浙江省杭州市八區(qū)縣2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

杭州市八區(qū)縣2022學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷的相應(yīng)位置填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)．3．所有答案都必須做在答題卷規(guī)定的位置上，務(wù)必注意試題序號(hào)和答題序號(hào)相對(duì)應(yīng)．4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷．一、選擇題：本題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：因?yàn)榧希?，所以，故選：B2.已知復(fù)數(shù)，則以下判斷正確的是（）A.復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)的模為C.復(fù)數(shù)的虛部為 D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算即可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式和虛部定義即可判斷結(jié)果.【詳解】由可得；即復(fù)數(shù)的虛部為1，所以CD錯(cuò)誤；則復(fù)數(shù)的模為，即A錯(cuò)誤，B正確；故選：B3.在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出輔助線，找到異面直線AE，F(xiàn)G所成角，設(shè)出正四面體的邊長(zhǎng)，表達(dá)出其他邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出答案.【詳解】連接DE，因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別為棱CD，AC的中點(diǎn)，所以FGAD，所以或其補(bǔ)角為異面直線AE，F(xiàn)G所成角，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則，，由余弦定理得：，所以異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為.故選：C4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得平移后的解析式為，利用整體代換即可求得對(duì)稱(chēng)軸方程.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得；令，即其對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)時(shí)，.ACD均不符合要求.故選：B5.年1月30日世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒疫情列為國(guó)際關(guān)注的突發(fā)公共衛(wèi)生事件，這是21世紀(jì)以來(lái)首次由一種冠狀病毒導(dǎo)致的大流行．基本再生數(shù)與代間隔是流行病學(xué)基本參數(shù)，其中基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)隨時(shí)間（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與，近似滿(mǎn)足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出，．據(jù)此計(jì)算在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)翻兩番需要的時(shí)間約為（備注：）（）A.1.8天 B.2.9天 C.3.6天 D.4.5天【答案】C【解析】【分析】先由數(shù)據(jù)求出，故，設(shè)病例數(shù)翻兩番需要的時(shí)間約為，列出方程，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：，故，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)翻兩番需要的時(shí)間約為，則，即，所以，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得：（天），故選：C6.圓和圓的交點(diǎn)為，則有（）A.公共弦所在直線方程為 B.公共弦的長(zhǎng)為C.線段中垂線方程為 D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，聯(lián)立兩圓方程即可得公共弦所在直線方程；對(duì)于B，由弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可；對(duì)于C，由題意可知線段中垂線為直線，求出直線的方程即可判斷；對(duì)于D，求出坐標(biāo)，計(jì)算出的值，即可判斷.【詳解】解：對(duì)于A，聯(lián)立兩圓方程得，可得，即公共弦所在直線方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)到直線：的距離為，則有，則弦長(zhǎng)公式得：，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知線段中垂線為直線，又因?yàn)?，，所以直線的方程為，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，解得或，取，所以所以，所以，故正確.故選：D.7.已知拋物線C1：與橢圓C2：共焦點(diǎn)，C1與C2在第一象限內(nèi)交于P點(diǎn)，橢圓左右焦點(diǎn)分別為，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到，然后將點(diǎn)代入拋物線方程得到，根據(jù)共焦點(diǎn)得到，最后聯(lián)立求離心率即可.【詳解】結(jié)合拋物線及橢圓的定義可得在拋物線上，故，且，∴故選：B.8.已知，，，若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可以?。ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用反證法證明出：若對(duì)任意的，，則，從而可知方程無(wú)實(shí)解，可得出，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】首先證明：若對(duì)任意的，，則.利用反證法，假設(shè)存在，使得，即，則，猜想，對(duì)任意的且，，假設(shè)當(dāng)成立，即，則當(dāng)時(shí)，，這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，猜想也成立，所以，若，則對(duì)任意的且，，這與題設(shè)條件不符，假設(shè)不成立，故對(duì)任意的，，即，即方程無(wú)實(shí)解，則，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于證明出：若對(duì)任意的，，則.從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程無(wú)實(shí)解，轉(zhuǎn)化為求解.二、選擇題：本題4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.若方程表示的曲線為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則曲線為橢圓 B.若曲線為雙曲線，則或C.曲線不可能是圓 D.若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)的取值，結(jié)合圓與圓錐曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，此時(shí)曲線為圓，故A錯(cuò)，對(duì)于B,若曲線為雙曲線，則，即或，故B對(duì)，對(duì)于C,若曲線為圓，則即，故曲線可能是圓，故C錯(cuò)，對(duì)于D,曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則，解得，故D對(duì).故選：BD.10.已知甲罐中有四個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4；乙罐中有三個(gè)相同的小球，標(biāo)號(hào)為1，2，3．從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，記事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5”，事件“抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6”，則（）A.事件發(fā)生的概率為 B.事件發(fā)生的概率為C.事件是互斥事件 D.事件相互獨(dú)立【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，列舉出兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5的情況，從而得到；B選項(xiàng)，列舉出抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6的情況，從而得到中共有情況數(shù)，得到；C選項(xiàng)，計(jì)算出，得到C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，從甲罐、乙罐中分別隨機(jī)抽取1個(gè)小球，共有種情況，其中抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于5的情況有：，共3種情況，故，A正確；B選項(xiàng)，抽取的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之積小于6的情況為：，共7種情況，故中共有種情況，故，B正確；C選項(xiàng)，由于事件中無(wú)相同情況，故，所以件是互斥事件，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，事件不互相?dú)立，D錯(cuò)誤.故選：ABC11.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用余弦定理可判斷出選項(xiàng)AB，再根據(jù)兩角和與差的正弦、余弦公式以及平方關(guān)系化簡(jiǎn)可得C正確，D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)余弦定理可得；即，所以B正確，A錯(cuò)誤；根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得：即C正確；對(duì)于D：，所以D錯(cuò)誤.故選：BC12.對(duì)于定義在上的函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.在上單調(diào)遞減【答案】AB【解析】【分析】由題有：，.即圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).A選項(xiàng)，令可得，可得；B選項(xiàng)，令即可判斷選項(xiàng)；C選項(xiàng)，令結(jié)合單調(diào)性可判斷選項(xiàng)；D選項(xiàng)，由圖像的對(duì)稱(chēng)性可判斷在上的單調(diào)性.【詳解】令，由是奇函數(shù)，則，即，圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng).令，由是偶函數(shù)，則，即，圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)A選項(xiàng)，令，可得，又令，可得.故A正確；B選項(xiàng)，令，可得，故B正確；C選項(xiàng)，令，可得，又因在上單調(diào)遞減，由圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故.故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由在上單調(diào)遞減，結(jié)合圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則在上單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題涉及抽象函數(shù)的奇偶性的相關(guān)結(jié)論.為定義在R上函數(shù)，若為奇函數(shù)，則，圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)；若為偶函數(shù)，則，圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng).三、填空題：本題4小題，每小題5分，共20分．13.寫(xiě)出使不等式恒成立的一個(gè)實(shí)數(shù)的值__________．【答案】不少于的任意一個(gè)實(shí)數(shù)【解析】【分析】對(duì)不等式全分離,即恒成立,只需,對(duì)二次函數(shù)配方即可求得最大值,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)楹愠闪?所以,即只需,因?yàn)?所以,故只需即可.故答案為:不少于的任意一個(gè)實(shí)數(shù)14.已知，為單位向量．若，則在上的投影向量的模為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)模與向量的關(guān)系求出的值，再根據(jù)在上的投影向量的模的公式求出答案即可.【詳解】由題可知：即，則在上的投影向量的模為故答案為:15.已知三點(diǎn)都在體積為的球的表面上，若，，則球心到平面的距離為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由球的體積公式計(jì)算出球的半徑，由正弦定理求出的外接圓半徑，從而得到球心到平面的距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：，設(shè)的外接圓半徑為，在中，由正弦定理得：，故，則球心到平面距離為.故答案為：16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線交兩條漸近線于點(diǎn)，，且．若點(diǎn)在軸上的射影為，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用三角形面積公式和比例性質(zhì)，由求解即可.【詳解】如圖所示：則，雙曲線的漸近線為，，，不妨設(shè)，，，則，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用比例的性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系求得，從而求得，由此結(jié)合求解即可.四、解答題：本題包括6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，時(shí)，有．（1）證明：在上是增函數(shù)；（2）解不等式；（3）若存在實(shí)數(shù)使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）結(jié)合條件，利用單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性.（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，建立不等式組，求得解集.（3）雙變量問(wèn)題，求出的最小值小于等于，解不等式即可.【小問(wèn)1詳解】對(duì)任意的，由題意得：當(dāng),時(shí)，，則，故在上是增函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，則則不等式的解集為【小問(wèn)3詳解】存在實(shí)數(shù)，使得，等價(jià)于，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或18.已知函數(shù)（1）求的值；（2）若，且，再?gòu)南旅姊佗冖壑羞x取一個(gè)作為條件，求的值．①函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為；②函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)；③兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后直接求值可得；(2)根據(jù)所選條件，利用相應(yīng)性質(zhì)可求得，然后由，結(jié)合和差公式可得.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】選①：，則，因?yàn)?，則選②：，因?yàn)?，則故，選③：，故，則因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，?9.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿(mǎn)完成.為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)成就，發(fā)揚(yáng)并傳承中國(guó)航天精神，某校抽取2000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并紀(jì)錄得分（滿(mǎn)分：100分），根據(jù)得分將數(shù)據(jù)分成7組：，繪制出如下的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求競(jìng)賽學(xué)生得分的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）先從得分在的學(xué)生中利用分層抽樣選出6名學(xué)生，再?gòu)倪@6名學(xué)生中選出2人參加有關(guān)航天知識(shí)演講活動(dòng)，求選出的2人競(jìng)賽得分都不低于70分的概率.【答案】（1）眾數(shù)為75分；中位數(shù)為72.5分（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖運(yùn)算求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣求每組抽取的人數(shù)，利用列舉法解決古典概型的概率問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知：的頻率最大，則眾數(shù)為75分；∵的頻率分別為，設(shè)中位數(shù)為x，則，由題意可得：，解得，故中位數(shù)為72.5分.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槿藬?shù)之比為1：2，所以應(yīng)抽取2人，設(shè)為A，B，應(yīng)抽取4人，設(shè)為C，D，E，F(xiàn)，這6人中再任選2人，共15種不同選法，如下：AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，其中選出的2人競(jìng)賽得分都不低于70分的概率包含6種，故選出的2人競(jìng)賽得分都不低于70分的概率.20.四棱錐中，底面為菱形，底面，．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得為正三角形，求出，利用等體積法即可求解；(2)取中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，底面為菱形，則為正三角形，，則，，因?yàn)槠矫?，所以，得，則故點(diǎn)到平面的距離為【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，則，因?yàn)榈酌?，底面，所以，所以?xún)蓛苫ハ啻怪保瑒t分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.平面，則平面的法向量為,，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則．設(shè)二面角的平面角為，則由空間向量的夾角公式可得：.故二面角的余弦值為.21.某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過(guò)對(duì)某商店一種商品銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的日銷(xiāo)售價(jià)（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足（為正實(shí)數(shù)）．該商品的日銷(xiāo)售量（個(gè)）與時(shí)間（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：第天10202530個(gè)110120125120已知第10天該商品的日銷(xiāo)售收入為121元.（1）求的值；（2）給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來(lái)描述該商品的日銷(xiāo)售量與時(shí)間的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（3）在（2）的情況下，求該商品的日銷(xiāo)售收入（元）的最小值．【答案】（1）（2）選②，，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)第10天該商品的日銷(xiāo)售收入為121元列出方程，求出；（2）當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷(xiāo)售量有增有減并不單調(diào)，故選