四川宜賓市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題

四川宜賓市2024屆高三教學(xué)情況調(diào)研數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．2．正方體，是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．63．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．4．函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則可能是（）A．B．C．D．5．已知雙曲線，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．6．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為()A．7 B．15 C．31 D．638．定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”，對(duì)任意，滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．9．如圖，在正方體中，已知、、分別是線段上的點(diǎn)，且.則下列直線與平面平行的是（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．11．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為（）A． B． C． D．12．如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．6 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．14．若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為240，則實(shí)數(shù)的值為________.15．展開式中的系數(shù)為_________.16．如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱靠近的三等分點(diǎn)，且三棱錐的體積為2，則四棱柱的體積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.18．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知矩陣，求矩陣的特征值及其相應(yīng)的特征向量．20．（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為，只要誤差的絕對(duì)值不超過就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：（1）估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望；（2）如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.21．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明.22．（10分）如圖，三棱錐中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，且平面平面．求證：平面；若，，求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【題目詳解】由可得，因?yàn)?，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2、B【解題分析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【題目詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.3、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以不單調(diào)，故排除C；故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，可得，解得即可．【題目詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點(diǎn)，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，且，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】試題分析：由程序框圖可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后輸出，此時(shí)，則的最大值為15，故選B.考點(diǎn)：程序框圖.8、B【解題分析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項(xiàng).【題目詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.9、B【解題分析】

連接，使交于點(diǎn)，連接、，可證四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即可得解．【題目詳解】如圖，連接，使交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，且，、分別為、的中點(diǎn)，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，因此，平面.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線面平行的判定，考查了推理論證能力和空間想象能力，屬于中檔題．10、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【題目詳解】由，得，所以．故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則，考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【題目詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．12、A【解題分析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1，下底為2，高為2，四棱錐的高為2，所以該四棱錐的體積為.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、130.15.【解題分析】

由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.【題目詳解】(1),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).14、－3【解題分析】

依題意可得二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為即可得到方程，解得即可；【題目詳解】解：∵二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，∴解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

變換，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【題目詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、12【解題分析】

由題意，設(shè)底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，分別表示出直四棱柱的體積和三棱錐的體積，即可求解。【題目詳解】由題意，設(shè)底面平行四邊形的，且邊上的高為，直四棱柱的高為，則直四棱柱的體積為，又由三棱錐的體積為，解得，即直四棱柱的體積為?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了棱柱與棱錐的體積的計(jì)算問題，其中解答中正確認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，合理、恰當(dāng)?shù)乇硎局彼睦庵忮F的體積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及空間想象能力，屬于中檔試題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進(jìn)而求得的值，從而求得角.【題目詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解題分析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2），則，.①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；由，得，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù).則，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，.不妨設(shè)，其中，令，則或.（i）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)為增函數(shù).此時(shí)，而，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即當(dāng)時(shí)，，所以，.，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵，屬于難題.19、矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為【解題分析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特征向量.【題目詳解】由題意，矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，將代入二元一次方程組，解得，所以矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為；同理，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為v【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)題意即可寫出該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列，再根據(jù)期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，即可求出隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，都不是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，由對(duì)立事件的概率公式即可得到隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率，判斷其是否符合生產(chǎn)要求；當(dāng)不符合要求時(shí)，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，可根據(jù)上述方法求出，解，即可得出最小值.【題目詳解】（1）由柱狀圖，該批次產(chǎn)品長度誤差的絕對(duì)值的頻率分布列為下表：00.010.020.030.04頻率0.40.30.20.0750.025所以的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)為.（2）由（1）可知任取一件產(chǎn)品是標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為0.4，設(shè)至少有1件是標(biāo)準(zhǔn)長度產(chǎn)品為事件，則，故不符合概率不小于0.8的要求.設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率為，由題意，