內蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)三中2024屆高三下-期末考試（元月調研）數學試題試卷

內蒙古巴彥淖爾市臨河區(qū)三中2024屆高三下-期末考試（元月調研）數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，且、都是全集（為實數集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．2．已知（i為虛數單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．3．函數在的圖像大致為A． B． C． D．4．函數圖像可能是（）A． B． C． D．5．定義在上函數滿足，且對任意的不相等的實數有成立，若關于x的不等式在上恒成立，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知復數，其中，，是虛數單位，則（）A． B． C． D．7．已知為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．8．已知正項等比數列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．9．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．10．如圖，設為內一點，且，則與的面積之比為A． B．C． D．11．如圖所示，三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。?，則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．134 B．67 C．182 D．10812．下列函數中既關于直線對稱，又在區(qū)間上為增函數的是()A．. B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數是定義在上的奇函數，其圖象關于直線對稱，當時，（其中是自然對數的底數，若，則實數的值為_____.14．設實數，若函數的最大值為，則實數的最大值為______.15．為了了解一批產品的長度（單位：毫米）情況，現抽取容量為400的樣本進行檢測，如圖是檢測結果的頻率分布直方圖，根據產品標準，單件產品長度在區(qū)間的一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數為__________．16．已知橢圓，，若橢圓上存在點使得為等邊三角形（為原點），則橢圓的離心率為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的兩個焦點是，，在橢圓上，且，為坐標原點，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點.連接、與軸交于點，.（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：為定值.18．（12分）班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結果）（2）如果隨機抽取的7名同學的數學，物理成績（單位：分）對應如下表：學生序號1234567數學成績60657075858790物理成績70778085908693①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為，求的分布列和數學期望；②根據上表數據，求物理成績關于數學成績的線性回歸方程（系數精確到0.01）；若班上某位同學的數學成績?yōu)?6分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜?？附：線性回歸方程，其中，.768381252619．（12分）已知函數的最大值為2.（Ⅰ）求函數在上的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）中,,角所對的邊分別是，且，求的面積．20．（12分）已知均為正實數，函數的最小值為.證明：（1）；（2）.21．（12分）已知函數.（1）求函數的最小正周期以及單調遞增區(qū)間；（2）已知，若，，，求的面積.22．（10分）已知數列的前項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）若，，且數列前項和為，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據韋恩圖可確定所表示集合為，根據一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據補集和交集定義可求得結果.【題目詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【題目點撥】本題考查集合運算中的補集和交集運算，涉及到一元二次不等式和函數定義域的求解；關鍵是能夠根據韋恩圖確定所求集合.2、A【解題分析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件列式求解．【題目詳解】，，得，．．故選：．【題目點撥】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數相等的條件，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，是基礎題．3、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由的近似值即可得出結果．【題目詳解】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【題目點撥】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．4、D【解題分析】

先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數值為正，即可判斷選項.【題目詳解】,,即函數為偶函數，故排除選項A,C，當正數越來越小，趨近于0時，，所以函數，故排除選項B,故選：D【題目點撥】本題主要考查了函數的奇偶性，識別函數的圖象，屬于中檔題.5、B【解題分析】

結合題意可知是偶函數,且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結合導函數與原函數的單調性關系,構造新函數,計算最值,即可.【題目詳解】結合題意可知為偶函數,且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【題目點撥】本道題考查了函數的基本性質和導函數與原函數單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數,結合導函數,計算最值,即可得出答案.6、D【解題分析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復數的運算；2、復數的模.7、D【解題分析】

根據面面垂直的判定定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【題目詳解】對于A，當，，時，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯誤；對于B，當，，時，則，故不能作為的充分條件，故B錯誤；對于C，當，，時，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯誤；對于D，當，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.【題目點撥】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎題.8、C【解題分析】

由已知求出等比數列的公比，進而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【題目詳解】，，或（舍）.，，.當，時；當，時；當，時，，所以最小值為.故選:C.【題目點撥】本題考查等比數列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.9、C【解題分析】

根據線面垂直的性質以及線面垂直的判定，根據勾股定理，得到之間的等量關系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【題目詳解】設，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當且僅當，時等號成立，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用，考查空間想象能力以及數形結合思想，涉及線面垂直的判定和性質，屬中檔題.10、A【解題分析】

作交于點，根據向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結果.【題目詳解】如圖，作交于點，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【題目點撥】本題考查三角函數與向量的結合，三角形面積公式，屬基礎題，作出合適的輔助線是本題的關鍵.11、B【解題分析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【題目詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為，

故選：B.【題目點撥】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.12、C【解題分析】

根據函數的對稱性和單調性的特點，利用排除法，即可得出答案.【題目詳解】A中，當時，，所以不關于直線對稱，則錯誤；B中，，所以在區(qū)間上為減函數，則錯誤；D中，，而，則，所以不關于直線對稱，則錯誤；故選：C.【題目點撥】本題考查函數基本性質，根據函數的解析式判斷函數的對稱性和單調性，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先推導出函數的周期為，可得出，代值計算，即可求出實數的值.【題目詳解】由于函數是定義在上的奇函數，則，又該函數的圖象關于直線對稱，則，所以，，則，所以，函數是周期為的周期函數，所以，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用函數的對稱性計算函數值，解題的關鍵就是結合函數的奇偶性與對稱軸推導出函數的周期，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.14、【解題分析】

根據，則當時，，即.當時，顯然成立；當時，由，轉化為，令，用導數法求其最大值即可.【題目詳解】因為，又當時，，即.當時，顯然成立；當時，由等價于，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，則，又，得，因此的最大值為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查導數在函數中的應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.15、100.【解題分析】分析：根據頻率分布直方圖得到三等品的頻率，然后可求得樣本中三等品的件數．詳解：由題意得，三等品的長度在區(qū)間，和內，根據頻率分布直方圖可得三等品的頻率為，∴樣本中三等品的件數為.點睛：頻率分布直方圖的縱坐標為，因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內的頻率，把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤．16、【解題分析】

根據題意求出點N的坐標，將其代入橢圓的方程，求出參數m的值，再根據離心率的定義求值.【題目詳解】由題意得，將其代入橢圓方程得，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】

（1）根據橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標，表示出，根據韋達定理即可求證為定值.【題目詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，，點在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設，，直線的斜率為，設直線的方程為，聯立方程組，消去，整理得，所以，，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【題目點撥】本小題主要考查橢圓標準方程的求法，考查直線和橢圓的位置關系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18、（1）不同的樣本的個數為.（2）①分布列見解析，.②線性回歸方程為.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【解題分析】

（1）按比例抽取即可，再用乘法原理計算不同的樣本數.（2）名學生中物理和數學都優(yōu)秀的有3名學生，任取3名學生，都優(yōu)秀的學生人數服從超幾何分布，故可得其概率分布列及其數學期望.而線性回歸方程的計算可用給出的公式計算，并利用得到的回歸方程預測該同學的物理成績.【題目詳解】（1）依據分層抽樣的方法，24名女同學中應抽取的人數為名，18名男同學中應抽取的人數為名，故不同的樣本的個數為.（2）①∵7名同學中數學和物理成績均為優(yōu)秀的人數為3名，∴的取值為0，1，2，3.∴，，，.∴的分布列為0123∴.②∵，.∴線性回歸方程為.當時，.可預測該同學的物理成績?yōu)?6分.【題目點撥】在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

(1)由題意，f(x)的最大值為所以而m>0，于是m=，f(x)=2sin(x+).由正弦函數的單調性可得x滿足即所以f(x)在［0,π］上的單調遞減區(qū)間為(2)設△ABC的外接圓半徑為R，由題意，得化簡得sinA+sinB=2sinAsinB.由正弦定理，得①由余弦定理，得a2+b2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0②將①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或(舍去)，故20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解題分析】

（1）運用絕對值不等式的性質，注意等號成立的條件，即可求得最小值，再運用柯西不等式，即可得到最小值.（2）利用基本不等式即可得到結論，注意等號成立的條件.【題目詳解】（1）由題意，則函數，又函數的最小值為，即，由柯西不等式得，當且僅當時取“=”.故.