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駐馬店市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三第二十次考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某市氣象部門(mén)根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯(cuò)誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個(gè)D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)2.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.3.設(shè),且,則()A. B. C. D.4.已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)作雙曲線的一條漸近線的垂線,分別交兩條漸近線于點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足恰為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.6.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時(shí),A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?7.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.8.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.9.我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問(wèn)各得金幾何?”則在該問(wèn)題中,等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤10.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.511.如圖是正方體截去一個(gè)四棱錐后的得到的幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為,將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求直線和曲線的普通方程;(2)設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).14.設(shè),滿足條件,則的最大值為_(kāi)_________.15.已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以A,B為焦點(diǎn),且過(guò)C,D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)___________.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為().(1)求拋物線C的極坐標(biāo)方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點(diǎn),求的值.18.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.(1)求證:平面平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點(diǎn),求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.20.(12分)已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知圓上有一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,四邊形為平行四邊形,線段的垂直平分線交于點(diǎn).(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與軸分別交于兩點(diǎn),求證:線段的中點(diǎn)為定點(diǎn),并求出面積的最大值.22.(10分)設(shè)函數(shù),(1)當(dāng),,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個(gè),故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯(cuò)誤.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.2、B【解題分析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象,故可否定.故選B.3、C【解題分析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【題目詳解】即故選:C【題目點(diǎn)撥】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡(jiǎn)單題目.4、B【解題分析】
設(shè)點(diǎn)位于第二象限,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由直線與直線垂直,轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值,進(jìn)而可求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)位于第二象限,由于軸,則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,即點(diǎn),由題意可知,直線與直線垂直,,,因此,雙曲線的離心率為.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算,解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于中等題.5、C【解題分析】
根據(jù),兩邊平方,化簡(jiǎn)得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【題目詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點(diǎn):交集及其運(yùn)算.7、A【解題分析】
由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡(jiǎn)求出的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【題目詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解.8、A【解題分析】
分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時(shí),上式取最小值,選A.點(diǎn)睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。9、C【解題分析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C10、D【解題分析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開(kāi)口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng):拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.11、C【解題分析】
根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)可求得幾何體的體積.【題目詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體的直觀圖如下圖所示:由圖可知,該幾何體是在棱長(zhǎng)為的正方體中截去四棱錐所形成的幾何體,該幾何體的體積為.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用三視圖計(jì)算幾何體的體積,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】
根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,結(jié)合為函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸可求得,代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換,即可求得函數(shù)的解析式.【題目詳解】函數(shù),由輔助角公式化簡(jiǎn)可得,因?yàn)闉楹瘮?shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸,代入可得,即,化簡(jiǎn)可解得,即,所以將函數(shù)的圖象向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度可得,則,故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了輔助角化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的應(yīng)用,三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的應(yīng)用,三角函數(shù)圖像平移變換的應(yīng)用,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(1),;(2),.【解題分析】
(1)利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程;(2)利用參數(shù)方程,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問(wèn)題,即可求得.【題目詳解】(1)直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中,,所以曲線的普通方程為.(2)設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí),,所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,以及利用參數(shù)方程求距離的最值問(wèn)題,屬中檔題.14、【解題分析】
作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【題目詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí),最小,此時(shí)最大.解方程組,得,..故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解題分析】
根據(jù)為焦點(diǎn),得;又求得,從而得到離心率.【題目詳解】為焦點(diǎn)在雙曲線上,則又本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【題目詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】
(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達(dá)定理,,即可求得結(jié)果.【題目詳解】(1)因?yàn)?,,代入得,所以拋物線C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,考查極坐標(biāo)方程的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,難度一般.18、(1)見(jiàn)證明;(2)【解題分析】
(1)取的中點(diǎn),連接,要證平面平面,轉(zhuǎn)證平面,即證,即可;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的法向量,代入公式,即可得到結(jié)果.【題目詳解】(1)取的中點(diǎn),連接,因?yàn)榫鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形,所以,,且因?yàn)?,所以,所以,又因?yàn)?,平面,平面,所以平?又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(2)因?yàn)?,為等邊三角形,所以,又因?yàn)椋?,,在中,由正弦定理,得:,所?以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則平面的一個(gè)法向量為,依題意,平面的一個(gè)法向量所以故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19、(1)見(jiàn)解析(2)【解題分析】試題分析:(1)第(1)問(wèn),轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問(wèn),先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,所?因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面,平面,,所以平?又平面,所以.因?yàn)?,所?因?yàn)椋云矫?因?yàn)榉謩e為,的中點(diǎn),所以,所以平面(2)設(shè),由(1)得平面.由,,得,.過(guò)點(diǎn)作,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),取的中點(diǎn),連接,,如圖所示,又,所以為等邊三角形,所以,又平面平面,平面平面,平面,故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?,所以,所以平?又因?yàn)?,所以平?因?yàn)椋云矫嫫矫?由(1),得平面,所以平面,所以.因?yàn)?,所以平面,所以是與平面所成角.因?yàn)椋?,所以平面,平面,因?yàn)?,所以平面平?所以,,解得.在梯形中,易證,分別以,,的正方向?yàn)檩S,軸,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,,,由,及,得,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得令,得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角,所以二面角的余弦值是.20、(1)證明見(jiàn)解析,;(2).【解題分析】
(1)將等式變形為,進(jìn)而可證明出是等差數(shù)列,確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差,可求得的表達(dá)式,進(jìn)而
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