D．4113．（2023·浙江·）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則A．11 B．5 C． D．14．（2023上·四川·高三樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公比（

）A．2 B． C．2或 D．2或15．（2023上·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則該數(shù)列的公比（

）A． B． C．2 D．316．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（

）A． B． C． D．18．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知是等比數(shù)列，，，則（

）A． B． C． D．19．（2023上·河南安陽·高二林州一中階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在直線上．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和.110．（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)校考階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地”.則下列說法正確的是（

）A．該人第五天走的路程為14里B．該人第三天走的路程為42里C．該人前三天共走的路程為330里D．該人最后三天共走的路程為42里111．（2023·湖南·統(tǒng)考二模）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期?感染者與其他人的接觸頻率?每次接觸過程中傳染的概率決定，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1（初始感染者）增加到999大約需要的天數(shù)為（

）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……參考數(shù)據(jù)：）A．42 B．56 C．63 D．70（二）等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項(xiàng)和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項(xiàng)，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項(xiàng)，則=q.題型2：等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用21．（2023下·寧夏石嘴山·高一平羅中學(xué)校考期中）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為3，前15項(xiàng)和為39，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A． B． C．12 D．1523．（2023上·寧夏銀川·高二銀川九中階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．24．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比為，且，則（

）A．36 B．39 C．40 D．4425．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，，則（

）A．40 B．60 C．32 D．5026．（2023上·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？奸_學(xué)考試）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則A． B． C． D．27．（2023上·貴州銅仁·高二貴州省思南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則公比等于（

）A． B． C． D．題型3：等比數(shù)列奇、偶項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用31．（2023·全國·高二學(xué)業(yè)考試）已知一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．32．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．12033．（2023上·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B．2 C． D．34．（2023上·陜西寶雞·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型4：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的其他性質(zhì)41．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的公比q，前n項(xiàng)的和，對任意的，恒成立，則公比q的取值范圍是．42．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調(diào)遞增B．若，則數(shù)列單調(diào)遞增C．若數(shù)列單調(diào)遞增，則D．若數(shù)列單調(diào)遞增，則43．（2023上·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則函數(shù)的最小值．44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中不正確的有（

）A．q>1B．C．D．是數(shù)列中的最大項(xiàng)45．（2023上·河南鄭州·高二鄭州外國語學(xué)校?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．

B．

C．的最大值為

D．的最大值為46．（2023·四川成都·校聯(lián)考三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，數(shù)列滿足，其中，給出以下命題：①；②若對恒成立，則；③設(shè)，，則的最小值為；④設(shè)，若數(shù)列單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．其中所有正確的命題的序號為．（三）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d=am＋(n－m)d.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1＝amqnm＝eq\f(a1,q)qn.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=a113.根據(jù)具體條件，借助等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、求和公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.題型5：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用51．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，是，的等差中項(xiàng)，則.52．（2023下·吉林長春·高二東北師大附中校考期中）已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且與的等差中項(xiàng)為，則的值為．53．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若數(shù)列是等比數(shù)列，且是與的等差中項(xiàng)，則．54．（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若為和的等差中項(xiàng)，，則．55．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則下列命題中錯誤的是（

）A．B．C．，，成等比數(shù)列D．“”是“，，成等差數(shù)列”的充要條件56．（2023下·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中，，，成等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2023·安徽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，奇數(shù)項(xiàng)之和為21，偶數(shù)項(xiàng)之和為10，則這個等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．112．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，，則等比數(shù)列的公比為（

）A． B．2 C． D．33．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），且其前n項(xiàng)和，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．4．（2023下·黑龍江綏化·高二綏化市第九中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的前n項(xiàng)和為，q為常數(shù)，則“數(shù)列是等比數(shù)列”為“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B．2 C．1 D．6．（2023上·山東·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若數(shù)列前5項(xiàng)的和為31，則的值為（

）A．8 B．16 C．31 D．327．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．68．（2023·江蘇南通·沭陽如東中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．99．（2023上·江蘇無錫·高二江蘇省梅村高級中學(xué)校考階段練習(xí)）我國明代著名樂律學(xué)家?明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說》中提出的十二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個八度音程從一個c鍵到下一個鍵的8個白鍵與5個黑鍵(如圖)的音頻恰成一個公比為的等比數(shù)列的原理，也即高音的頻率正好是中音c的頻率為440Hz，那么頻率為的音名是（

）A．d B．f C．e D．#d10．（2023上·天津河北·高三天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或511．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，已知，，則等于（

）A． B．C． D．12．（2023上·四川南充·高二閬中中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且則等于（

）A． B． C． D．13．（2023上·河北廊坊·高三?？茧A段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第三天走了（

）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里14．（2023·河北·校聯(lián)考一模）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比（

）A．5 B．4 C．3 D．215．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期中）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或1216．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考期中）若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．17．（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B．C． D．18．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值是（

）A． B． C． D．419．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）一個等比數(shù)列共有項(xiàng)，若前項(xiàng)之和為15，后項(xiàng)之和為60，則這個等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和為（）A．63 B．72 C．75 D．8720．（2023上·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則其偶數(shù)項(xiàng)為（

）A．15 B．30C．45 D．6021．（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．22．（2023下·浙江·高一校聯(lián)考期中）等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B．C． D．23．（2023上·陜西商洛·高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A．9 B．10 C．12 D．1724．（2023下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題25．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類．螺旋線這個名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”．小明對螺旋線有著濃厚的興趣，連接嵌套的各個正方形的頂點(diǎn)就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，其具體作法是：在邊長為1的正方形中，作它的內(nèi)接正方形，且使得；再作正方形的內(nèi)接正方形，且使得；與之類似，依次進(jìn)行，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示．設(shè)第個正方形的邊長為（其中第1個正方形的邊長為，第2個正方形的邊長為，…），第個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形的面積為，第2個直角三角形的面積為，…），則（

）A．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 B．C．?dāng)?shù)列是公比為的等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和26．（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，是其前與的等差中項(xiàng)為20，則（

）A． B．公比C． D．27．（2023上·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為 B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．28．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？计谀┮阎缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng)，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列命題正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式B．C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．的取值范圍是29．（2023上·山東青島·高二統(tǒng)考期中）已知數(shù)列是公比的正項(xiàng)等比數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)，是與等差中項(xiàng)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．30．（2023上·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期中）對于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（

）A．若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B．若數(shù)列為等比數(shù)列，則C．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為13D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列三、填空題31．（2023·廣東·高考真題）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.32．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則．33．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則.34．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若等比數(shù)列的公比為，且，則的前100項(xiàng)和為．35．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則.36．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）作邊長為的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后，再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，則前個內(nèi)切圓的面積和是．37．（2023·全國·校聯(lián)考一模）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則.38．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，且公比，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為．39．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則．40．（2023上·遼寧沈陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列的前項(xiàng)和.41．（2023下·安徽滁州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國數(shù)學(xué)的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半……”，則前6天兩只老鼠一共穿城墻尺．42．（2023上·浙江溫州·高二統(tǒng)考期末）如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為，則小球落地的次數(shù)為．四、解答題43．（2023下·高二課