新教材適用2024版高考數(shù)學二輪總復習第1篇專題6概率與統(tǒng)計第3講統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的分析核心考點3經(jīng)驗回歸方程教師用書

核心考點3經(jīng)驗回歸方程核心知識·精歸納1．相關(guān)系數(shù)：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)).2．經(jīng)驗回歸方程：將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本中心．典例研析·悟方法典例1(2023·濟南模擬)第24屆冬奧會于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，此項賽事大大激發(fā)了國人冰雪運動的熱情．某滑雪場在冬奧會期間開業(yè)，下表統(tǒng)計了該滑雪場開業(yè)第x天的滑雪人數(shù)y(單位：百人)的數(shù)據(jù)．天數(shù)代碼x1234567滑雪人數(shù)y/百人11131615202123(1)根據(jù)第1至7天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明(保留兩位有效數(shù)字)；(2)經(jīng)過測算，若一天中滑雪人數(shù)超過3000人時，當天滑雪場可實現(xiàn)盈利，請建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測該滑雪場開業(yè)的第幾天開始盈利．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝532，eq\r(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)≈57.5.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)ui－\o(u,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)vi－\o(v,\s\up6(－))2)).【解析】(1)因為eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝17，所以eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,x)iyi－eq\i\su(i＝1,7,)eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝532－7×4×17＝56，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))≈eq\f(56,57.5)≈0.97，因為樣本相關(guān)系數(shù)|r|接近于1，所以可以推斷x和y這兩個變量線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強．(2)因為eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝(1－4)2＋(2－4)2＋(3－4)2＋…＋(7－4)2＝28，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(56,28)＝2，因為eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝17－2×4＝9，所以經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋9，因為一天中滑雪人數(shù)超過3000人時，當天滑雪場可實現(xiàn)盈利，即2x＋9>30時，可實現(xiàn)盈利，解得x>10.5，所以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程預測，該滑雪場開業(yè)的第11天開始盈利．方法技巧·精提煉求回歸直線方程的方法(1)若所求的回歸直線方程是在選擇題中，常利用回歸直線必經(jīng)過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))快速解決．(2)若所求的回歸直線方程是在解答題中，則求回歸直線方程的一般步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi的值；③計算回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))；④寫出回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).加固訓練·促提高(2023·呂梁三模)數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善，市場將持續(xù)擴大，下表為2018—2022年中國車載音樂市場規(guī)模(單位：十億元)，其中年份2018—2022對應(yīng)的代碼分別為1～5.年份代碼x12345車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y＝a·bx擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程(a，b的值精確到0.1)；(2)綜合考慮2023年及2024年的經(jīng)濟環(huán)境及疫情等因素，某預測公司根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，通過修正，把b－1.3作為2023年與2024年這兩年的年平均增長率，請根據(jù)2022年中國車載音樂市場規(guī)模及修正后的年平均增長率預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模．參考數(shù)據(jù)：eq\o(v,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,5,x)ivie0.524e0.4721.9433.821.71.6其中vi＝lnyi，eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,v)i.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\o(u,\s\up6(－))\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝v－eq\o(β,\s\up6(^))u.【解析】(1)因為y＝a·bx，所以兩邊同時取常用對數(shù)，得lny＝lna＋xlnb，設(shè)v＝lny，所以v＝lna＋xlnb，設(shè)α＝lna，β＝lnb，因為eq\o(x,\s\up6(－))＝3，eq\o(v,\s\up6(－))＝1.94，所以eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)ivi－5\o(x,\s\up6(－))·\o(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(33.82－5×3×1.94,55－5×32)＝0.472，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝1.94－0.472×3＝0.524，所以lneq\o(a,\s\up6(^))＝0.524，lneq\o(b,\s\up6(^))＝0.472，所以eq\o(a,\s\u