人教課標(biāo)實驗A版選修4-4第一講 坐標(biāo)系一 平面直角坐標(biāo)系“十市聯(lián)賽”一等獎

平面直角坐標(biāo)系思考:聲響定位問題

某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到一聲巨響，正東觀測點聽到巨響的時間比其他兩個觀測點晚4s，已知各觀測點到中心的距離都是1020m，試確定該巨響的位置．（假定當(dāng)時聲音傳播的速度為340m/s，各相關(guān)點均在同一平面上）

(2004年廣東高考題)yxBACPo以接報中心為原點O，以BA方向為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測點，

設(shè)P（x,y）為巨響為生點，由B、C同時聽到巨響聲，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因A點比B點晚4s聽到爆炸聲，yxBACPo則A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)故|PA|－|PB|=340×4=1360由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，答：巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心處.用y=－x代入上式，得，∵|PA|>|PB|,解決此類應(yīng)用題的關(guān)鍵：1．建立平面直角坐標(biāo)系2．設(shè)點（點與坐標(biāo)的對應(yīng)）3．列式（方程與坐標(biāo)的對應(yīng)）4．化簡5．說明坐標(biāo)法例1．已知△ABC的三邊a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,CF上的中線，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系探究BE與CF的位置關(guān)系．(A)FBCEOyx以△ABC的頂點A為原點O，邊AB所在的直線x軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知，點A、B、F的坐標(biāo)分別為解：A(0,0),B(c,0),F(,0).因此，BE與CF互相垂直.

具體解答過程見書本P4

你能建立不同的直角坐標(biāo)系解決這個問題嗎？比較不同的直角坐標(biāo)系下解決問題的過程，建立直角坐標(biāo)系應(yīng)注意什么問題？建系時，根據(jù)幾何特點選擇適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系．（1）如果圖形有對稱中心，可以選對稱中心為坐標(biāo)原點；（2）如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸；（3）使圖形上的特殊點盡可能多的在坐標(biāo)軸上．二、平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?xO

2y=sinxy=sin2x在正弦曲線y=sinx上任取一點P(x,y)，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來的，就得到正弦曲線y=sin2x.

上述的變換實質(zhì)上就是一個坐標(biāo)的壓縮變換，即：設(shè)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中任意一點，保持縱坐標(biāo)不變，將橫坐標(biāo)x縮為原來，得到點P’(x’,y’).坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為：x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個壓縮變換．1坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為：（2）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sinx?寫出其坐標(biāo)變換．設(shè)點P（x,y）經(jīng)變換得到點為P’(x’,y’)x’=xy’=3y2通常把叫做平面直角坐標(biāo)系中的一個坐標(biāo)伸長變換．2

在正弦曲線上任取一點P（x,y），保持橫坐標(biāo)x不變，將縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，就得到曲線y=3sinx．（3）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=3sin2x?寫出其坐標(biāo)變換．注（1）（2）把圖形看成點的運動軌跡，平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換得到；（3）在伸縮變換下，平面直角坐標(biāo)系不變，在同一直角坐標(biāo)系下進(jìn)行伸縮變換．2．在同一直角坐標(biāo)系下，求滿足下列圖形的伸縮變換：曲線4x2+9y2=36變?yōu)榍€x’2+y’2=13．在同一直角坐標(biāo)系下，經(jīng)過伸縮變換后，曲線C變?yōu)閤’2－9y’2=1，求曲線C的方程并畫出圖形．x’=3xy’=y