統(tǒng)計學基礎(chǔ)知識

統(tǒng)計學基礎(chǔ)知識統(tǒng)計學研究對象：收集數(shù)據(jù)；分析數(shù)據(jù)

我該什么時間上網(wǎng)？收集數(shù)據(jù)時間上網(wǎng)比例時間上網(wǎng)比例時間上網(wǎng)比例0點14.50%8點11.80%16點31.20%1點5.60%9點22.50%17點27.70%2點4.20%10點24.60%18點22.10%3點2.60%11點22.60%19點31.30%4點2.50%12點22.60%20點44.00%5點1.60%13點24.30%21點43.90%6點1.70%14點28.60%22點35.00%7點2.70%15點31.40%23點22.20%互聯(lián)網(wǎng)的用戶人數(shù)及分布、信息流量分布、域名注冊等信息以及用戶每月實際花費的上網(wǎng)費用、用戶平均每周上網(wǎng)時間、用戶通常在什么時間上網(wǎng)等資料都可以從電訊局或網(wǎng)絡公司的業(yè)務記錄中獲得。整理數(shù)據(jù)用戶通常上網(wǎng)時間

展示數(shù)據(jù)?；ヂ?lián)網(wǎng)上各時間段的使用比例

分析數(shù)據(jù)：晚上的八九點鐘是上網(wǎng)的高潮，而清晨五六點鐘則上網(wǎng)的人最少。

作出決策：為高效率改變一下習慣，早點起就可享受到在網(wǎng)上飛馳的感覺

統(tǒng)計學應用領(lǐng)域：

統(tǒng)計學為有史以來最大的公共健康試驗——1954年脊髓灰質(zhì)炎疫苗試驗提供了有效的試驗設計，為人類首次攻克脊髓灰質(zhì)炎作出貢獻。

天氣預報就是應用大氣變化的規(guī)律，根據(jù)當前及近期的天氣形勢，對未來一定時期內(nèi)的天氣狀況進行預測，這種預測不過是未來天氣狀況的概率分布。1981年，首屆國際《紅樓夢》研討會在美國召開，威斯康星大學講師陳炳藻獨樹一幟，宣讀了題為《從詞匯上的統(tǒng)計論〈紅樓夢〉作者的問題》的論文。他從字、詞出現(xiàn)頻率入手，通過計算機進行統(tǒng)計、處理、分析，對《紅樓夢》后40回系高鶚所作這一流行看法提出異議，認為120回均系曹雪芹所作。(語言統(tǒng)計學)

大仲馬有很多私生子，往往成為別人取笑譏諷的對象，最使他頭痛的是巴黎統(tǒng)計學會的秘書長李昂納，每次舉統(tǒng)計數(shù)字的例子，總是說大仲馬的情婦和私生子有多少。有一年該統(tǒng)計學會開年會，大仲馬估計，李昂納又要大放厥詞，說他的壞話了。于是他請求參加年會，獲得了批準，果然不出大仲馬所料，李昂納又舉他的情婦和私生子的例子。李昂納報告完畢，請大仲馬致詞。一向不愿在大庭廣眾之下發(fā)表演講的大仲馬，這次卻破例登臺說：“所有統(tǒng)計數(shù)字都是撒謊的，包括有關(guān)本人的數(shù)字在內(nèi)?！甭牨姾逄么笮?。

統(tǒng)計學家調(diào)侃數(shù)學家：你們不是說若Ｘ＝Ｙ且Ｙ＝Ｚ，則Ｘ＝Ｚ嗎！那么想必你若喜歡一個女孩，那么這個女孩喜歡的男生你也喜歡吧？數(shù)學家的幽默

數(shù)學家反問道：那么你把左手放到一鍋100℃的開水中，右手放到一鍋0℃的冰水里想來也沒事吧！因為它們平均不過是50℃而已！”

統(tǒng)計學的內(nèi)容

從統(tǒng)計方法的構(gòu)成來分，統(tǒng)計學可以分為描述統(tǒng)計學和推斷統(tǒng)計學

1.描述統(tǒng)計學（DescriptiveStatistics）

描述統(tǒng)計學研究如何取得反映客觀現(xiàn)象的數(shù)據(jù)，并通過圖表形式對所收集的數(shù)據(jù)進行加工處理和顯示，進而通過綜合、概括與分析得出反映客觀現(xiàn)象的規(guī)律性數(shù)量特征。內(nèi)容包括統(tǒng)計數(shù)據(jù)的收集方法、數(shù)據(jù)的加工處理方法、數(shù)據(jù)的顯示方法、數(shù)據(jù)分布特征的概括與分析方法等。2.推斷統(tǒng)計學（InferentialStatistics）

推斷統(tǒng)計學是研究如何根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去推斷總體數(shù)量特征的方法，它是在對樣本數(shù)據(jù)進行描述的基礎(chǔ)上，對統(tǒng)計總體的未知數(shù)量特征作出以概率形式表述的推斷。第一節(jié)：統(tǒng)計學基本概念一、總體和樣本總體：同質(zhì)事物的全體，通計學上的總體指的是包含所有個體某種性狀觀測值的集合?？傮w容量（N）：總體所包含個體數(shù)目的多少。無限總體：總體所包含的個體數(shù)目有無窮多個有限總體：由有限個個體構(gòu)成的總體樣本總體中抽取的若干個個體組成的集合。樣本容量（n）:樣本所包含個體數(shù)目的多少大樣本：n>30小樣本：n<30二、參數(shù)和統(tǒng)計數(shù)參數(shù):有總體中的觀測值計算得到的特征數(shù)，它反映的是總體的特征和規(guī)律。比如總體平均數(shù)、總體方差、總體標準差等統(tǒng)計數(shù):有樣本中的觀測值計算得到的特征數(shù)，它反映的是樣本的特征和規(guī)律。比如;樣本平均數(shù)、樣本方差、樣本標準差等三、數(shù)據(jù)和變量數(shù)據(jù)：組成總體或樣本的觀測值變量：相同性質(zhì)的事物間表現(xiàn)出差異性和差異特征的數(shù)據(jù)，它們在一定范圍內(nèi)波動。變量：隨機性變量：由于偶然因素引起數(shù)據(jù)產(chǎn)生波動性。非隨機性變量：由于非偶然因素引起數(shù)據(jù)產(chǎn)生變化。變量：連續(xù)性變量：在一定范圍內(nèi)可以抽取所有可能取值的變量離散性變量：只能取固定數(shù)值的變量。四、誤差和錯誤誤差：觀測值與真實值之間的差。誤差偶然誤差：無法控制的偶然因素所引起的誤差。無法預知，不可避免，只能減小，不能完全消除。系統(tǒng)誤差：有某些固定因素引起的誤差，大小、符號、方向基本相同。校正后可以完全消除。錯誤：人為因素所引起的差錯。四、準確性和精確性準確性：統(tǒng)計數(shù)與參數(shù)之間的相符性。精確性：樣本內(nèi)各觀測值之間的接近程度。準確性與精確性之間有何關(guān)系？第二節(jié)統(tǒng)計特征數(shù)的計算一、集中性的度量（一）算術(shù)平均數(shù)：總體或樣本中各個觀察值的總和除以觀察值個數(shù)所得的商數(shù)。加權(quán)平均數(shù)

某農(nóng)場有5塊小麥地，其面積分別是10、20、40、15、15畝，其產(chǎn)量分別是300、250、200、150、300公斤/畝，整個農(nóng)場的平均產(chǎn)量是多少公斤/畝算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平均數(shù)的作用：1、指出了總體或樣本中觀測值的中心位置。2、可以作為總體或樣本的代表與其它的總體或樣本作比較。（二）中數(shù)：將資料內(nèi)所有觀察值從大到小排序，居中間位置的觀察值稱為中數(shù)(median)，計作Md。如觀察值個數(shù)為偶數(shù)，則以中間二個觀察值的算術(shù)平均數(shù)為中數(shù)。（三）眾數(shù)資料中最常見的一數(shù)，或次數(shù)最多一組的中點值，稱為眾數(shù)(mode)，計作MO。如棉花纖維檢驗時所用的主體長度即為眾數(shù)。（四）幾何平均數(shù)如有n個觀察值，其相乘積開n次方，即為幾何平均數(shù)(geometricmean)，用G代表。（五）調(diào)和平均數(shù)如有n個觀察值，觀測值倒數(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。例：土壤水分在毛細管中的上升速率，從土壤表面下30cm量起，第一個10cm、第二個10cm、第三個10cm土壤毛管水的上升速率分別為：8cm/min、6cm/min、4cm/min,求毛管水的平均上升速率。驗證：二、變異性的度量X18.99.49.69.79.910.410.911.011.2X22.93.13.85.19.910.017.018.021.2這兩個樣本具有相同的算術(shù)平均數(shù)：10.11；相同的中數(shù)：9.9，都沒有眾數(shù)。（一）極差(range)：又稱全距，記作R，是資料中最大觀察值與最小觀察值的差數(shù)。

極差在一定程度上反映了數(shù)據(jù)的變異程度，但它只受兩個極端值的影響，并不能反映其它觀測值的變異程度，所以用極差來反映數(shù)據(jù)的變異程度是粗糙的，有缺陷的。（二）方差：平均離均差平方和。某一個觀測值的變異程度所有觀測值總的變異程度平均下來每一個觀測值變異程度。自由度(df):是指樣本內(nèi)獨立而能自由變動的觀測值個數(shù)。

例如一個有5個觀察值的樣本，因為受統(tǒng)計數(shù)的約束，在5個離均差中，只有4個數(shù)值可以在一定范圍之內(nèi)自由變動取值，而第五個離均差必須滿足。如一樣本為(3，4，5，6，7），平均數(shù)為5，前４個離差為－2,－1，0和1，則第5個離均差為前4個離均差之和的變號數(shù)，即－(－2)=2。一般地，樣本自由度等于觀察值的個數(shù)(n)減去約束條件的個數(shù)(k)。。sample1X18.99.49.69.79.910.410.911.011.2sample2X22.93.13.85.19.910.017.018.021.2（三）標準差（四）變異系數(shù)例：比較甲乙兩個生產(chǎn)單位的小麥產(chǎn)量的均衡性。甲：400430370kg/畝乙：175200225kg/畝MicrosoftExcel

對統(tǒng)計特征數(shù)的計算集中性度量的計算算術(shù)平均數(shù)：AVERAGE中數(shù)：MEDIAN眾數(shù)：MODE幾何平均數(shù)：GEOMEAN調(diào)和平均數(shù)：HARMAN變異性度量的計算極差：MAX(最大值)-MIN（最小值）方差(樣本)：VAR方差(總體)：VARP標準差(樣本)：STDEV標準差(總體)：STDEVP和：SUM離均差平方和：DEVSQ第三節(jié)次數(shù)分布

觀測值如果不加整理，很難看出其中的規(guī)律，如果吧觀測值按大小或數(shù)據(jù)類別進行分組，制成觀測值的次數(shù)分布表或次數(shù)分布圖，能初步明確觀測值所蘊含的內(nèi)部規(guī)律。一、離散型變量的次數(shù)分布例.現(xiàn)以某小麥品種的每穗小穗數(shù)為例，隨機采取100個麥穗，計數(shù)每穗小穗數(shù)，未加整理的資料列成表。18151719161520181917171817161820191716181716171918181717171818151618181817201918171915171717161718181719191719171816181717191616171717151716181918181919201716191817182019161819171615161817181717161917100個麥穗的每穗小穗數(shù)

每穗小穗數(shù)在15—20的范圍內(nèi)變動，把所有觀察值按每穗小穗數(shù)多少加以歸類，共分為6組，組與組間相差為1小穗，稱為組距。

每穗小穗數(shù)(

y

)次數(shù)(f)1561615173218251917205總次數(shù)(

n

)100100個麥穗每穗小穗數(shù)的次數(shù)分布表

如每穗小穗數(shù)主要分布在17~18個，以17個為最多200個稻穗每穗粒數(shù)的次數(shù)分布表每穗粒數(shù)(

y

)次數(shù)(即穗數(shù)f)26—30131—35336—401041—452146—503251—554156—603861—652566—701671—75876—80381—852合計200每穗粒數(shù)的變異幅度為27—83粒。這樣的資料如以每一觀察值為一組，則組數(shù)太多，資料的規(guī)律性就顯示不出來。如每組包含若干粒數(shù)的幅度，例如以5粒為一組，則可使組數(shù)適當減少。經(jīng)初步整理后分為12組(這里要求組距相等)，資料的規(guī)律性就較明顯，

二、連續(xù)性變量的次數(shù)分布100行水稻試驗的產(chǎn)量為例，說明整理方法。17721519797123159245119119131149152167104161214125175219118192176175951361991161652149515883137801381511871261961342061379897129143179174159165136108101141148168163176102194145173751301491501611551111581311899114214015415216312320514915513120918397119181149187131215111186118150155197116254239160172179151198124179135184168169173181188211197175122151171166175143190213192231163159158159177147194227141169124159140行水稻產(chǎn)量(單位：克)

1.數(shù)據(jù)排序(sort)首先對數(shù)據(jù)按從小到大排列(升序)或從大到小排列(降序)

2.求極差(range)所有數(shù)據(jù)中的最大觀察值和最小觀察值的差數(shù)，稱為極差，亦即整個樣本的變異幅度。從表查到最大觀察值為254g，最小觀察值為75g，極差為254-75=179g。3.確定組數(shù)和組距(classinterval)

根據(jù)極差分將資料為若干組，每組的距離相等，稱為組距。組數(shù)和組距是相互決定的，組距小則組數(shù)多；組距大，則組數(shù)少。

(1)觀察值個數(shù)的多少；(2)極差的大小；(3)便于計算；(4)能反映出資料的真實面貌等方面。觀察值數(shù)目分組時的組數(shù) 50 5—10 100 8—16 200 10—20 300 12—24 500 15—30 1000 20—40 樣本容量與組數(shù)多少的關(guān)系在確定組數(shù)和組距時應考慮：140行水稻產(chǎn)量為例，樣本內(nèi)觀察值的個數(shù)為140，查表可分為8—16組，假定分為12組，則組距為179/12=14.9g，為分組方便起見，可以15g作為組距。4.確定組限和組中值

組限的精度應該比觀測值高一位：避免觀測值正好落在組限上而無法歸組。

第一組的下限應該比最小的觀測值要小，最好是最小觀測值接近或等于第一組的組中值：避免第一組中觀測值較多。

每一組都有上限和下限，前一組的上限是后一組的下限，每一組的上限=下限+組距，每一組的組中值=（下限+上限）/2。確定組限組限的小數(shù)點最后一位最好是5分位或10分位數(shù)值：便于計算第一組：最小觀測值是75，可以把它當做第一組的組中值。第一組的組限：67.5~82.5第二組的組限：82.5~97.5第三組的組限：97.5~112.5組別組限第1組67.5—82.5第2組82.5—97.5第3組97.5—112.5第4組112.5—127.5第5組127.5—142.5第6組142.5—157.5第7組157.5—172.5第8組172.5—187.5第9組187.5—202.5第10組202.5—217.5第11組217.5—232.5第12組232.5—247.5第13組247.5—262.5確定組中值組別組限組中值第1組67.5—82.575第2組82.5—97.590第3組97.5—112.5105第4組112.5—127.5120第5組127.5—142.5135第6組142.5—157.5150第7組157.5—172.5165第8組172.5—187.5180第9組187.5—202.5195第10組202.5—217.5210第11組217.5—232.5225第12組232.5—247.5240第13組247.5—262.52555、統(tǒng)計觀測值落入每個區(qū)間的次數(shù)，制作次數(shù)分布表組別組限組中值次數(shù)（f）第1組67.5—82.5752第2組82.5—97.5907第3組97.5—112.51057第4組112.5—127.512013第5組127.5—142.513517第6組142.5—157.515020第7組157.5—172.516525第8組172.5—187.518021第9組187.5—202.519513第10組202.5—217.52109第11組217.5—232.52253第12組232.5—247.52402第13組247.5—262.52551n140140行水稻產(chǎn)量的次數(shù)分布表6、制作次數(shù)分布圖第四節(jié)無偏估計

從容量N=3的總體，P={3，4，5}，進行獨立有放回的隨機抽樣，抽取所有容量n=2的樣本。抽樣結(jié)果樣本平均數(shù)的平均數(shù)樣本方差S2的平均數(shù)樣本方差S2的平均數(shù)

從總體中隨機抽取一定容量的所有可能樣本，如果所有可能樣本的某一樣本統(tǒng)計數(shù)的平均值就（數(shù)學期望）等于總體的相應參數(shù)，稱該統(tǒng)計數(shù)為相應參數(shù)的無偏估計值。無偏估計第五節(jié)概率和概率分布一、概率（一）事件必然事件：U不可能事件：V隨機事件：A,B,C…簡單事件復合事件事件的運算

事件的包含：事件A的發(fā)生必然導致事件B的發(fā)生，稱事件A包含于B，計作AB

事件的和：事件A和事件B至少有一個發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為A和B得和計作

事件的積：事件A和事件B同時發(fā)生而構(gòu)成的新事件稱為A和B得積計作互斥事件：對立事件：獨立事件：事件A的發(fā)生不受事件B的影響，反之亦然，稱事件A和事件B是獨立的。（二）頻率

事件A在n次試驗中出現(xiàn)了m次，m/n稱為事件A發(fā)生的頻率，計作（三）概率概率的統(tǒng)計學定義：某事件A在n次獨立重復試驗中出現(xiàn)m次，當試驗次數(shù)n不斷增大，事件A發(fā)生的頻率就越來越接近某一固定數(shù)值p，那么p就是時間A發(fā)生的概率。種子數(shù)（n）1020502005001000發(fā)芽數(shù)(m)91947186458920發(fā)芽率(m/n)0.9000.9500.9400.9180.9160.920種子的發(fā)芽情況

某一隨機試驗，其基本事件空間是U={u1,u2,‥‥un}，共有n個有限的基本事件，而且每一個事件都是等可能事件，而時間A在其中包含m個基本事件，那么時間A發(fā)生的概率：古典概率定義：例：一次投擲兩枚硬幣，計算至少有一枚正面向上的概率。（五）概率的運算法則互斥事件的和事件的概率等于各事件的概率之和。獨立事件的積事件的概率等于各事件的概率之積。例：播種玉米種子時，每穴播種兩粒，玉米種子的發(fā)芽率為90%，計算兩粒都發(fā)芽的概率，一粒發(fā)芽的概率，至少有一粒發(fā)芽的概率。對立事件發(fā)生的概率與不發(fā)生的概率之和等于1。二、大數(shù)定律（一）伯努利大數(shù)定律

設m是n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是每次試驗中事件A發(fā)生的概率，那么對于無論多么小的一個正數(shù)ξ存在下列關(guān)系。（二）辛欽大數(shù)定理

設x1,x2‥‥xn是來自同一總體的隨機變量，對于任意小的一個正整數(shù)ξ，存在：

總體上講，只要樣本容量足夠大，樣本統(tǒng)計數(shù)就越接近總體參數(shù)，所以大數(shù)定律是樣本推斷總體的基礎(chǔ)。第六節(jié)概率分布一、離散型隨機變量的概率分布(一)離散型隨機變量的概率分布函數(shù)和概率累積函數(shù)概率分布函數(shù)

設X是離散型隨機變量，x是X的任何一個可能取值，X取x時的概率P(X=x)稱為離散型隨機變量X的概率分布函數(shù)，計作f(x)。概率累積函數(shù)

設X是離散型隨機變量，x是X的任何一個可能取值，X≤x時的概率P(X≤x)稱為離散型隨機變量X的概率累積函數(shù)，計作F(X)。

設一箱子中有10件產(chǎn)品，4件次品6件合格品，從中抽取4件，計算抽得次品的概率分布情況。抽得次品數(shù)離散型隨機變量xx01234f(x)0.07140.38100.42860.11430.0047F(x)0.07140.45240.88100.99531.0000概率分布表（二）離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差數(shù)學期望次數(shù)

離散型隨機變量X的概率分布函數(shù)，x是X的任何一個取值，那么定義為離散型隨機變量X的數(shù)學期望(均值)，計作E(X)。數(shù)學期望就是總體的平均數(shù)，是一個參數(shù)，反應的是總體的特征。數(shù)學期望的性質(zhì)：方差平均離均差平方和。次數(shù)方差的性質(zhì)：二項式分布對立事件：只能出現(xiàn)非此既彼得對立結(jié)果的事件。比如種子發(fā)芽與不發(fā)芽、硬幣正面向上與反面向上、缺素癥出現(xiàn)于不出現(xiàn)。例.投擲n枚硬幣，計算其中x枚正面向上的概率正面向上事件A某一種情況下x枚正面向上的概率X枚N-X枚（三）離散型隨機變量的理論分布從n枚硬幣中抽出x枚的組合方式：投擲n枚硬幣，計算其中x枚正面向上的概率二項式分布：在n次獨立重復試驗中所有可可能出現(xiàn)的次數(shù)所組成的集合，成為二項總體x={0、1、2……n},其概率分布函數(shù)：對立事件A二項式分布的形狀和參數(shù)例：某批玉米種子的發(fā)芽率為90%，同時播下5粒種子，計算種子發(fā)芽的概率分布。

種子發(fā)芽情況概率分布例：某小麥品種在田間出現(xiàn)自然變異植株的概率為0.0045，試計算（1）調(diào)查100株，獲得兩株或兩株以上植株的概率？（2）期望有99%的概率獲得1株或1株以上變異植株，至少要調(diào)查多少株？出現(xiàn)變異植株的概率不出現(xiàn)變異植株的概率（二）泊松分布

在生物學研究中，有許多事件出現(xiàn)的概率很小（p很小，p<0.1）要觀察到這類稀有事件，抽樣次數(shù)或試驗次數(shù)勢必很大（n很大），利用二項式分布計算這類稀有事件出現(xiàn)的概率很困難。

例：某稀有事件出現(xiàn)的概率p=0.02,進行300次抽樣，該稀有事件出現(xiàn)兩次的概率有多大。

法國數(shù)學家poisson研究發(fā)現(xiàn)，在二項總體中，當n很大，p或q很小時，二項式分布趨近于另外一種分布——poission分布。二項式分布概率分布函數(shù)的極限。對立事件A進行n次獨立重復試驗，當n很大，p或q很小時，事件A在n次試驗中出現(xiàn)的次數(shù)，可以看成一個離散型隨機變量X，X={0,1,2‥‥n},X服從poisson分布。泊松分布的概率分布函數(shù)只取決于一個參數(shù)前例：MicrosoftExcel下的EXP函數(shù)可返回e的n次方。調(diào)查100株，獲得兩株或兩株以上變異植株的概率。期望有99%的概率獲得1株或1株以上的變異植株，至少要調(diào)查多少株。MicrosoftExcel下的LN函數(shù)可返回某數(shù)值的自然對數(shù)值。泊松分布的兩個參數(shù)

不同λ值的泊松分布

泊松分布的形狀完全由λ決定，λ很小時，泊松分布是偏斜的，隨著λ的增加，逐漸對稱，逐漸趨近正態(tài)分布。二、連續(xù)性隨機變量的概率分布——正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)正態(tài)分布曲線的特性

1.正態(tài)分布曲線是以x=為對稱軸，向左右兩側(cè)作對稱分布。2、x=μ時，f(x)最大，曲線處在最高點，︱x-μ︱越小，f(x)越大，︱x-μ︱越大，f(x)越小，3、f(x)>0，曲線位于軸上方。4、正態(tài)分布是一個曲線系統(tǒng)正態(tài)分布概率計算

標準正態(tài)分布：變量Z的兩個參數(shù)標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)標準正態(tài)分布的概率累積函數(shù)正態(tài)分布的概率計算向標準正態(tài)分布概率計算的轉(zhuǎn)化例：某土壤有機質(zhì)含量x~N(1.08,0.132)，計算土壤有機質(zhì)含量落入[1.08,1.21]及[0.95,1.21]之間的概率。幾個特殊區(qū)間的概率95%99%小概率原理統(tǒng)計學上把發(fā)生概率小于5%的事件成為小概率事件，小概率事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的。第七節(jié)