2023年青海省海東市平安區(qū)高考臨考沖刺數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)。+23eR）是純虛數(shù)，則。的值為（）

2+1

A.-3B.3C.1D.-1

2.過拋物線C：V=4x的焦點/，且斜率為目的直線交C于點在x軸的上方），/為C的準線，點N在/上且

則M到直線N尸的距離為（）

A.75B.272C.2GD.3g

3.設全集U=R,集合/=｛幻％2N八={x|2'Vl},則MngN=()

A.[0,1]B.（0,1]C.[0,1)D.(-℃,1]

4.若不等式2xlnx..—f+6對xe[l,+oo）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,0)B.(YO,1]C.(0,+a>)D.[1,-KO)

5.若向量而=(0,—2),n=(V3,D)則與2拓+3共線的向量可以是()

A.(瓜-1)B.(-1,73)C.(-73,-1)D.(-1,-73)

6.函數(shù)/(力=2犬3-奴2+]在((),+紇)內有且只有一個零點，則a的值為()

A.3B.-3C.2D.-2

7.命題“7%>(),X。+1)〉“一1)2”的否定為()

A.Vx>0,x(x+l)>(x-1)2B.VA;,0,x(x+1)>(x-1)2

C.Hr>0,x(x+1),,(x-1)?D.t;,0,x(x+l)>(x-1)，

8.已知復數(shù)z=(l—a)+(a2-l)i(i為虛數(shù)單位，?>1),貝!h在復平面內對應的點所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如下圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

10.已知直線4：x^my（〃件0）與拋物線c：y2=4x交于。（坐標原點），A兩點，直線4：1=陽+加與拋

物線C交于8,O兩點.若|8￡＞|=3|。4],則實數(shù)加的值為（）

11.已知橢圓C：0+1=1（。＞人＞0）的左，右焦點分別為耳，工，過耳的直線交橢圓C于A,B兩點,若

ZABF2=90°,且AABF2的三邊長忸周，|AB|,恒可成等差數(shù)列，則C的離心率為（）

_1_「夜

A.B,且L■----------D,也

2322

己知命題〃：+：￡/?,使sinxc'x成立.則一/^為（）

12.

2

VxeR,sinx之L均成立B.Vxe/?,sinxv'x均成立

A.

22

3xeR,使sinxN’x成立D.球￡凡使sinx=L成立

2一2

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在三棱錐P—A8C中，三條側棱R4、PB、PC兩兩垂直，PB=PA+1,PA+PC=4,則三棱錐。一ABC外接

球的表面積的最小值為.

14.在AABC中，角AB,C的對邊分別為。也c,且處cos6=acosC+ccosA,若AABC外接圓的半徑為述,

3

則面積的最大值是

15.已知a,〃，c分別為AABC內角A，B,C的對邊，a=0,sinA=43"=后4!l△ABC的面積為.

3

2,x>0

16.若函數(shù)/(x)=,2八，則使得不等式/(/(a))>0成立的。的取值范圍為________.

-,x<0

.x

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)記S.為數(shù)列｛a“｝的前”項和，2S“—a“=9r(〃eN*).

⑴求a“+%+i；

(2)令么=凡+2-%，證明數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，并求其前〃項和小

2

18.(12分)己知函數(shù)/(%)=ln(2x+a)曲線y=/(尤)在點(1,7(1))處的切線在y軸上的截距為ln3

(1)求

2x

(2)討論函數(shù)&(%)=/(%)-2%(%>0)和〃(x)=/(x)------(x>0)的單調性；

2x4-1

25—9W+1]

(3)設4=〒。向=/(%),求證：——一―2<0(n>2).

,Lan

19.(12分)已知｛q｝是等差數(shù)列，滿足％=3,4=12,數(shù)列也｝滿足優(yōu)=4,d=20,且也-4｝是等比數(shù)

列.

(1)求數(shù)列｛q｝和也｝的通項公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項和.

20.(12分)已知函數(shù)分(x)=|x+a|+|2x-l|(aGR).

(D。=一1時，求不等式/(>)22解集；

(2)若/(x)W2x的解集包含于1,3,求”的取值范圍.

21.(12分)已知a,b,c分別為AABC內角A,B,。的對邊，若AA3C同時滿足下列四個條件中的三個：

2fl+3c

?—=^；②cos2A+2cos2g=1；a=娓;④6=2"

c3(a+Z?)2

(1)滿足有解三角形的序號組合有哪些？

(2)在(1)所有組合中任選一組，并求對應AABC的面積.

(若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計算的第一種可能計分)

22.(10分)棉花的纖維長度是評價棉花質量的重要指標，某農科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別

種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖

維進行統(tǒng)計，結果如下表：（記纖維長度不低于311相〃?的為“長纖維”，其余為“短纖維”）

纖維長度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]

甲地（根數(shù)）34454

乙地（根數(shù)）112116

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤

環(huán)境有關系”.

甲地乙地總計

長纖維

短纖維

總計

機(1)——吆史生——

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)

(2)臨界值表；

2

P(K>k0)1.111.151.1251.1111.1151.111

火02.7163.8415.1246.6357.87911.828

（2）現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這

8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

整理復數(shù)為b+&的形式，由復數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.

【詳解】

5z（2-z）/、

由題,a+F5i=a+0L\=a+2i+l=g+l+2i,

因為純虛數(shù)，所以a+l=O,則a=—l,

故選:D

【點睛】

本題考查已知復數(shù)的類型求參數(shù)范圍，考查復數(shù)的除法運算.

2.C

【解析】

聯(lián)立方程解得M（3,2底，根據(jù)MN_U得|MN|=|MF|=4,得到△是邊長為4的等邊三角形，計算距離得到答

案.

【詳解】

y=Gx—1J

依題意得尸（1,0）,則直線的方程是y=6（x-l）.由廠2得工=-或X=3.

y2=4x3

由M在x軸的上方得M（3,2百），由政VJJ得|MN|=|MF|=3+1=4

又NNMF等于直線FM的傾斜角，即NNMF=60。，因此△MNF是邊長為4的等邊三角形

點M到直線N尸的距離為4x且=26

2

故選：C.

【點睛】

本題考查了直線和拋物線的位置關系，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

3.A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.

【詳解】

A/={%|x2<x}=1%10<%<1）,N={x[2*<l}={x|x<0},

^?/={x|x>0},

則Mn6N={x|0WxWl}=[0,l],

故選：A.

【點睛】

本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題.

4.B

【解析】

轉化2xlnx…一》2+奴,工€口,+8)為④21nx+x,構造函數(shù)/z(x)=21nx+x,無e[l,zo),利用導數(shù)研究單調性，求

函數(shù)最值，即得解.

【詳解】

由2xlnK..-x2+ax,xG[l,+8),可知4,21nx+x.

,2

設〃(x)=21nx+x,xe[l,+oo),則〃'(x)=_+l〉O,

x

所以函數(shù)〃。)在口,中刃)上單調遞增，

所以〃(X)min=〃⑴=1?

所以4,=1.

故”的取值范圍是

故選：B

【點睛】

本題考查了導數(shù)在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.

5.B

【解析】

先利用向量坐標運算求出向量2沅+n，然后利用向量平行的條件判斷即可.

【詳解】

?.,用=(0,—2),月=(6,1)

2m+n=(6,-3)

(一1,百)=一坐(3一3)

故選B

【點睛】

本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定，屬于基礎題，在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應，切

不可錯位.

6.A

【解析】

求出了'(x)=6x2-2or,對?分類討論，求出(0,+8)單調區(qū)間和極值點，結合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.

【詳解】

尸(%)=6x2—2ax=6x(x-?,

若a40,xe(0,+oo),/r(x)>0,

/(x)在(0,+8)單調遞增，且/(0)=1>0,

/W在(0,+8)不存在零點；

若a>0,xe(0,登,/(x)<0,xe(0,+w),((x)>0,

/(x)=2x3-ar2+1在(0,+")內有且只有一個零點，

嗎)=-*/+1=0,...4=3?

故選:A.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.

7.C

【解析】

套用命題的否定形式即可.

【詳解】

2

命題“VxeM,p(x)”的否定為“BxG”，所以命題“Vx>0,x(x+l)>(x-l)”的否定為

Fx>0,x(x+1)4(if”.

故選：C

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，屬于基礎題.

8.B

【解析】

分別比較復數(shù)二的實部、虛部與0的大小關系，可判斷出2在復平面內對應的點所在的象限.

【詳解】

因為。>1時，所以1一。<0,?2-1>0,所以復數(shù)二在復平面內對應的點位于第二象限.

故選：B.

【點睛】

本題考查復數(shù)的幾何意義，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.

【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角，其體積是正方體體積的，，剩余部分體積是正方體體積的2,所以截

去部分體積與剩余部分體積的比值為士，故選D.

5

考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.

10.D

【解析】

設。（與,％），聯(lián)立直線與拋物線方程，消去X、列出韋達定理，再由直線》=沖與拋物線的交點求出A

點坐標，最后根據(jù)18。|=3|得到方程，即可求出參數(shù)的值；

【詳解】

/、/\[x=my+m,

解：設。（9,％），由彳2_4，得》-4旭），-4m=0,

y--

2解得/〃或

vA=16/M+16/7?>0,<-16>0,Ayt+y2=4m,yiy2=-4m.

又由v24，得y-46》=0,工y=0或y=4AA^4w,4m],

-\BD\=3\OA\9

；?（1+而）（2-ya）=906/+16帆）

2

又???（乂-%）?=（y+%）—4必%=16〃+16帆,

...代入解得

8

故選：D

【點睛】

本題考查直線與拋物線的綜合應用，弦長公式的應用，屬于中檔題.

11.C

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質設出忸用，|伍|,利用勾股定理列方程，結合橢圓的定義，求得忸&=a=|B制.再利

用勾股定理建立“，c的關系式，化簡后求得離心率.

【詳解】

由已知忸/訃|AB|,|A閭成等差數(shù)列，=\AB\=x+d,\AF^=x+2d.

由于NAB乙=90°,據(jù)勾股定理有忸居即V+(%+d)2=(*+242,化簡得》=3d；

由橢圓定義知zMB外的周長為1+尤+〃+%+2d=3x+3d=12d=4。，有a=3d,所以冗=。，所以

忸招|=a=忸周:

在直角ABF,片中，由勾股定理，2a2=4c2,???離心率e=1

2

故選：C

【點睛】

本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質，屬于中檔題.

12.A

【解析】

X

試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即力：VxeR,sinxN].

2

考點：全稱命題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.14%

【解析】

設PA=x,可表示出PC,由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得

外接球表面積.

【詳解】

設PA=%則PC=x+1,PC=4-x,由PAPB,PC兩兩垂直知三棱錐P-ABC的三條棱PA,PB,PC的棱長的平方

和等于其外接球的直徑的平方.記外接球半徑為人

:.2r=^X2+(%+1)2+(4-%)2=A/3X2-6X+17

當x=l時，2%n=Vi7,%n=半，5&=4兀［半］=14兀?

故答案為：14%.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等

于這三條側棱的平方和.

14.6

【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍Be(0,4)可求3的值，利用正弦定理可求匕的值，

進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

解：,/2bcosB=acosC+ccosA,

由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

A+B+C=7V9

/.sin(A+C)=sin3,

1JI

又?.?Be(0,;r),.飛詁臺不0,...ZcosBul,即cosB=一，可得：B=一,

23

?.?△ABC外接圓的半徑為殛，

3

b

71~X3'解得h=2,由余弦定理匕2=/+。2一2accos8,可得/+C?-ac=4,又

sin—

2

.?.4=。2+<?2-ac..2ac-ac=ac(當且僅當”=c時取等號)，即就最大值為4,

.--AABC面積的最大值為」x4sinB=6.

2

故答案為：6

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應

用，考查了轉化思想，屬于中檔題.

15.V2

【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理求得c=2,再運用三角形的面積公式即可求得結果.

【詳解】

巧

解：由于a=sinA-——>b=瓜，

3

a<b>??A<B>cosA=—,

3

由余弦定理得逅=”+廠一",解得。=2,

32bc

^ABC的面積S=—x2xx=V2.

23

故答案為：72.

【點睛】

本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式，考查計算能力.

16.[0,+oo)

【解析】

分4<。兩種情況代入討論即可求解.

【詳解】

2,x>0

/(X)=<2八，

一,x<0

lx

當心0時，/(/(。))=〃2)=2>0,二心。符合；

當時，/(/(a))=/[Tj=a<0，二。<0不滿足

故答案為：[0,+8)

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的計算，考查了分類討論的思想.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）%+1=得；（2）證明見詳解，一，

【解析】

（1）根據(jù)25.一4=J,可得2S?+I-,然后作差，可得結果.

（2）根據(jù)（1）的結論，用〃+1取代〃，得到新的式子，然后作差，可得結果，最后根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式,

可得結果.

【詳解】

⑴由25n-an=J■①，則25“+]-%=卷②

②-①可得：2an+]-an+i+an=~~—}

b,,1

所以%+a.+i=一萬7

⑵由⑴可知：an+an+l=-^?

貝以+i+%+2④

則d=擊，且4+1=*

1

所以數(shù)列｛2｝是首項為:，公比為;的等比數(shù)列

【點睛】

本題主要考查遞推公式以及S“,4之間的關系的應用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.

9V

18.(1)?=1(2)g(x)=/(x)—2x(x>0)為減函數(shù)，〃(x)=y(x)------(x>0)為增函數(shù).(3)證明見

1+2%

解析

【解析】

(1)求出導函數(shù)/'(x),求出切線方程，令尤=()得切線的縱截距，可得。(必須利用函數(shù)的單調性求解);

(2)求函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的正負確定單調性；

5-2,,+|1■?”

(3)不等式一^<一一2變形為0“<*-,由g(x)遞減，得g(x)>g(0)=0(x>0),即〃x)<2x,即

2a”5

4=/(2%+1)<2%,依次放縮，4<2%a-<???<2"%=、.

1?r

不等式一一-------遞增得

2<0,h(x)=f(x)A(x)>/z(0)(x>0),

+先證，_2=7工_2<0,然后同樣放縮得出結論.

2x+lf(x)2x以x)2[x)%/(q)

【詳解】

2

解:(1)對〃x)=ln(2x+a)求導,得/(工)=二——.

2

因此八1)=T—.又因為/⑴=ln(2+a),

所以曲線y=/(x)在點處的切線方程為

2

y-ln(2+a)=------(x-1),

22

即>=----x+ln(2+a)--------.

2+。2+a

22

由題意，ln(2+a)--------=In3—,

2+Q3

顯然。=1,適合上式.

2

令(p(a)=ln(2+a)--------(a>0),

求導得“(a)=>0,

2+。(2+a)

因此。(。)為增函數(shù)：故。=1是唯一解.

2%

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+l)-2x(x〉0),〃(x)=ln(2x+l)----:—(x>0),

2x+l

所以g(x)=/(x)-2x(x>0)為減函數(shù).

因為”(x)>0,

2x+l(2x+l>(2x+l)

2x

所以h(x)=f(x)一——(x>0)為增函數(shù).

l+2x

2

(3)證明：由弓=1，4+1=/(%)=ln(2a,,+l),易得％〉0.

5-2,,+|J-2=4<二

2"an5

由（2）可知，8（%）=/（%）-2犬=111（2犬+1）-2X在（（）,+8）上為減函數(shù).

因此，當x>()時，g(x)<g(O)=O,即/(x)<2x.

令x=a,-(〃22),得/(??_])<%,i,即an<2an_].

2"

因此，當〃22時，a<2a?_<22a_<■■<2"-'a

n1n2}5

5-2'用

所以f-<---2成立.

冊

1-八

下面證明：----2<0.

4

2x2x

由(2)可知，〃(x)=/(x)-一—=ln(2x+l)一一=在(0,+8)上為增函數(shù).

2x+l2x+l

因此，當x〉0時，因”）>當0）=0,

2Y

即“X)>=>().

2x+l

1I,

因此----<----1，

/(x)2x

11

即-----2<---2I.

/（X）2\x

1c11c

令x=%("22),得-2<-------2,

2\an-\7

(1\

即----2<一-2

a

n27

當〃=2時,

J」-2=j2

an4/(《)

11cc

所以------2<0,所以—一2<o.

In1.8%

所以，當〃N3時，

所以，當“之2時，」--2<0成立.

5-21

綜上所述，當〃22時，f—<一―2<0成立.

2"4

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查用導數(shù)證明不等式.本題中不等式的證明，考查了轉

化與化歸的能力，把不等式變形后利用第(2)小題函數(shù)的單調性得出數(shù)列的不等關系：a?<2an_t,

1c1/1c、

一一2<彳(-----2)(〃22).這是最關鍵的一步.然后一步一步放縮即可證明.本題屬于困難題.

a“2%

3

19.(1)。“=3〃(〃=1,2,…)，么=3〃+2"T(〃=1,2L-)；(2)-n(n+l)+2w-1

【解析】

試題分析：(1)利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即得到結論；(2)利用分組求和法，由等差

數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求得數(shù)列｛"｝前n項和.

試題解析：

(I)設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,由題意得

■=1.Aan=ai+(n-1)d=ln

設等比數(shù)列｛bn-an｝的公比為q,則

a.4一3

-nlnn1

bnan=(bi-ai)q=2-1,Abn=ln+2

(II)由(I)知bn=ln+2n1..?數(shù)列｛In｝的前n項和為多(n+1),

1-on

數(shù)列｛2n-1｝的前n項和為1x2_二=2n-1,

1-2

二數(shù)列｛bn｝的前n項和為；S”=[忒〃+1)+2比一1

考點：1.等差數(shù)列性質的綜合應用；2.等比數(shù)列性質的綜合應用；1.數(shù)列求和.

「4、「3一

20.(1)(-OO,OJU-,+ooI(2)-2,--

【解析】

(1)代入。=一1可得Ix—11+12x—1的2對％分類討論即可得不等式的解集；

(2)根據(jù)不等式在；,3上恒成立去絕對值化簡可得|x+a區(qū)1再去絕對值即可得關于。的不等式組解不等式組即可

求得。的取值范圍

【詳解】

(1)當。=一1時，不等式/(x)N2可化為|x-l|+|2x—1巨2,

①當時，不等式為l—x+l-2x22,解得xWO；

2

②當，<x<l時，不等式為1一x+2x—122,無解；

2

4

③當xNl時，不等式為無一l+2x—122,解得

綜上，原不等式的解集為(-8,0]Ug，+8).

(2)因為/(x)<2x的解集包含于g,3,

則不等式可化為|x+al+2x-l<2x,

即|x+a區(qū)1.解得一a—1<xW—。+1,

",1

—a—1>—3

由題意知｛2,m-2<a<一一，

2

-a+l<3

'3'

所以實數(shù)a的取值范圍是-2,\.

【點睛】

本題考查了絕對值不等式的解法分類討論解絕對值不等式的應用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.

21.(1)①，③，④或②，③，④；(2)#).

【解析】

(1)由①可求得cos3的值，由②可求出角A的值，結合題意得出A+3>萬，推出矛盾，可得出①②不能同時成為

AABC的條件，由此可得出結論；

(2)在符合條件的兩組三角形中利用余弦定理和正弦定理求出對應的邊和角，然后利用三角形的面積公式可求出

AABC的面積.

【詳解】

(1)由①得,3(fl2+c2-Z>2)=-l4bac,

c3(a+Z?)\7

SPPJa~+c2—b~瓜

所以cosBD=--------------=------,

2ac3

A

由②cos2A+2cos2二=1得，2cOSA2+COSA-1=0,

2

]jr

解得cosA=-或cosA=-1(舍)，所以A=—,

23

因為cos8=—X5<—!，且8e(O,乃)，所以8>2%，所以A+5>萬，矛盾.

所以AABC不能同時滿足①，②.

故AABC滿足①，③，④或②，③