河北省石家莊市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

石家莊市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.已知直線的方程，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的取值范圍可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因?yàn)?，因此?故選：C2.用火柴棒按下圖的方法搭三角形，前4個(gè)圖形分別如下，按圖示的規(guī)律搭下去，第10個(gè)圖形需要用多少根火柴（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形可知：第一個(gè)圖形需要3根火柴棒，后面每多一個(gè)圖形，則多用2根火柴棒，根據(jù)此規(guī)律即可計(jì)算求解.【詳解】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：搭第個(gè)圖形，需要，則搭第10個(gè)圖形需要根火柴棒，故選：.3.已知圓的圓心為（-2,1），其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別A（a，0）、B（0，b），圓心C為點(diǎn)（-2，1），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得a=-4，b=2．∴半徑r=∴圓的方程是：（x+2）2+（y-1）2=5，即x2+y2+4x-2y=0．故選C．4.已知空間四邊形ABCD中，G為CD的中點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量平行四邊形法則、三角形法則即可得出．【詳解】解：如圖：由平行四邊形法則可得：，．故選：A．5.已知圓與直線切于點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圓心和切點(diǎn)求得切線的斜率后可得切線方程．【詳解】圓可化為，所以點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率為，則所求直線的斜率為，由點(diǎn)斜式方程，可得，整理得.故選：A.6.設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.7.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)Q到平面的距離（）A.等于 B.和的長(zhǎng)度有關(guān)C.等于 D.和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】取中點(diǎn)G，連接，利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，B錯(cuò)．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無(wú)關(guān)，D錯(cuò)．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.8.已知，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，，分別為曲線，的離心率，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合基本不等式得，即可解決.【詳解】由題知，，為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，，分別為曲線，的離心率，假設(shè)，所以由橢圓，雙曲線定義得，解得，所以在中，，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.在數(shù)列中，最大B.在數(shù)列中，或最大C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，且，可推出，，故，可判斷AD正確，B錯(cuò)誤，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷，判斷C.【詳解】為等差數(shù)列，∵，且，∴，即，∴{an}是遞減等差數(shù)列，最大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故AD正確，B錯(cuò)誤，，則，故C錯(cuò)誤，故選：AD．10.已知直線l：，其中，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線l與直線垂直B.若直線l與直線平行，則C.直線l過(guò)定點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A，代入，利用斜率之積為得知直線l與直線垂直；對(duì)于B，由兩平行線的一般式有求得，從而可判斷正誤；對(duì)于C，求定點(diǎn)只需令參數(shù)的系數(shù)為0即可，故直線l過(guò)定點(diǎn)；對(duì)于D，代入，分別求得直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，故l的斜率為1，直線的斜率為，因?yàn)?，所以?xún)芍本€垂直，所以A正確；對(duì)于B，若直線l與直線平行，則，解得或，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，易得在x軸、y軸上的截距分別是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，則下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線的方程為 B.線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為C.線段的長(zhǎng)度為 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)判斷A；聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線定義、向量垂直的坐標(biāo)表示判斷BCD作答.【詳解】顯然拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線與x軸交于點(diǎn)，即，則，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，A正確；由消去并整理得：，設(shè)，則有，線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，因此線段的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，B錯(cuò)誤；，因此線段的長(zhǎng)度為，C正確；顯然點(diǎn)，，則，即，因此，D正確.故選：ACD12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號(hào)，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論，其中結(jié)論正確的有（）A.曲線C圍成的圖形的面積是B.曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是C.曲線C上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過(guò)2D.若是曲線C上任意一點(diǎn)，則的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)方程分析曲線C的性質(zhì)以及圖象，根據(jù)曲線C的性質(zhì)和圖象結(jié)合直線與圓的相關(guān)知識(shí)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于曲線上任一點(diǎn)，則，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，即點(diǎn)在曲線C上，故曲線C關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，即點(diǎn)在曲線C上，故曲線C關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，則，即點(diǎn)在曲線C上，故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；綜上所述：曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).對(duì)于方程，令，則，解得或，即曲線C與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，同理可得：曲線C與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，則，整理得，且，故曲線C在第一象限內(nèi)為以為圓心，半徑的半圓，由對(duì)稱(chēng)性可得曲線C為四個(gè)半圓外加坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)A：曲線C圍成的圖形的面積，A正確；對(duì)B：曲線C圍成的圖形的周長(zhǎng)是，B正確；對(duì)C：聯(lián)立方程，解得或，即曲線C與直線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由對(duì)稱(chēng)可知曲線C與直線在第三象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，C錯(cuò)誤；對(duì)D：由圖結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)在第一象限時(shí)，點(diǎn)到直線的距離相對(duì)較小，∵到直線的距離，則點(diǎn)到直線的距離，∴故的最小值是，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）通過(guò)方程研究曲線的對(duì)稱(chēng)性時(shí)，往往通過(guò)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)證明曲線的對(duì)稱(chēng)性；（2）研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過(guò)圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是_____．【答案】【解析】【詳解】雙曲線的漸近線為的焦點(diǎn)到漸近線距離為.14.設(shè)，向量，且，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的垂直及平行的坐標(biāo)表示求出，再由向量的坐標(biāo)運(yùn)算及模的坐標(biāo)表示求解．【詳解】因?yàn)椋?，解得，則．因，所以，解得，則．．故答案為:.15.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則______．【答案】8【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到，在利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋裕瑒t..故答案為：816.已知為圓的直徑，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】分析可得，可知當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的最小值.【詳解】圓心，半徑為，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，圓心到直線的距離為，當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，即取最小值，且.故答案為：.四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，可得的方程組，解方程組即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，利用分組求和法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，即，所以，解得，所以.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，分組求和法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．（1）求圓的方程；（2）若圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）寫(xiě)出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程，通過(guò)解方程確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而算出半徑，寫(xiě)出圓的方程；（2）根據(jù)圓與圓相交得相交直線所在方程，利用直線與圓求相交弦長(zhǎng)即可.【小問(wèn)1詳解】曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為,，,．可知圓心在直線上，故可設(shè)該圓的圓心為，則有，解得，故圓的半徑為，所以圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】的方程為．即圓D：，即兩圓方程相減，得相交弦AB所在直線方程為圓C的圓心到直線距離為，所以.19.如圖，四棱錐的底面為菱形且，底面ABCD，AB=2，，E為PC的中點(diǎn)．（1）求直線DE與平面PAC所成角的大小；（2）求二面角平面角的正切值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）建系，利用空間向量求線面夾角；（2）利用空間向量求二面角.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)DE、OE，∵分別為的中點(diǎn)，則，，且平面ABCD，則平面ABCD，∵底面是菱形ABCD，，AB=2，，則BD=2，，以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，可得，．∵平面PAC的法向量為，，設(shè)直線DE與平面PAC所成的角，則，故直線DE與平面PAC所成的角為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)二面角的平面角為，平面ADC的法向量為，設(shè)平面EAD的法向量為，則，令，則，得到，∴，即，則，∴，故二面角的平面角的正切值是2．20.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足.（1）求動(dòng)點(diǎn)P軌跡曲線W的方程并說(shuō)明W是何種曲線；（2）若拋物線（）的焦點(diǎn)F恰為曲線W的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線Z交于M，N兩點(diǎn)，，求直線l的方程.【答案】（1）曲線的方程為，它是焦點(diǎn)為的雙曲線的右支.（2）或．【解析】【分析】（1）由動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：可得到軌跡曲線為雙曲線的右支；（2）由（1）可得的坐標(biāo)，然后再求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程為，后根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到關(guān)于的方程，解出即可．【小問(wèn)1詳解】解：動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)的軌跡曲線為雙曲線的一支，由雙曲線的定義有，，，曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知曲線的頂點(diǎn)，，，所以拋物線的方程為．由題意，直線的傾斜角不能為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，，代入到消去得：，，，，，或，直線的方程為或．21.已知數(shù)列滿(mǎn)足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若記為滿(mǎn)足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求關(guān)于的不等式的最大正整數(shù)解．【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）在等式兩邊取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）解不等式可得到滿(mǎn)足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，可得出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法可求得，再利用數(shù)列的單調(diào)性可求得滿(mǎn)足題意的最大正整數(shù)的值.【小問(wèn)1詳解】解：由取倒數(shù)得，即，所以為公差為的等差數(shù)列，則，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，滿(mǎn)足條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)為，即，所以，，故數(shù)列單調(diào)遞增，所以，，則，上式下式得，所以，，因?yàn)椋?，則，因此，滿(mǎn)足的最大正整數(shù)的值為.22.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)，作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線恰關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（Ⅰ）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，列出方程求出，，由此能求出橢圓的方程；（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)