備考2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破訓(xùn)練：《圓的綜合》（二）

備考2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破訓(xùn)練:

《圓的綜合》(二)

1.如圖①，在△ABC中，以AB為直徑的。。交AC于點。，點E在BC上，連接BD,DE,

NCDE=NABD.

(1)求證：OE是。0的切線.

(2)如圖②，當(dāng)NA8C=90°時，線段。E與8c有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(3)如圖③，若AB=4C=10,smZCDE=—,求的長.

5

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO.y中，A(0,8),8(6,0),C(0,3),點。從點4運

(2)當(dāng)0P與AB相切時，求△POB的面積；

(3)連接AP、BP,在整個運動過程中，的面積是否為定值，如果是，請直接寫

出面積的定值，如果不是，請說明理由.

3.已知A3為。0的直徑.

(1)如圖m點。為余的中點，當(dāng)弦B￡>=AC時，求/A.

(2)如圖6,點。為京的中點，當(dāng)AB=6,點E為8。的中點時，求0E的長.

(3)如圖c,點。為立上任意一點(不與A、C重合)，若點C為標(biāo)的中點，探求B。、

AO、C。之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你探求的結(jié)論，不要求證明.

4.如圖，A8是。。的直徑，ACLAB,BC交。。于點。，點E在劣弧BQ上，QE的延長

線交A8的延長線于點F,連接AE交于點G.

(1)求證：ZAED=ZCADt

(2)若點E是劣弧80的中點，求證：ED2=EG'EA；

(3)在(2)的條件下，若B0=8F,￡>E=2,求EF的長.

5.如圖，。0是△A8C的外接圓，且AB=AC,點。在弧BC上運動，過點。作OE〃BC,

QE交AB的延長線于點E,連接A。、BD.

(1)求證：NADB=NE；

(2)當(dāng)A8=6,BE=3時，求AD的長？

(3)當(dāng)點。運動到什么位置時，OE是0。的切線？請說明理由.

備用圖

6.如圖①，A、B、C、O四點在。。上，過點C的切線CE〃B。，交AB的延長線于點E.

(1)求證：ZBAC^ZCAD；

(2)如圖②，若AB為。。的直徑，AO=6,AB=10,求CE的長;

(3)在(2)的條件下，連接BC,求tan/A4C的值.

7.如圖，點P在y軸的正半軸上，OP交x軸于8、C兩點，交y軸于點A,以AC為直角

邊作等腰Rt^ACD,連接8。分別交y軸和AC于E、F兩點，連接A&

(1)求證：AB=AD；

(2)若BF=4,DF=6,求線段CO的長；

(3)當(dāng)OP的大小發(fā)生變化而其他條件不變時，怨的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,

A0

請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由.

8.如圖，AB為△ABC外接圓。0的直徑，點P是線段CA延長線上一點，點E在圓上且

滿足PF=P4?PC,連接CE,AE,OE,0E交C4于點D

(1)求證：△PAEs△/>￡■(?；

(2)求證：PE為。。的切線;

(3)若/8=30°,AP^^AC,求證：DO=DP.

9.如圖，8。是。。的直徑.弦AC垂直平分。￡),垂足為￡

(1)求ND4C的度數(shù)；

(2)若AC=6,求BE的長.

10.如圖，。。的直徑AB=12,半徑。CLA8,。為弧8C上一動點(不包括8、C兩點)，

DELOC,DFLAB,垂足分別為E.F.

(1)求EF的長.

(2)若點E為。C的中點，

①求弧CD的度數(shù).

②若點P為直徑AB上一動點，直接寫出PC+PD的最小值.

參考答案

1.解：（1）證明：如圖①，連接。D.

??,48為。。的直徑，

AZADB=90°,

：?NCDE+NBDE=NBDC=90°.

?：NCDE=NABD,

：.ZABD+ZBDE=90°.

,:OB=OD,

：.NABD=NODB,

：.ZODB+ZBDE=90°,

即NOOE=90°,

:.OD工DE,

???OE是。。的切線.

（2）DE=—BC.

2

理由如下：由（1）知/。。如=90°,

：?NODB+/BDE=90°.

VZABC=90°,

AZOBD+ZDBE=900.

???OB=OD,

：.ZOBD=ZODB,

：.NDBE=NBDE,

:?BE=DE.

VZABC=90°,

：.ZC+ZA=90°.

VZABD+ZA=90°,

AZC=NABD.

VZCDE=NABD,

：.ZC=ZCDEf

:?DE=CE,

：.BE=DE=CE.

：.DE=—BC.

2

(3),:NCDE=NABD,

3

???sinZCDE=sinZABD=—.

5

AnQ

在RtZVIB。中，9：sinZABD=—=—AB=10,

AB5f

33

.,.AD=—AB=—X10=6,

55

ABD=VAB2-AD2=V102-62=8-

在RtZ\BDC中，ZBDC=90°,C￡)=10-6=4,

ABC=VBD2<D2=V82+42=4V5.

???A(0,8),B(6,0),C(0,3),

???OA=8,08=6,OC=3,

：.AC=5,

/XACD^/XAOB,

.ACCD

??-，

AOOB

.5CD

,.瓦記

.??。的=工，

4

尸的半徑為學(xué)；

O

(2)在RtZ\A08中，OA=8,OB=6,

?*-AB=VOA2OB2=VS2+62=1。，

如圖2,當(dāng)。P與AB相切時，CDLAB,

AZADC=ZAOB=90Q,ZCAD=ZBAO,

：.△AC￡>S&BO,

.ACADCD

"AB"AOW

Hn_5ADCD

1086

：.AD=4,CD=3,

?.^c。為。p的直徑，

13

?'?CPJC吟，

過點尸作尸E，AO于點E,

"：ZPEC=ZADC=90°,ZPCE=ZACD,

：.^CPE^/\CAD,

.CPCE

,,AC=CD'

3_

即巧_CE，

??-0E=CE-K)C-^-+3-^--

11on117

二△POB的面積=方xOBXOE=方X6x行吉.

則OP與AB相切,

1Q

由（2）可知尸OJ_A8,4，

...△如8的面積=/乂皿*2口卷*10*1?吟.

②如圖4,若0P與AB有兩個交點，設(shè)另一個交點為F,連接CF,可得NCF￡>=90°,

由（2）可得C尸=3,

過點P作PG1AB于點G,則0G=/DF，

12

則PG為△Db的中位線，PG=yCF^-?

...△PAB的面積10乂得=與

綜上所述,在整個運動過程中，△PAB的面積是定值，定值為與

圖1

點D為貶的中點,

AD=DC=yAC>

弦BD=AC,

?,-AC=DB-

???CD—yAC=yDB＞即點c為定的中點.

-'-AD=DC-BC

ZA=—ZC(9B=—X—X180°=30°.

223

(2)如圖2,連結(jié)。D,BC,。。交AC于點F,

圖2

48為。。的直徑,

，NC=90”

點。為筋的中點，半徑0。所在的直線為。。的對稱軸,

則點A的對應(yīng)點為C,

：.OD1AC,0。平分AC,即：AF=CF,

在△￡)￡：尸和△8EC中，

'DE=BE

<ZDFE=ZC=90°，

ZDEF=ZBEC

:ADEF會LBEC(A4S),

:.CE=EF,BC=DF,

'：A0=B0,AF=CF,

：.OF=—BC^—DF,又A8=6,

22

.*.00=3

OF=1,BC=DF=2.

在RtzMBC中，AB=6,BC=2,

?■?AC=VAB2-BC2=V62-22=4V2-

?.?點/為AC的中點，點E為FC的中點

:.EF=H，

在RtZXOFE中，EF=?,。尸=1,

22

OE=VOF+EF=V2+1=V3-

(3)BD、AD,CD之間的關(guān)系為：BD-AD=MCD,

如圖3,連接2C,OC,

0

圖3

為O。的直徑，點C為右的中點,

AZACB=90°,AC=BC,

：.ZBAC=ZBDC=45°,

過點C作CF_LCD交BD于點F,

...△￡>€1/是等腰直角三角形，

CD=CF>DF=^2CD,

,/N4C￡>=ZBCF=900-ZACF,

5L'：AC=BC,CD=CF

：./XACD^^BCF(SAS),

：.AD=BF,

?:BD=BF+DF,

：.BD=AD+-J2CD,

g|JBD-AD=?CD.

4.(1)證明：TAB是。。的直徑，

AZADB=90°,

'：ACVAB,

：.ZCAB=90Q,

NABD=NCAD,

VAD=AD*

???ZAED=ZABD,

：.ZAED=ZCAD；

(2)證明：???點七是劣弧8。的中點,

???DE=BE?

???NEDB=NDAE,

?：NDEG=NAED,

:?△EDGSXEKD,

?.E?D_EA,

EGED

：.ED1=EG^EA；

(3)解:連接OE,

???點E是劣弧3。的中點,

：.ZDAE=ZEABf

?：OA=OE,

：.ZOAE=NAEO,

???/AEO=NDAE,

：.OE//AD,

?..OF—_EF,

OADE

'：BO=BF=OA,DE=2,

.2EF

，EF=4.

5.證明：-：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

/ADB=NACB,

???ZADB=ZABCf

YDE//BC,

???ZABC=ZAED1

：.ZADB=ZE；

（2）解：由（1）知，NADB=NE,

'：ZBAD=ZBAD,

：.^ABD^/\ADEf

.AB^AD

**AD=AE，

VAB=6,BE=3,

.6_AD

??,

AD3

...AD的長為3加；

（3）當(dāng)。為黃的中點時，QE是。。的切線，理由為:

為面的中點，

J.ADA-BC,AQ過圓心，

'."DE//BC,

J.ADVED,

:點。在O。上，

.?.DE為圓。的切線.

6.(1)證明：連結(jié)0C,如圖①,

國①

???CE為切線，

:.0C1,CE,

?：CE〃BD,

???OC_LBD,

?"?CD=CB'

J.ZBAC^ZCAD；

(2)解：如圖②，連結(jié)BC,連結(jié)0C交BQ于F,

圖②

由(1)WOC±BD,則BF=Z>F,

為。。的直徑，

；./。=90°,

-■?BD=VAB2-AD2=V102-62^8>

：.BF=—BD^4,

2

在RtAOBF中，。尸=3,

,JBF//CE,

：./\OBF^/\OCE,

：.BF；EC=OF：OC,即4：CE=3：5,

；.CE="；

(3)解：；OF=3,OC=5,

：.CF=5-3=2,

VCD=CB-

：.ZCBD=ZBAC,

lanZB/lC=tanZCBF=—.

2

7.(1)證明：?.?04LBC,且0A過圓心點P,

：.0B=0C,

'0A=0B

在△AOB和aAoc中，＜ZAOB=ZAOC.

OA=OA

：./\AOB^/\AOC(SAS),

：.AB=AC,

以4c為直角邊作等腰RtA/lCD,

：.AD=AC,

：.AB=AD-,

(2)如圖1,過點A作AMLBD于M,

由(1)知，AB=AD,

：.DM=—BD,

2

；BF=4,DF=6,

：.BD=\O,

：.DM=5,

VZAMD=90°=ZDAF,ZADM=ZFDA,

：./\ADM^/\FDA,

.ADDM

**DF=AD'

.AD.5

^VAD'

.,.AD=V30，

在等腰直角三角形AOC中，CD=?AD=2任;

(3)空的值是不發(fā)生變化，

A0

理由：如圖2,過點。作軸于”，作。。_Lx軸于Q,

AZAHD=90°=/COA,

：.ZADH-^-ZDAH=90Q,

VZCAD=90°,

???NC4O+ND4H=90°,

???ZADH=ZCAO,

9

：AD=ACf

：.^ADH^/\ACO(AAS),

：.DH=AOfA〃=OC,

VZOHD=ZQOH=ZOQD=9Q°,

???四邊形OQQ”是矩形，DH=OQ,DQ=OH,

又???HO=AH-i-AO=OC+DH=OB+DH=OB+OQ=BQf

：.DQ=BQ,

:.XDBQ為等腰直角三角形，

：.ZDBQ=45°,

：?NDEH=NBEO=45°,

：.sinZDEH=—,

DE

?DH_V2

??，

DE2

圖？

PAPE

ZAPE=NEPC,

??.△PAE?△尸EC；

(2)如圖,連接BE,

：?/OBE=/OEB,

?：/OBE=NPCE,

：.ZOEB=ZPCEf

,?.△PAE?△PEC,

:?/PEA=/PCE,

：.ZPEA=ZOEB,

〈AB為直徑，

AZAEB=90°,

?,.NOE3+NOEA=90°,

：.ZPEA+ZOEA=90°,

：.ZOEP=90°,

???點￡在OO上，

?,.PE是。0的切線；

(3)如圖，過點。作OMJ_AC于M,

???AM-^AC，

VBC1AC,

：?OM〃BC,

VZABC=30°,

???NAOM=30°,

???OM=V^AM=WAG

vAP-|AC，

???0M=V3AP