第03講：不等式性質(zhì)與基本不等式期末高頻考點題型講與練 解析版

第03講：不等式性質(zhì)與基本不等式期末高頻考點題型講與練【考點梳理】考點一等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考點二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正考點三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．考點四．利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)【題型歸納】題型一：不等式的性質(zhì)應(yīng)用1．（2023上·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學(xué)?？计谀┫铝姓f法不正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A【分析】對于A，舉例判斷，對于B，利用不等式的性質(zhì)判斷，對于CD，作差判斷【詳解】對于A，若，則，，此時，所以A錯誤，對于B，由可得，則，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以B正確，對于C，因為，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，所以，所以D正確，故選：A2．（2022上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？茧A段練習(xí)）如果，則正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】舉例說明ABD是錯誤的，用作差法證明C是正確的．【詳解】取，則，故A錯誤；取，則，故B錯誤；由于，所以，則，故C正確；取，則，，故D錯誤.故選：C．3．（2023上·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)校考期末）下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】通過舉反例判斷AB；利用不等式的性質(zhì)判斷CD.【詳解】對于A：當(dāng)時，，故A錯誤；對于B：當(dāng)時，，但，故B錯誤；對于C：，，，故C正確；對于D：，，，故D錯誤；故選：C.題組二：由基本不等式證明或比較不等式的大小4．（2021上·云南昭通·高一云南云天化中學(xué)教育管理?？计谀┫铝薪Y(jié)論表述正確的是（）A．若，則恒成立B．若，則恒成立C．若，，則成立D．函數(shù)的最小值為3【答案】C【解析】根據(jù)基本不等式成立的條件可判斷ABC的正誤，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可判斷D的正誤.【詳解】對于A，若，則恒成立，錯；對于B，若，則恒成立，若，則，錯；對于D，函數(shù)，，令，則且，因為在上為增函數(shù)，故，對于C，因為，而，，故成立.故選：C．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式判斷給定的不等式是否成立時，注意依據(jù)“一正二定三相等”來檢驗，另外，說明一個不等式成立，需嚴(yán)格證明，關(guān)注代數(shù)式變形時符號的要求.5．（2019下·廣東廣州·高一廣州市培正中學(xué)?？计谀┮阎?，，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題先根據(jù)完全平方公式與基本不等式得到，所以排除選項A；再根據(jù)基本不等式化簡得到，所以排除選項B；接著根據(jù)基本不等式得到，所以排除選項C；最后根據(jù)基本不等式得到選項D正確.【詳解】解：對于選項A：因為，，所以，故選項A錯誤；對于選項B：，故選項B錯誤；對于選項C：，故選項C錯誤；對于選項D：，所以，故選項D正確.故選：D.【點評】本題考查基本不等式的應(yīng)用、學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，是基礎(chǔ)題.6．（2019下·內(nèi)蒙古包頭·高一統(tǒng)考期末）若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由條件優(yōu)先判斷，用作差法可判斷，可將還原成，結(jié)合作差法可判斷兩數(shù)的大小.【詳解】因為，故由均值不等式可知：；因為，故；因為，故；綜上所述：.故選：B.題型三：基本不等式求積的最大值7．（2023下·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為（）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.【詳解】由題意得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時等號成立，所以的最大值為.故選：B8．（2023上·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式計算可得.【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，所以的最大值為.故選：C.9．（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校校考期末）已知，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解【詳解】因為，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號，所以.故選：D題型四：基本不等式求和的最小值10．（2023上·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┰O(shè)，且，則（）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最小值為 D．無最小值【答案】C【分析】利用基本不等式求解即可．【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，故當(dāng)，時，取得最小值為．故選：C．11．（2022上·云南曲靖·高一?？计谀┫铝泻瘮?shù)中最小值為6的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合特例和基本不等式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)，當(dāng)，可得，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為，符合題意；對于C中，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，顯然不成立，所以C不符合題意；對于D中，函數(shù)，當(dāng)時，，可得，所以D不符合題意.故選：B.12．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）下列各式最小值為4的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】A選項，舉出反例；B選項，由基本不等式求解，但無解，B錯誤；C選項，利用基本不等式求出最小值；D選項，由三角函數(shù)的有界性求出最值.【詳解】A選項，當(dāng)時，，故A錯誤；B選項，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，但無解，無解，故B錯誤；C選項，因為，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，C正確；D選項，的最大值為4，最小值為4，D錯誤.故選：C題型五：二次或者二次商式的最值問題13．（2021下·江西吉安·高一永豐縣永豐中學(xué)校考期末）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)化簡變形為，然后利用基本不等式求解即可【詳解】解：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，故選：B14．（2020下·河北唐山·高一灤南縣第一中學(xué)?？计谀┤簦瑒t有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.【點睛】本題主要考查通過構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.15．（2021下·遼寧大連·高二育明高中校考期中）“”是“關(guān)于的不等式（）有解”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用基本不等式求得當(dāng)時，的最小值為，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意知，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以當(dāng)時，的最小值為，當(dāng)時，可得關(guān)于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：關(guān)于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“關(guān)于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：A.題型六：基本不等式“1”的妙用16．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知實數(shù)，滿足，，且，則的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】利用1的妙用，結(jié)合基本不等式求解最值即可．【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則的最小值為12．故選：C．17．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）若正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式計算得出1，再結(jié)合常值代換求和的最值，計算可得最大值.【詳解】,.故選:D.18．（2023下·山西·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代換求解.【詳解】解：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．故選：C題型七：條件等式求最值19．（2023上·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，則的最小值為（）A． B．C． D．6【答案】A【分析】先將目標(biāo)函數(shù)化簡，得到，再利用均值定理即可求得其最小值.【詳解】由題意，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：A20．（2023上·湖北·高一湖北省黃梅縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正數(shù)滿足恒成立，則的最小值為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由已知可得，，根據(jù)“1”的代換代入，然后根據(jù)基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，且，，即，等號成立.所以的最小值為.故選：B．21．（2022上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知，，且，則的最小值為（）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)題意整理可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由于，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為.故選：C．題型八：基本不等式的恒成立求參數(shù)問題22．（2023上·廣東廣州·高一廣州市海珠中學(xué)?？计谀┤粽龜?shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【詳解】解：，，，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，解得，時等號成立，因為不等式恒成立，所以，即所以，實數(shù)的最大值為.故選：D．23．（2022上·湖南岳陽·高一統(tǒng)考期末）已知且恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)運算可得出且、均為正數(shù)，利用基本不等式求出的最小值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為，則且、均為正數(shù)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，所以，，即，解得.故選：C.24．（2022上·河南商丘·高一校聯(lián)考期末）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實數(shù)恒成立，進而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.題型九：基本不等式的實際問題的應(yīng)用25．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）2022年10月16日上午，中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂開幕．二十大報告提出，全面推進鄉(xiāng)村振興，堅持農(nóng)業(yè)農(nóng)村優(yōu)先發(fā)展，鞏固拓展脫貧攻堅成果．某地政府為深入推進鄉(xiāng)村振興，決定調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)．該地區(qū)現(xiàn)有260戶農(nóng)民，且都從事水果種植，平均每戶的年收入為萬元．為增加農(nóng)民收入，當(dāng)?shù)卣疀Q定動員部分農(nóng)民從事水果加工．據(jù)測算，若動員戶農(nóng)民只從事水果加工，剩下的只從事水果種植，則從事水果加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬元，而從事水果種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高5x%．(1)若動員x戶農(nóng)民從事水果加工后，要使從事水果種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事水果種植的農(nóng)民的總年收入，求x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，要使這260戶農(nóng)民中從事水果加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事水果種植的農(nóng)民的總收入，求a的最大值．【答案】(1)(2)22【分析】（1）依題意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范圍為；（2）化簡表達(dá)式并利用基本不等式即可求出a的最大值為22.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，需滿足，化簡為，解得，故x的取值范圍為（2）由題意得整理可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最小值10；所以，即a的最大值為2226．（2023上·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）為了減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻通常需要建造隔熱層，某地正在建設(shè)一座購物中心，現(xiàn)在計劃對其建筑物建造可使用40年的隔熱層，已知每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用P（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：．若不建隔熱層，每年能源消耗費用為9萬元．設(shè)S為隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和．(1)求m的值及用x表示S；(2)當(dāng)隔熱層的厚度為多少時，總費用S達(dá)到最小，并求最小值．【答案】(1)，（）；(2)當(dāng)隔熱層的厚度為時，總費用取得最小值110萬元.【分析】（1）利用給定條件，求出的值，進而可得能源消耗費用與隔熱層建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根據(jù)等號成立的條件可得隔熱層厚度.【詳解】（1）設(shè)隔熱層厚度x，依題意，每年的能源消耗費用為：，而當(dāng)時，，則，解得，顯然建造費用為，所以隔熱層建造費用與40年的能源消耗費用之和為：（）.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)隔熱層的厚度為時，總費用取得最小值110萬元．27．（2023上·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？计谀稘竦毓s》第十四屆締約方大會部級高級別會議11月6日在湖北武漢閉幕，會議正式通過“武漢宣言”，呼吁各方采取行動，遏制和扭轉(zhuǎn)全球濕地退化引發(fā)的系統(tǒng)性風(fēng)險.武漢市某企業(yè)生產(chǎn)某種環(huán)保型產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）．經(jīng)計算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時，則這x千件產(chǎn)品成本．每千件產(chǎn)品售價為100萬元，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．(1)寫出年利潤L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)105千件，最大利潤是1000萬元【分析】（1）年利潤為銷售收入減去生產(chǎn)成本，分情況討論計算即可；（2）當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求最大值；當(dāng)時，根據(jù)基本不等式求最大值，繼而求出最大值．【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為950，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．因為，所以當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元.【強化精練】一、單選題28．（2023上·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）若正實數(shù)滿足，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】將條件變形為，然后利用常數(shù)代換結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，又為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：D.29．（2023下·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】由于，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選:B．30．（2022上·湖北孝感·高一?？计谀┤粽龜?shù)，滿足，則的最小值為（）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因為，則，即，所以，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時，等號成立，故的最小值為.故選：B.31．（2022上·福建莆田·高一?？计谀┊?dāng)時，的最小值為（）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式計算即可.【詳解】因為，所以,,因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最小值.故選：B.32．（2023下·廣東揭陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，則函數(shù)的最小值為（）A．6 B．7 C．11 D．12【答案】C【分析】先化簡為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為.故選：C33．（2023下·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了三角形面積公式，即，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積.若某三角形三邊a，b，c，滿足，，則該三角形面積S的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把給定數(shù)據(jù)代入公式，再利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以該三角形面積S的最大值為.故選：B34．（2023下·河南周口·高一校聯(lián)考期末）已知，，，則的最小值為（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】由題意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.【詳解】由（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又由（當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2時取等號），有，可得的最小值為32．故選：D．35．（2023上·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）為提高生產(chǎn)效率，某公司引進新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成木，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤s（單位：萬元）與生產(chǎn)線運轉(zhuǎn)時間t（單位：年），，滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤最大，則每條生產(chǎn)線運行的時間t為（）年.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】求出年平均利潤函數(shù)，利用均值不等式求解即可.【詳解】由題意，年平均利潤為，，因為時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即當(dāng)時，年平均利潤最大為6萬元.故選：B36．（2023上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)滿足：，則以下結(jié)論中（1）（2）（3）的最小值為9（4）的最小值為3.正確結(jié)論個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】變形給定等式，利用函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出，再結(jié)合均值不等式“1”的妙用判斷作答.【詳解】，令函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上都單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在R上單調(diào)遞增，顯然原等式為，則，即，（1）正確，（2）錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，于是的最小值為9，（3）正確，（4）錯誤，所以正確結(jié)論個數(shù)為2.故選：B37．（2023上·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┤簦?，且，則的最小值為（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，可將題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，再結(jié)合基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)，則，且，題目轉(zhuǎn)化為已知，求的最小值，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等式成立.所以.故選：C.38．（2023上·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式以及等號的成立條件逐一判斷即可.【詳解】對于A：當(dāng)時，，A錯誤；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故等號不能成立，，B錯誤；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，C正確；對于D：當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，D錯誤；故選：C.二、多選題39．（2023下·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為4 B．的最大值為C．的最大值為2 D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A正確；對于B，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，因為，所以的最大值為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：ABD.40．（2023上·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期末）已知實數(shù)，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．若則C．則 D．若則有最大值【答案】CD【分析】舉反例判斷AB，根據(jù)基本不等式判斷CD.【詳解】對于A，當(dāng)時，，不滿足，錯誤；對于B，當(dāng)時，，滿足，但是，錯誤；對于C，因為，所以，所以，所以，正確；對于D，因為，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即有最大值，正確.故選：CD41．（2023上·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】本題首先可根據(jù)判斷出A，然后根據(jù)判斷出B，再然后根據(jù)判斷出C，最后根據(jù)判斷出D.【詳解】因為、是正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.因為，所以，故A不正確.因為.當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立，故B不正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.即，故C正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故D正確.故選：CD.42．（2023下·福建福州·高一福州三中?？计谀┮阎?，，且，則（）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．的最小值為16【答案】BCD【分析】利用基本不等式有，結(jié)合換元法解一元二次不等式求范圍，注意所得范圍端點取值判斷A；由已知得，利用基本不等式判斷B、C、D，注意最值取值條件.【詳解】因為，，所以，僅當(dāng)時，即等號成立，令，則，故，所以，即，僅當(dāng)時右側(cè)等號成立，所以的最大值為，A錯誤；由，則，所以，僅當(dāng)，即時等號成立，故的最小值為，B正確；由，僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為，C正確；由，僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為16，D正確.故選：BCD43．（2022上·重慶巫山·高一校考期末）下列說法正確的有（）A．若，則B．因為，所以C．（且）D．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為3【答案】ACD【分析】利用基本不等式即可求得A正確，對選項B利用基本不等式可知等號不成立，即B錯誤；對的正負(fù)進行分類討論并利用基本不等式可得成立，即C正確；由基本不等式中“1”的應(yīng)用即可求得當(dāng)時，的最小值為3，可得D正確.【詳解】對于A，由可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故A正確；對于B，由可知當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，而，顯然等號不成立，所以錯誤，可知B錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；即可得成立，所以C正確；對于D，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；即D正確.故選：ACD三、填空題44．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三?？茧A段練習(xí)）若，則的最小值是．【答案】3【分析】，利用基本不等式可得最值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴時取得最小值3.故答案為：3．45．（2023上·遼寧朝陽·高一建平縣實驗中學(xué)?？计谀┤?，，且，則的最大值為．【答案】1【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求出的最大值即可.【詳解】∵，，∴，解得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最大值為1．故答案為：.46．（2023上·安徽合肥·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，，且，則的最小值是.【答案】/【分析】根據(jù)題意可得，，且，結(jié)合基本不等式中“1”的妙用運算求解.【詳解】因為，，且，則，，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是.故答案為：.47．（2022上·云南曲靖·高一?？计谀┮阎?，則當(dāng)取得最小值時，．【答案】【分析】根據(jù)條件表示出，然后將表示結(jié)果代入，利用基本不等式求解最小值并分析取等條件，由此可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，由可知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時，所以，故答案為：.48．（2023上·安徽滁州·高一安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)二次函數(shù)（，）的值域是，則的最小值是．【答案】【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象，由值域為，求得，，再由基本不等式求解即可.【詳解】當(dāng)二次函數(shù)的圖象開口向上，且與軸有且只有一個交點時，其值域為，∴，∴，，