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文檔簡介

山西省孝義市(省際名校2024屆高考預(yù)測卷(全國I卷)數(shù)學試題試卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在直角坐標系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點P,使得|PA|=2|PB|,則正實數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.2.記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設(shè)函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間3.已知雙曲線的左、右焦點分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點.設(shè)為拋物線與雙曲線的一個交點,且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或4.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.325.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體6.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入的值為2,則輸出的值為A. B. C. D.7.復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C.2 D.8.設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,,.則這個數(shù)列的前7項和等于()A.12 B.21 C.24 D.369.已知函數(shù),則()A. B. C. D.10.已知,是雙曲線的兩個焦點,過點且垂直于軸的直線與相交于,兩點,若,則△的內(nèi)切圓的半徑為()A. B. C. D.11.若函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,則的面積為___________.14.設(shè)全集,集合,,則集合______.15.已知,,,則的最小值是__.16.三對父子去參加親子活動,坐在如圖所示的6個位置上,有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知圓,定點,為平面內(nèi)一動點,以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓,設(shè)動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程(2)過點的直線與交于兩點,已知點,直線分別與直線交于兩點,線段的中點是否在定直線上,若存在,求出該直線方程;若不是,說明理由.18.(12分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.19.(12分)在平面直角坐標系中,已知拋物線C:()的焦點F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點,交該拋物線的準線于D,E兩點.(1)求拋物線C的方程;(2)若F在線段上,P是的中點,證明:.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標方程;(2)把曲線向下平移個單位,然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€(縱坐標不變),設(shè)點是曲線上的一個動點,求它到直線的距離的最小值.21.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.22.(10分)若數(shù)列滿足:對于任意,均為數(shù)列中的項,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項和,,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”?說明理由;(2)若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,求的取值范圍;(3)若數(shù)列為“數(shù)列”,,且對于任意,均有,求數(shù)列的通項公式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

設(shè)點,由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實數(shù)m的取值范圍,即求正實數(shù)m的最小值.【題目詳解】由題意,設(shè)點.,即,整理得,則,解得或..故選:.【題目點撥】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點間距離公式,屬于中檔題.2、D【解題分析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當且時的導數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點值分別看作對應(yīng)常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【題目詳解】當且時,.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)?,由圖像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【題目點撥】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對應(yīng)自變量范圍,導數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題3、D【解題分析】

設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【題目詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點,則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【題目點撥】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.4、A【解題分析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.5、C【解題分析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【題目詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.【題目點撥】本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.6、C【解題分析】

由題意,模擬程序的運行,依次寫出每次循環(huán)得到的,的值,當時,不滿足條件,跳出循環(huán),輸出的值.【題目詳解】解:初始值,,程序運行過程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循環(huán),輸出的值為其中①②①—②得.故選:.【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到,的值是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算,化簡出,即可得出虛部.【題目詳解】解:=,故虛部為-2.故選:D.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念.8、B【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得,由等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果.【題目詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列,,所以,即,又,所以,,故故選:B【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,性質(zhì),等差數(shù)列的和,屬于中檔題.9、A【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式,先求得的值,再求得的值.【題目詳解】依題意,.故選:A【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

設(shè)左焦點的坐標,由AB的弦長可得a的值,進而可得雙曲線的方程,及左右焦點的坐標,進而求出三角形ABF2的面積,再由三角形被內(nèi)切圓的圓心分割3個三角形的面積之和可得內(nèi)切圓的半徑.【題目詳解】由雙曲線的方程可設(shè)左焦點,由題意可得,由,可得,所以雙曲線的方程為:所以,所以三角形ABF2的周長為設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,所以三角形的面積,所以,解得,故選:B【題目點撥】本題考查求雙曲線的方程和雙曲線的性質(zhì)及三角形的面積的求法,內(nèi)切圓的半徑與三角形長周長的一半之積等于三角形的面積可得半徑的應(yīng)用,屬于中檔題.11、B【解題分析】

求得的導函數(shù),由此構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知在上有變號零點.由此令,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法,求得的取值范圍.【題目詳解】,設(shè),要使在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù),即在上有變號零點,令,則,令,則問題即在上有零點,由于在上遞增,所以的取值范圍是.故選:B【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查方程零點問題的求解策略,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.12、A【解題分析】

由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【題目詳解】當時,,∵在上有且僅有5個零點,∴,∴.故選:A.【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】

由余弦定理先算出c,再利用面積公式計算即可.【題目詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【題目點撥】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學生的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

分別解得集合A與集合B的補集,再由集合交集的運算法則計算求得答案.【題目詳解】由題可知,集合A中集合B的補集,則故答案為:【題目點撥】本題考查集合的交集與補集運算,屬于基礎(chǔ)題.15、.【解題分析】

因為,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【題目詳解】由,得,所以,當且僅當,取等號.故答案為:【題目點撥】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.16、192【解題分析】

根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【題目點撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解題分析】

(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點為,取關(guān)于軸的對稱點,連接,計算得到,故軌跡為橢圓,計算得到答案.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),聯(lián)立方程得到,,計算,得到答案.【題目詳解】(1)設(shè)以為直徑的圓心為,切點為,則,取關(guān)于軸的對稱點,連接,故,所以點的軌跡是以為焦點,長軸為4的橢圓,其中,曲線方程為.(2)設(shè)直線的方程為,設(shè),直線的方程為,同理,所以,即,聯(lián)立,所以,代入得,所以點都在定直線上.【題目點撥】本題考查了軌跡方程,定直線問題,意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)證明見解析【解題分析】

(1)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或利用絕對值三角不等式進行求解;(2)利用基本不等式或柯西不等式證明即可.【題目詳解】解法一:(1)當時,,當,,當時,,所以解法二:(1)如圖當時,解法三:(1)當且僅當即時,等號成立.當時解法一:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,因為成立,所以原不等式成立.解法二:(2)因為,,,所以,,又因為,所以,所以,原不等式得證.補充:解法三:(2)由題意可知,,因為,,,所以要證明不等式,只需證明,由柯西不等式得:成立,所以原不等式成立.【題目點撥】本題主要考查了絕對值函數(shù)的最值求解,不等式的證明,絕對值三角不等式,基本不等式及柯西不等式的應(yīng)用,考查了學生的邏輯推理和運算求解能力.19、(1);(2)見解析【解題分析】

(1)根據(jù)拋物線的焦點在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,,,可得,,,的坐標,進而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,,即可得證;法二:設(shè),,則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達定理,分別求出,,化簡,即可得證.【題目詳解】(1)拋物線C的焦點坐標為,且該點在直線上,所以,解得,故所求拋物線C的方程為(2)法一:由點F在線段上,可設(shè)直線,的方程分別為和且,,,則,,,.∴直線的方程為,即.又點在線段上,∴.∵P是的中點,∴∴,.由于,不重合,所以法二:設(shè),,則當直線的斜率為0時,不符合題意,故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程,得又,為該方程兩根,所以,,,.,由于,不重合,所以【題目點撥】本題考查拋物線的標準方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解題分析】

(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得,進而可化簡得出曲線的直角坐標方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點的坐標為,利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【題目詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標方程為,向下平移個單位得到,縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點到直線的距離為,當時,最小為.【題目點撥】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點到直線的距離最值的求解,考查計算能力,屬于中等題.21、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解題分析】

(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【題目詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30E(X),即30

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