新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第7章概率測評北師大版必修第一冊

第七章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.下列關于古典概型的說法正確的是().①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點個數(shù)是有限的;②每個事件出現(xiàn)的可能性相等;③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等;④樣本點總數(shù)為n,若隨機事件A包含k個樣本點,則P(A)=knA.②④ B.①③④C.①④ D.③④答案:B2.已知事件A,B,若P(A)=15,P(B)=12,P(A∪B)=710,則A,B之間的關系一定為(A.兩個任意事件B.互斥事件C.互斥但不對立事件D.非對立事件解析:因為P(A)+P(B)=15+12=710=P(A∪B),所以A,B之間的關系可能為互斥事件,但A,B一定不是對立事件.因為P(A)答案:D3.已知定義在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)上的四個函數(shù)y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,從四個函數(shù)中任取兩個函數(shù)相乘,所得函數(shù)為奇函數(shù)的概率是().A.12 B.13 C.35答案:B4.西周初數(shù)學家商高在公元前1000年發(fā)現(xiàn)勾股定理的一個特例,勾三,股四,弦五.此發(fā)現(xiàn)早于畢達哥拉斯定理五百到六百年,我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)(a,b,c)稱為勾股數(shù).現(xiàn)從(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)這10組勾股數(shù)中隨機抽取1組,則被抽出的這組勾股數(shù)滿足2b=a+c的概率為().A.25 B.79 C.78解析:從這10組勾股數(shù)隨機抽取1組,共10種抽取方法,其中滿足2b=a+c的有(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4種,故所求概率P=410答案:A5.口袋內裝有一些大小、質地相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個球,摸出紅球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,則摸出黑球的概率是().A.0.42 B.0.28 C.0.3 D.0.7答案:C6.甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲,先由甲心中想一個數(shù)字,記為a,再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字,把乙猜的數(shù)字記為b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,則稱甲、乙“心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲,他們“心有靈犀”的概率為().A.19 B.29 C.718解析:首先要弄清楚“心有靈犀”的實質是|a-b|≤1.由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},則滿足要求的事件可能的結果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16種,而依題意得樣本空間的樣本點總數(shù)為36.因此他們“心有靈犀”的概率為1636=49答案:D7.有兩張卡片,一張的正反面分別畫著老鼠和小雞,另一張的正反面分別畫著老鷹和蛇,現(xiàn)在有兩個小孩隨機地將兩張卡片排在一起放在桌面上,不考慮順序,則向上的圖案是老鷹和小雞的概率是().A.12 B.13 C.14答案:C8.甲從正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,乙也從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線,則所得的兩條直線相互垂直的概率是().A.318 B.418 C.518解析:正方形四個頂點可以確定6條直線,甲、乙各自任選一條共有36個樣本點.兩條直線相互垂直的情況有5種(4組鄰邊和1組對角線),所以包含10個樣本點.故所求概率為518答案:C二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.從裝有白球、紅球和黑球各兩個的口袋內一次取出兩球,這些球除顏色外均相同.則下列事件能與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的為().A.兩球都不是白球B.兩球恰有一個白球C.兩球至少有一個白球D.兩球都為黑球解析:從裝有白球、紅球和黑球各兩個的口袋內一次取出兩個球,所有的樣本點為白白,白紅,白黑,紅紅,紅黑,黑黑.除“兩球都不是白球”外,還有其他事件可能發(fā)生,故A與“兩球都為白球”互斥但不對立.B,D符合,理由同上.兩球至少有一個白球,其中包含兩個都是白球,故不互斥,故C不符合.答案:ABD10.在五件產品中,有三件一等品和兩件二等品,從中任取兩件,以710為概率的事件不可能是()A.恰有一件一等品B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品D.都不是一等品解析:將三件一等品編號為1,2,3,兩件二等品編號為4,5,從中任取兩件有10種取法:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).其中恰有一件一等品的取法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P1=35;恰有兩件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有兩件一等品的概率P2=310,其對立事件是“至多有一件一等品”,概率P3=1-P2=1-310=710.則至少有一件一等品的概率是P4=P1+P2=910,都不是一等品的概率是P5答案:ABD11.下面說法正確的有().A.若P(A)+P(B)=1,則事件A與B是對立事件B.若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與B是相互獨立事件C.若事件A與B是互斥事件,則A與B也是互斥事件D.若事件A與B是相互獨立事件,則A與B也是相互獨立事件解析:對于A選項,要使A,B為對立事件,除P(A)+P(B)=1還需滿足P(AB)=0,即A,B不能同時發(fā)生,所以A選項錯誤.對于B選項,根據(jù)相互獨立事件的知識可知,B選項正確.對于C選項,A包含于B,所以A與B不是互斥事件,所以C選項錯誤.對于D選項,根據(jù)相互獨立事件的知識可知,D選項正確.故選BD.答案:BD12.某高校從參加今年自主招生考試的學生中隨機抽取50名學生的成績作為樣本,得到頻率分布表如下:組號分組頻數(shù)頻率第一組[230,235)80.16第二組[235,240)①0.24第三組[240,245)15②第四組[245,250)100.20第五組[250,255]50.10合計501.00以下結論正確的有().A.表中①位置的數(shù)據(jù)是12B.表中②位置的數(shù)據(jù)是0.30C.在第三、四、五組中用分層隨機抽樣法抽取6名學生進行第二輪考核,則第三組抽取2人D.在第三、四、五組中用分層隨機抽樣法抽取的6名學生中錄取2名學生,則2人中至少有1名是第四組的概率為0.5解析:①位置的數(shù)據(jù)為50-(8+15+10+5)=12,正確;②位置的數(shù)據(jù)為1550=0.30,B正確;由分層隨機抽樣得,第三、四、五組參加第二輪考核的人數(shù)分別為3,2,1,C錯誤;設抽取的6人為a,b,c,d,e,f(其中第四組的兩人分別為d,e),則從6人中任取2人的所有情況為ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種.記“2人中至少有1名是第四組的”為事件A,則事件A所含的樣本點的個數(shù)為9.所以P(A)=915=35,故2人中至少有1名是第四組的概率為35答案:AB三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.口袋中裝有100個大小、質地相同的紅球、白球、黑球,其中紅球45個,從口袋中摸出一個球,摸出白球的概率為0.23,則摸出黑球的概率為.

解析:摸出紅球的概率為45100=0.45,因為摸出紅球、摸出白球和摸出黑球兩兩互斥,因此摸出黑球的概率為1-0.45-0.23=0.32答案:0.3214.甲、乙兩人玩“剪刀、石頭、布”游戲,隨機出手一次,則甲不輸?shù)母怕适?

解析:畫出樹狀圖,如圖所示.從樹狀圖可以看出,所有可能的結果共有9種,這些結果出現(xiàn)的可能性相等,P(甲獲勝)=13;P(平局)=13,則玩一局甲不輸?shù)母怕适谴鸢?215.口袋里裝有5個球,分別標記1,2,3,4,5這5個號碼,設號碼為x的球的質量為(x2-5x+30)克,這些球以同等的機會(不受質量的影響)從口袋里取出.若同時從袋內任意取出2個球,則它們的質量相等的概率是.

解析:設取出的2個球的號碼分別為m,n(m≠n),則有m2-5m+30=n2-5n+30,所以m+n=5.而從5個球中任意取2個球的樣本空間為Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},樣本點總數(shù)為10.符合題意的只有兩種,即2個球的號碼分別是1,4或2,3.所以所求概率P=210答案:116.小麗和小明一起用A,B兩枚質地均勻的小正方體(正方體的每個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6)玩游戲,記小麗擲出A正方體朝上的數(shù)字為x,小明擲出B正方體朝上的數(shù)字為y,那么他們各擲一次所確定的點P(x,y)落在拋物線y=-x2+4x上的概率為.

解析:小麗擲A正方體一次,小明擲B正方體一次,出現(xiàn)的結果(x,y)有36種可能,易得在拋物線y=-x2+4x上的點有(1,3),(2,4),(3,3),共3種.因此所求的概率為336答案:1四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)對一批U盤進行抽檢,結果如下表:抽取件數(shù)a50100200250400500次品件數(shù)b345589次品率b(1)計算表中各次品率;(2)從這批U盤中任取一個是次品的概率約是多少?解:(1)表中次品率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)由(1)計算得到的次品率知,當抽取件數(shù)a越來越大時,出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動,所以從這批U盤中任抽一個是次品的概率約是0.02.18.(12分)隨機地排列數(shù)字1,5,6得到一個三位數(shù),計算下列事件的概率:(1)所得的三位數(shù)大于400;(2)所得的三位數(shù)是偶數(shù).解:隨機排列數(shù)字1,5,6可得三位數(shù):156,165,516,561,615,651,共6個.設“所得的三位數(shù)大于400”為事件A,“所得的三位數(shù)是偶數(shù)”為事件B.由古典概型的概率公式可得(1)P(A)=46(2)P(B)=2619.(12分)已知關于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16=0,若a,b是一枚質地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次所得到的點數(shù),求方程有兩個不相等的正實數(shù)根的概率.解:樣本空間的樣本點共有36個,且a,b∈{1,2,3,4,5,6}.方程有兩個不相等的正實數(shù)根等價于a-2>0,16-b2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2>16.設“一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根”為事件A,則事件A所包含的樣本點為(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4個.故所求概率為P(A)=43620.(12分)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為56和45,且各株大樹是否成活互不影響,求移栽的4株大樹中,解:設Ak表示第k株甲種大樹成活,k=1,2,Bl表示第l株乙種大樹成活,l=1,2,則A1,A2,B1,B2相互獨立,且P(A1)=P(A2)=56,P(B1)=P(B2)=4至少有1株成活的概率P=1-1-21.(12分)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據(jù)(單位:人)如下表:參加演講社團情況參加書法社團情況參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率;(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解:(1)由調查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人,故至少參加上述一個社團的共有45-30=15(人),所以從該班隨機選1名同學,該同學至少參加上述一個社團的概率為P1=1545(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,樣本空間Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)},共15個樣本點.根據(jù)題意,這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的.事件“A1被選中且B1未被選中”所包含的樣本點有(A1,B2),(A1,B3),共2個.因此A1被選中且B1未被選中的概率為P2=21522.(12分)如圖,甲、乙是兩個可以自由轉動的轉盤,甲轉盤被等分成3個扇形,乙轉盤被等分成4個扇形,每一個扇形上都標有相應的數(shù)字.小明和小紅利用它們做游戲,游戲規(guī)則是:同時轉動兩個轉盤,當轉盤停止后,指針所指區(qū)域內的數(shù)字之和小于9,小明獲勝;指針所指區(qū)域內的數(shù)字之和等于9,為平局;指針所指區(qū)域內的數(shù)字之和大于9,小紅獲勝(如果指針恰好指在分割線上,那么再轉一