專題15.1 分式的混合運(yùn)算與化簡求值（壓軸題專項(xiàng)講練）（人教版）（原卷版）

專題15.1分式的混合運(yùn)算與化簡求值【典例1】閱讀理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒數(shù)，∵x2∴xx材料2：將分式x2解：由分母x+1，可設(shè)x2-x+3=(x+1)(x+a)+b，則∵對(duì)于任意x上述等式成立，∴a+1=-1,a+b=3.解得∴x2根據(jù)材料，解答下面問題：（1）已知a+1a=5，則分式a（2）已知b-1b=-3，求分式b（3）已知x+1x-2=-73【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）根據(jù)材料1，原式變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（3）根據(jù)材料1和材料2，原式變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．【解題過程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案為：110（2）∵b-∴b-1b2∴b則：3∴b故答案為：129（3）3由分母x-2，可設(shè)x2則：x對(duì)于任意x上述等式成立，∴a-2=-3-2a+b=3，解得，a=-1∴3又∵x+1x-2∴3∴x-23故答案為：-11．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+A．12 B．14 C．727 D．2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．-12 C．2 D3．（2022·福建·九年級(jí)統(tǒng)考競(jìng)賽）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，a+1b=3,b+14．（2022秋·上海徐匯·七年級(jí)上海市田林第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）計(jì)算：a2（2）2x-45．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考一模）先化簡：（2a+2+a2-4a2+4a+4）÷a26．（2022春·重慶渝中·九年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？甲灾髡猩┫然?，后求值：x3+xy2+1x37．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）先閱讀，再答題：12×313×4……一般地，有1n（1）計(jì)算：1x+1（2）計(jì)算：1x8．（2022秋·全國·七年級(jí)期末）xyx+y=19．（2022春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知3x-2y-4z=0，2x+y-5z=0且xyz≠0，求1z10．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知x,y為整數(shù)，且滿足1x+1y1x11．（2022秋·湖南岳陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b12．（2022·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）已知x=a1b+1c（1）當(dāng)a=1，b=1，c=2時(shí)，求1x-1（2）當(dāng)ab+bc+ac≠0時(shí),求1x+113．（2022·七年級(jí)單元測(cè)試）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：①a2②a1求a+b+c的值.14．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）Sn為n的各位數(shù)字之和，例S（1）當(dāng)10≤n≤99時(shí)，求nS（2）當(dāng)100≤n≤999時(shí)，求nS（3）當(dāng)1000≤n≤9999時(shí)，求nS15．（2022秋·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問題：若a，b均不為零，求x=|a|a+|b|b的值．小明說：“考慮到要去掉絕對(duì)值符號(hào)，必須對(duì)字母a，b解：①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，③當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有0個(gè)正，2個(gè)負(fù)時(shí)．（1）根據(jù)小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不為零，且16．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+（1）下列分式中，不屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）將“和諧分式”a2（3）應(yīng)用：先化簡3x+6x+1-x-117．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M-N=MN，則稱分式N是分式M的“關(guān)聯(lián)分式”．（1）已知分式2a2-1，試說明2a2+1是（2）小聰在求分式1x2+y2設(shè)1x2+y2的“關(guān)聯(lián)分式”∴1x2+y請(qǐng)你仿照小聰?shù)姆椒ㄇ蠓质絰+y2x-3y的“關(guān)聯(lián)分式”（3）①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫出分式ab-a的“關(guān)聯(lián)分式”：______②若n-2mx+m2+n是m+2mx+n2的“18．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：x2x+1?x-1x+1這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：1x+1，-2x+1這樣的分式就是真分式．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù).例如：（1）參考上面的方法，將下列分式化為帶分式：-x2-2xx2+2x+1=（2）解分式方程：x2（3）當(dāng)x取什么整數(shù)值時(shí)，分式x4（4）一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍，另一個(gè)兩位數(shù)n．十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同，若這個(gè)三位數(shù)的平方能整除這個(gè)兩位數(shù)，求滿足條件的三位數(shù)m．19．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例1：分解因式x解：將“x2+2x”原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1請(qǐng)根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問題：（1）根據(jù)材料，請(qǐng)你模仿例1嘗試對(duì)多項(xiàng)式x2（2）計(jì)算：1-2-3-?-2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接寫出5aab+a+120．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計(jì)算目的．例：已知：xx2+1解：∵xx2+1=1∴x+1x材料二：在解決某些連等式問題時(shí)，通常可以引入?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個(gè)值為k的等式