初中數(shù)學(xué)相似三角形簡答題訓(xùn)練含答案

初中數(shù)學(xué)相似三角形簡答題專題訓(xùn)練含答案

姓名：班級：考號：

一、解答題(共15題)

1、如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于力和3(—3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于C(0,

—3),對稱軸為直線x=-l,直線y=—2x+in經(jīng)過點(diǎn)A,且與y軸交于點(diǎn)D,

與拋物線交于點(diǎn)E,與對稱軸交于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)尸，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，

若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；

(3)直線y=1上有M、N兩點(diǎn)(M在N的左側(cè))，且如，=2,若將線段MN在

直線y=1上平移，當(dāng)它移動到某一位置時，四邊形，監(jiān)7W的周長會達(dá)到最小，請求出周

長的最小值(結(jié)果保留根號).

2、如圖，在中，AB為。。的直徑，直線DE與。。相切于點(diǎn)D,割線ACIDE

點(diǎn)E且交。。于點(diǎn)F,連接加.

(1)求證：AD平分ZBAC；

2）求證：DF2=SFAB.

E

D

3、如圖，某同學(xué)想測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.5

米，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在

墻上，他測得落在地面上影長為21米，留在墻上的影高為2米，求旗桿的高度.

'\

□□

□□

□□

□□

□□

4、如圖，半圓形薄鐵皮的直徑4?=8,點(diǎn)。為圓心(不與A,B重合)，連接/C并

延長到點(diǎn)〃，使4C=切，作DHLAB,交半圓、BC于點(diǎn)E,F,連接0C,NABC

=0,。隨點(diǎn)C的移動而變化.

(1)移動點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)，，B重合時，求證：AC=BC；

(2)當(dāng)0V45°時，求證：BH?AH=DH?FHx

(3)當(dāng)0=45。時，將扇形如。剪下并卷成一個圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面半徑和

IWJ.

5、如圖，利用標(biāo)桿區(qū)測量樓高，點(diǎn)4,D,6在同一直線上，DELAC,BCLAC,

垂足分別為￡，C.若測得AE=\m,D￡=1.5m,C￡=5m,樓高BC是多少?

6、在“BC中，AC=BC,ZACB=90°,點(diǎn)P與點(diǎn)0是線段加上的兩點(diǎn)，連接"，過

點(diǎn)A作于點(diǎn)M,過點(diǎn)Q作QW于點(diǎn)N.

(1)如圖1,若^BCP=22.5°,求證：CM=MP;

(2)如圖2,若3乎=產(chǎn)0,求證CM=QN.

(3)如圖3,若點(diǎn)0是線段AB的中點(diǎn),AM=3回,CM=乖,請直接寫出線段QV的

長度.

7、如圖，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，以AD為直徑的。。交AB于點(diǎn)E,

交4C于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FGLAB,垂足為，，交而于點(diǎn)。，交49于點(diǎn)〃，連接AG,

DE,DF.

BDC

(1)求證：^GAD+ZEDF=13Q°;

(2)若4CB=45。，4D=4,tanZABC=2,求郎的長.

8、如圖，圖①、圖②、圖③均為4x2的正方形網(wǎng)格，4ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.按

要求在圖②、圖③中各畫一個頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形.

要求：

(1)所畫的兩個三角形都與AABC相似但都不與AABC全等.

(2)圖②和圖③中新畫的三角形不全等.

圖③

9、類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案

例，請補(bǔ)充完整.

原題：如圖1,在平行四邊形中，點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段//上一點(diǎn)，BF

AF___CD

的延長線交射線CD于點(diǎn)、G.若礪一，求CG的值.

(1)嘗試探究

在圖1中，過點(diǎn)￡作EHHAB交BG于點(diǎn)、H,則45和EH的數(shù)量關(guān)系是,

CD

CG和EH的數(shù)量關(guān)系是,歷的值是.

(2)類比延伸

AF_=.>0CD

如圖2,在原題的條件下，若SF~m[m>則比的值是(用含有加的代

數(shù)式表示)，試寫出解答過程.

（3）拓展遷移

如圖3,梯形中，DCHAB,點(diǎn)E是8c的延長線上的一點(diǎn)，和相交于點(diǎn)

AB_-hAF

F.若而"，而一，（"0Q0）,則礪的值是（用含“、&的代數(shù)式表

示）.

10、已知：如圖，點(diǎn)DF在NABC的邊AB上，點(diǎn)E在邊AC±,且應(yīng)<<BC.

(1)若46=6,BC=4,BD=2,求.DE的長;

AF_AD

(2)若AD~7B,求證：EFHDC.

11、已知：如圖，在梯形ABCD中，ADHBC,點(diǎn)E在邊AD±,CE與BD相交于點(diǎn)F,

4〃=4,AB=5,BC=BD=6,DE=3.

(1)求證：ADFESaDAB.

(2)求線段CF的長.

12、如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對面大廈的V的頂端M,無人機(jī)飛行方向與水

平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測得大廈底部N的俯角為31°,兩樓之間一棵樹EF

FN_1

的頂點(diǎn)E恰好在視線4V上，已知樹的高度為6米，且樓AB,助￥,樹）均

垂直于地面，問：無人機(jī)飛行的距離44約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：

cos31°七0.86,tan31°=0.60,cos37°=0.80,tan370=0.75）

12

13、如圖，拋物線‘一一5'+以+與x軸交于,

AB兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與

》軸交于點(diǎn)C，直線V=x-2與軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E,與直線BC交于點(diǎn)F.

(1)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是;

(2)如圖1,點(diǎn)尸為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，PF的延長線交加于點(diǎn)0,PMLBC

PM_11

于點(diǎn)M,QN工BC于點(diǎn)、N,W-4,求點(diǎn)p的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動點(diǎn)G從點(diǎn)

w-tanNSEG=—

E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒4點(diǎn)個單位長度的速度運(yùn)動，當(dāng)防=SG,且2

時，求點(diǎn)G的運(yùn)動時間.

14、一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護(hù)的古樹的高，在6處放置一個小平面鏡，

當(dāng)一位同學(xué)站在F點(diǎn)時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端4的像，此時測得FG=

3m,這位同學(xué)向古樹方向前進(jìn)了9m后到達(dá)點(diǎn)D,在.D處安置一高度為1m的測角儀

CD,此時測得樹頂A的仰角為30°,已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離EF=1.5m,

點(diǎn)8,D,G,F在同一水平直線上，且45,CD,EF均垂直于BF,求這棵古樹AB

的高.(小平面鏡的大小和厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號)

15、定義：把經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)并與其對邊所在直線相切的圓叫做三角形的“切接

圓”.根據(jù)上述定義解決下列問題，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,設(shè)△ABC的

“切接圓”的半徑為r.

(1)如圖1,△ABC的“切接圓”的圓心D在邊AB上，求r；

(2)如圖2,請確定r的最小值，并說明理由；

(3)如圖3,把△ABC放在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)B與原點(diǎn)0重合，點(diǎn)C落在x

1

20

軸正半軸上.求證：以拋物線y=-8(x、-3)+2上任意一點(diǎn)為圓心都可以作4ABC的“切接

圓”.

===========^：^?^^^^============

一、解答題

1、(1)y=(x+l)2-4；片2；(2)存在，尸(0/2)或(0,145)；(3)10收+4舟2

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的對稱性求出A(1,0),再利用待定系數(shù)法，即可求解；再把點(diǎn)A

坐標(biāo)代入直線的解析式，即可求出in的值；

(2)先求出夕(-5,12),過點(diǎn)￡作9，y軸于點(diǎn)P,從而得△助皿她0,

即可得到。的坐標(biāo)，過點(diǎn)片作EP'LAE,交y軸于點(diǎn)P',可得^P'D^ADO,再利用

tanZADO=tanZPEP),即可求解；

(3)作直線y=l,將點(diǎn)尸向左平移2個單位得到尸，作點(diǎn)E關(guān)于y=l的對稱點(diǎn)S',

連接屈產(chǎn)與直線y=l交于點(diǎn)〃，過點(diǎn)產(chǎn)作FN//FF,交直線y=l于點(diǎn)"，在及川即

中和助團(tuán)即，中分別求出EF,EF,進(jìn)而即可求解.

【詳解】

(1)解：?；二次函數(shù)的圖象與x軸交于1和3(—3,0)兩點(diǎn)，對稱軸為直線

x=-1,

：.A(1,0),

設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a(x-l)(x+3),把C(0,-3)代入得：-3=a(0T)(0+3),

解得：a=1,

二二次函數(shù)解析式為：y=(xT)(x+3),即：＞=5+1)'-4,

直線y=-2x+m經(jīng)過點(diǎn)A,

.*.O=-2X1+m,解得：m=2；

(2)由(1)得：直線AF的解析式為：y=-2x+2,

又：直線y=-2x+2與y軸交于點(diǎn)D,與拋物線交于點(diǎn)E,

...當(dāng)x=0時，y=2,即〃(0,2),

P=-2x+j卜-5h=l

聯(lián)立ly=(x+l『-4,解得：〔乃=12.U=°,

?.?點(diǎn)E在第二象限，

，E(-5,12),

過點(diǎn)￡作日0_Ly軸于點(diǎn)P,

VZADO=ZEDP,ADOA=ADPE=90°

^EDP^AADO,

：.P(0,12)；

過點(diǎn)E作EP'kAE,交y軸于點(diǎn)P',可得APQ￡SA*。,

VZEDP+/PED=2PEP+/PED=90°

AZADO=ZEDP=NPEP',即：tanZADO=tanZPEP,

OA_PP'1_PP'

：.OD~1P,即：2~~,解得：PP'=2.5,

：.P(0,14.5),

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,12)或(0,14.5)；

(3)?.?點(diǎn)《、尸均為定點(diǎn),

二線段)長為定值，

：MN=2,

當(dāng)EM+AV為最小值時，四邊形M67W的周長最小,

作直線y=1,將點(diǎn)F向左平移2個單位得到F',作點(diǎn)￡關(guān)于y=1的對稱點(diǎn)F,連

接歹尸'與直線y=1交于點(diǎn)"，過點(diǎn)F作FNHEF,交直線y=1于點(diǎn)N,

由作圖可知：EM=E'M,F'M=FN,

又?；E',M,尸三點(diǎn)共線，

，EM+FN=EM”M=EF,此時，EM+胡的值最小，

???點(diǎn)F為直線y=-2x+2與直線x=-1的交點(diǎn)，

.?.尸(T,4),

F'(-3,4),

又；6(-5,12),

Z.￡(-5,-10),

延長FF交線段EV于點(diǎn)W,

???F/與直線y=1平行，

FW±EE',

在即中，由勾股定理得：EF=』12-4「+(7+5)2=44,

在跖㈤筋，中，由勾股定理得：E'F'=J(4+10)2+(-3+59=10晚，

四邊形的W的周長最小值=ME+FN+EF+MN=后曾'+g+胸=10■+4君+2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，添

加輔助線，利用軸對稱圖形的性質(zhì)，構(gòu)造線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵.

2、(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)連接切，然后根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得到乙ODA二乙DAC,再根

據(jù)0A=0D,可以得到ZOAD=ZODA,從而可以得到ZDAC=ZOAD,結(jié)論得證；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到DB?DF=EF-AB,再根據(jù)等弧所對的

弦相等，即可證明結(jié)論成立.

【詳解】

解：(1)證明：連接0D,如圖所示，

直線應(yīng)與。。相切于點(diǎn)D,AC工DE,

：.AODE=ZDEA=90°,

/.OD//AC,

AZODA=ZDAC,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

AZDAC=NOAD,

/.AD平分ZBAC；

(2)證明：連接OF,BD,如圖所示,

?；AC±DE,垂足為E,是。。的直徑，

AZDEF=AADB=90°,

VZEFD+ZAFD=180°,ZAFD+ZDBA=180°,

:EFD=2DBA,

EFDs、DBA,

EF_DF

：.DB=^AB,

:.DB?DF=EF?AB,

由（1）知，AD平分ZBAC,

AZFAD=ZDAB,

，DF=DB,

：.DF2=EF'AB.

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，解答本

題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

3、16米

【分析】

過。作CE工AB于E,首先證明四邊形CDBE為矩形，可得劭=2=21,CD=BE

J__￡

=2,設(shè)=x,則13=21,求出x即可解決問題.

【詳解】

解：過。作CF_L48于",

■:CD工BD,AB1.BD,

：.4EBD=4CDB=4CEB=90°,

四邊形CDBE為矩形，

:.BD=CE=,CD=BE=2,

設(shè)/￡=x,

1_X

???15-21,

解得：x=14,

Z.旗桿的高AB=AE+BE=14+2=16米.

、\

□□

□□

□□

□□

□□

」......g

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問

題，學(xué)會利用物長：影長=定值，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

4、(1)見解析(2)見解析(3)底面半徑為1,高為歷

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解；

(2)證明△BFHDAH,即可求解；

(3)根據(jù)扇形與圓錐的特點(diǎn)及求出圓錐的底面半徑，再根據(jù)勾股定理即可求出圓錐的高.

【詳解】

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)H,B重合時，DH±AB

/.△ADB是直角三角形,

；AC=CD,

：.8C是△ADB的中線

-AD=AC

：.BC=2

，AC=BC

(2)當(dāng)6V45。時，DH交半圓、BC于息E,F,

'：AB是直徑

AZACB=90°

,/DHA.AB

AZB+/A=/A+/D=90°

,*.ZB=ZD

VZBHF=4DHA=90°

?.△BFHs*DAH,

BH_FH

:.BH?AH=DH?FH；

(3)VZABC=Q=45°

AZAOC=2ZABC=90°

"/直徑AB=8,

/.半徑OA=4,

設(shè)扇形的。卷成圓錐的底面半徑為r

,90x?rx4c

IAFC=-----------=2.7VT

：.180

解得r=1

，圓錐的高為歷二F=和.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查圓內(nèi)綜合求解，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)及弧長的求解與圓錐的特點(diǎn).

5、樓高BC是9米.

【分析】

AE_DE

先求出力。的長度，由DE//BC,得到AC=~BC,即可求出3。的長度.

【詳解】

解：AE=Im,CE=5m,

AC=6/n,

?.?DELAC,BCLAC9

：.DE//BC,

???△ADEs*ABC,

AE_DE

：.AC~~BC9

,.?DE=1,5m9

1_1.5

???6-5C,

???5C=9；

??樓高BC是9米.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

gw=-Vio--

6、(1)見解析；(2)見解析；(3)2~2

【分析】

(1)證明乙4。尸=乙4比=67.5。，得MOP是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”

的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

(2)延長CP到點(diǎn)G,使PG=PN,連接BG,證明尸GwAQW得NB3=NQ*=90。，

BG=QN,再證明AC4M三ABCG得CM二BG,從而可得結(jié)論；

(3)延長AM,QN,分別交BC于點(diǎn)、E,F,由勾股定理求出爾7=4"，得BC=4巫,

ME=^-AE=—yfiO

證明LCME-LAMC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出5,5“，再證明

&QFB,求出QF=M如，EF=2"*,CF=2#+；,再利用ACME八CNF可

求出版的值，最后根據(jù)QN=QF-5計(jì)算即可

【詳解】

解：(1)在AHBC中，AC=BC,^ACB=90°,

：.ZABC=ZCAB=45°

'：^BCP=22.5°

；.zLAPC=^BCP+Z.B=22.5°+45°=67.5°

,,,乙4cB=90。

二ZACP=ZACB-ZBCP=90°-22.5°=61.5°

：.ZACP=ZAPC=61.5°

：.AC=AP

：AMJ.CP

:.CM=MP.

(2)延長CP到點(diǎn)G,根PG=PN,連接BG,如圖,

C

?.?PB;PQ,4BPG=4NPQ

.?.LBPG=LQPN{SAS}

.?.NBG尸=NQNP=90。，BG=QN

ABCG+ZACG=90°,ZL4CG+ZCAM=90°

ZCAM=BCG

在ACL4Af和LBCG^

'AC=BC

<乙CAM=^BCG

&MC=4CGB

：.bCAM三卜BCG

：.CM=BG

?.?BG=QN

.??CM=QN

(3)延長AM,QN,分別交BC于點(diǎn)、E,F,

A

AMA.CP,,AM==,

...AC=^AM2+CM2=7(3V10)2+(x/6)2=4.76

/.BC==4幾

,,,Z.CAM+AACM=AACM+ABCP=90°

/.乙CAM=4BCP

又；ZAMC=ZCME

：.LCME-LAMC

AM_MC3西一下

：.,gp乖ME

Affi二亞

，5

.AE=AM+ME=3yfiO+^-=^^-

??55

丁QNLCP,AM工CP

JQNHAM

.?.LAEB~bQFB

BE_AE_AB

.?.而一而一礪

VQ為AB的中點(diǎn)

需=2

：.軟2

,FT

?；箓=2

BF二、BE

2

CE=JAE2-AC2=^^-

EF=^BE=^(BC-CE)=^x(4y/6-^J^)=2y/6-^^-

CF=CE+EF=2遙+^~

5

?.?AEHQF

：.hCME八CNF

CE_MF

I聲

NF

率+2擊

四亭+吟

麗Qf_如乎考+曙)=灑邛

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)與運(yùn)用，全等三角形

的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

6-

7、(1)見解析；(2)亍

【分析】

(1)就是。。的直徑，可以得到乙傷。=90。，推出乙4期=乙例F,再用平行線的判定

和性質(zhì)可求出NG4Q+NE。尸=180。；

(2)連接⑺，得到AD=CD,由于如是。。的直徑，得到DFLAC,OA=OD,

。門⑷°,用平行線的判定得到4。尸=90。，再用角之間的關(guān)系證明XFMgXABD,再用相

似三角形的性質(zhì)，證明舷s△9O般就可求出HF.

【詳解】

如圖

存案圖2

解：（1）證明：?.?的是。。的直徑,

..ZAED=90°.

???FG^AB,

AAHF=90°,

;&ED=&HF,

DEIIGF,

ZSDF+ZDFG=180°.

?:乙GAD=4DFG,

..ZCL4D+Z￡DF=180°.

(2)連接O/L

,:AD是回邊上的高,

乙40(7=90。.

vZZC5=45°,

^CAD=ZACB=45°.

..AD=CD.

?.?』少是。。的直徑，

ZAFD=90°f

DF±AC,

AF=CF.

?：OA=OD9

OFIIDC.

AAOF=90°.

..4MFO+4FMO=90°.

???乙4HAf=90。，

/MAH+ZAMH=9。。.

?：Z.FMO=AAMH,

乙MFO=LMAH,

-ZMFO=ZBAD.

Q

?：ZFOM=ZADB=909

:.^FMO^ABD,

.MO_FO

"~BD~7D.

AH

—nA,CC?vtan乙ABD=

在RtA加?中，BD,AD=A,tan乙48c=2,

BD=2,OF=OA=2,

M0

,-=4,

MO=\,

..AM=1.

在Rt△陽OF中，-MF=^OM2+OF2,

==5

???&HM=ZFOM=90°,ZAMH=Z.FMO,

XAHMsXFOM,

.HM_AM

HM1

十下，

HM點(diǎn)

HF=HM+MF=^-+>j5=^-

55.

【點(diǎn)睛】

此題考查圓的性質(zhì)和相似三角形的證明的綜合運(yùn)用，熟悉掌握相似三角形的性質(zhì)和靈活作輔

助線是解題的關(guān)鍵.

8、作圖見解析.

【分析】

將原三角形的三邊分別擴(kuò)大0和2倍即可得.

【詳解】

如圖，Z\AiB<i和AA2B42即為所求作三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-相似變換：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮

小得到.本題從ZACB=135°,AC：BC=及:1找到突破口.

3m

9、(1)AB=3EH；CG=2EH；2；(2)I；(3)

【分析】

絲-3

(1)本問體現(xiàn)“特殊”的情形，聲一是一個確定的數(shù)值.如答圖1,過E點(diǎn)作平

行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來

表示，最后求得比值；

-A-F--yyi

(2)本問體現(xiàn)“一般”的情形，SF--不再是一個確定的數(shù)值，但(1)問中的解題

方法依然適用，如答圖2所示.

(3)本問體現(xiàn)“類比”與“轉(zhuǎn)化”的情形，將(1)(2)問中的解題方法推廣轉(zhuǎn)

化到梯形中，如答圖3所示.

【詳解】

解：(1)依題意，過點(diǎn)￡作EHHAB交于點(diǎn)H,如圖1所示.

則有NABFfEHF,

ABAFr

：.EHEF,

JAB=3EH.

?.?aABCD,EHUAB,

：.EHUCD,

又???E為3C中點(diǎn)，

???EH為"CG的中位線，

CG=2EH,

CD__AB_3EH_3

CG~CG~2EH~2.

3

故答案為：AB=3EH；CG=2EH；2.

(2)如圖2所示，作EHIIAB交于點(diǎn)H,則XEFHnAFB.

ABAF

-----=-----=m

：.EHEF,

AB=?nEH.

AB=CD,

...CD=mEH.

丁EH//AB//CD,

：.ABEH^hBCG.

CGBCc

/.EHBE,

.?.CG=2EH.

CD_mEH_m

：.CG~2EH

m

故答案為：萬.

(3)如圖3所示，過點(diǎn)E作EHiiAB交必?的延長線于點(diǎn)H,則有EHf/AB//CD.

,/EHUCD,

：.ABCD~^.BSH,

CDBC,

----=-----=￡?

???EHBE,

?,.CD=bEH.

AB

-r-J-=a

又CD,

AB=aCD=abEH.

?.?EH3AB,

：.^ABF^EHF,

AFABabEH,

-----=-----=--=ab

：.EFEHEH.

故答案為：ab.

c

圖1

【點(diǎn)睛】

本題的設(shè)計(jì)獨(dú)特：由平行四邊形中的一個特殊的例子出發(fā)(第1問)，推廣到平行四邊形中

的一般情形(第2問)，最后再通過類比、轉(zhuǎn)化到梯形中去(第3問).各種圖形雖然形

式不一，但運(yùn)用的解題思想與解題方法卻是一以貫之：即通過構(gòu)造相似三角形，得到線段之

間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系均統(tǒng)一用同一條線段來表達(dá)，這樣就可以方便地求出線段的比

值.本題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)的類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，有利于學(xué)生觸類旁通、

舉一反三.

8

10、(1)3；(2)見解析

【分析】

(1)根據(jù)DEI/BC,可得△QRsLABC,根據(jù)比例式代入求值，進(jìn)而可得DE；

ADAE

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可得AB=AC,結(jié)合已知條件即可證明△/物S△⑷?C,進(jìn)而可

得ZAFE=ZADC,進(jìn)而判斷EFHDC.

【詳解】

?;DE//BC,

：.LADEABC,

AD_DE

.AB-BD__DE

"AB"5C,

6-2_DE

即T=~,

DE=-

解得3；

(2)?:△ADE'ABC、

AD_AE

AC,

AF_AD

■：'AD~'AB,

.AE_AF

'AC~AD,

又ZFAE=ZDAC,

■△AFB^XADC,

AAFE=AADC,

EF'UDC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11、(1)見解析；(2)5

【分析】

DFDE_3DF_DB

(1)AD//BC,DE=3,BC=6,7B~BC~6~2'DA~DB.又ZEDF=4BDA,

即可證明△DFEs*DAB.

(2)由△△為s,利用對應(yīng)邊成比例，將已知數(shù)值代入即可求得答案.

【詳解】

證明：(1)AD//BC,DE=3,BC=6,

DF__3_1

DF_1

~BD=3,

"：BD=6,

...DF=2.

,?DA=4,

DF_2_\DE_3

DA42rDB62.

DF_DE

：.~DA~~DB.

又,：4EDF=4BDA,

???△DFEs*DAB.

(2)'：△DFEs*DAB,

EF_DE

：.詬一麗,

;AB=5,

EF_3

：.~~6,

5

.?.EF=2=2.5.

??,DE//BC.

CF_BC

：.EF~~DE.

CF_6

：.Z5=3,

???CF=5.

【點(diǎn)睛】

此題考查學(xué)生對梯形和相似三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，第（2）問也可利用△CFB

BAD求得線段CF的長

12、38米

【分析】

過A作于C,易證△邪酌得抽=3即'=185）,則卯=1.，再由銳角三角

函數(shù)求出力。。。（⑼，然后在Rt"CW中，由銳角三角函數(shù)定義求出期的長即可.

【詳解】

解：過A作血于C,如圖所示：

M

則CN=AB,AC=BN,

FN_1

vTF-2,

-JW=—1

.?網(wǎng)3,

由題意得：即=6m,AB工BN,EFLBN,

/.AB!IEF,

—EF=-F--N-=_1

ABBN3,

.的=3町=18（根）

/.OV=18m,

OV3

tanZCW=tan31°k0.60=

在Rt△工C曾中,AC5

^<7：5|0/=^18=30(?1)

AC4

4f,cosZAMC=_=cos37°?0.80=Z.

在3.UACM中，AM5,

:j4A/a:4°=尹30*38(旅)

即無人機(jī)飛行的距離期約是38m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，相似三角形的應(yīng)用等知識，正確作出輔助

線構(gòu)造直角三角形，證明△的341成是解題的關(guān)鍵.

1515

13、(1)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(4,2)；(2)Z5](1,萬)，尸2(3,5)；

(3)2秒

【分析】

12

(1)先由拋物線'=一萬'+以+6求出夕6,0),CQ6),再求出直線8c的解析式為

(y=-x+6

y=-x+6,聯(lián)立V=x-2即可求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)P作PG_Lx軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)F作由J_x軸交于點(diǎn)H,證明△的衣必。物,

15

竺=*空=*JDG=15

得QF4,再由陽〃PG,得PG~15,可求一下即為P點(diǎn)縱坐標(biāo)為萬，則可求得點(diǎn)

P的坐標(biāo)；

(3)過點(diǎn)S作SKLEG于點(diǎn)、K,SHJ.X軸于點(diǎn)H,交EG于點(diǎn)L,證明是等腰直

角三角形，應(yīng)為等腰直角三角形,△血為等腰直角三角形，則有LK=SK=^t,

SL=y/2SK=2t,&=氏EH=LH=t,。方=t+2,m=3t,求出S(“2,3t),最后將點(diǎn)S的坐

標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求得。=2,則可得點(diǎn)G的運(yùn)動時間為2s.

【詳解】

1

,.v=-—x0+2x4-6,

解：(1)在拋物線2中,

.n.x2+2x+6=0

令則2,

解得：x=-2或x=6,

—,8(6,0),

令x=o,則y=6,

.C(0,6),

在直線y=x-2中，令7=0；則x=2,

?-.E(2,0),

令x=o,則y=-2,

二QQ-2),

設(shè)直線8。的解析式為八炊+b,

將5(6,0),50,6)代入，

p=6

得：(62=0,

k=-1

b=6

?,?直線BC的解析式為y=f+6,

p=r+6

聯(lián)立&=?2,

-=4

解得l?=2,

"(4,2),

故答案為：(4.2)；

(2)如圖1,過點(diǎn)尸作產(chǎn)GJ_x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作FHJLx軸于點(diǎn)H,

,:PM1BC,QNLBC,

ZPMF=@IF=gN,

又-;4PFM=4QFN,

APMF^AQNF,

PMPF

：.凈二等,

PM

???西一彳，

空=11

：.麗="

-FH//PG,

FQFH=4

：,旃=麗='

?:FH=2,

P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,

.--x2+2x+6=—

令22,

解得：演=1,覆=3（均滿足x>0）,

1515

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為尸|（1,萬），〃2（3,5）；

（3）如圖2,過點(diǎn)S作SK_LEG于點(diǎn)K,SH_Lx軸于點(diǎn)H,交友?于點(diǎn)L,

由題意得,EG=4?

,:SE=SG,SKLEG,

EK=GK」EGSt

..,tanz^SSG=—=—

在Rt△甌K中，EK2,

???￡(2,0),50,-2),

OE=OD,

工?？谑堑妊苯侨切?

ZO￡D=45°,

ZKEH=/OED=45。，

二.△次為等腰直角三角形，

"LK=/ELH=45。,

???ASZK為等腰直角三角形，

LK=SK=&t,SL=aSK=%,

￡L=EK-LK=@t,

EH=LH=t,

OH=0E+EH=t+2,SH=SL+LH=今，

??S（t+2J）,

12

—rc、,y=-—x+2x4-6

將S（t+2用代入了2,

殂Y（t+2）?+2（t+2）+6=3T

解得：仁2或t=-8（舍），

二點(diǎn)G的運(yùn)動時間為2s.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)