八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)提升 期末復(fù)習(xí)（含解析）

八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)提升

期末復(fù)習(xí)(含解析)

專(zhuān)題23強(qiáng)化提高(1)

知識(shí)要點(diǎn)

1.幾何的綜合題在分析與解題的過(guò)程中要能夠剝離出基本圖形，比如“平分線(xiàn)，平行線(xiàn)，

等腰三角形”“直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半”“手拉手”“一線(xiàn)三等角”等，如

圖.

倍長(zhǎng)中線(xiàn)法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法

對(duì)稱(chēng)補(bǔ)缺法

構(gòu)造全等的

方法依然很

重要

RtAXBC,雙中點(diǎn)，單中點(diǎn)補(bǔ)中點(diǎn)

M是斜邊AB的中點(diǎn),①缺中位線(xiàn)補(bǔ)中位線(xiàn)

連接CM②缺第三邊補(bǔ)第三邊

2.輔助線(xiàn)的添加是解決幾何綜合題的關(guān)鍵，基本策略仍是構(gòu)造全等，輔以中點(diǎn)的使用.

3.坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)坐標(biāo)若是橫、縱坐標(biāo)出現(xiàn)了參數(shù)，則一般情況下應(yīng)想方設(shè)法將縱坐標(biāo)表示

成關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)，并注意換元法的使用.

典例精析

例1如圖①，在AACB和△AEO中，AC=BC,AE=DE,NACB=/AE￡>=90。，點(diǎn)E在

A8上，尸是線(xiàn)段8D的中點(diǎn)，連接CE,FE.

(1)請(qǐng)你探究線(xiàn)段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖①中的△AEQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使的一邊AE恰好與AACB的邊AC在同

一條直線(xiàn)上，如圖②.連接B。，取BD的中點(diǎn)凡問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理

由.

(3)將圖①中的△△即繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度，如圖③，連接BO,取8。的中點(diǎn)H

問(wèn)(1)中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由

【分析】在解(1)(2)時(shí)，由于圖形結(jié)構(gòu)比較特殊，所以圖①可以通過(guò)直角三角形斜邊上的中

線(xiàn)性質(zhì)解決，圖②則可以通過(guò)補(bǔ)全全等來(lái)轉(zhuǎn)化，而第(3)題在圖形一般化時(shí)可以考慮添加中

位線(xiàn)或者通過(guò)補(bǔ)全“手拉手”基本圖來(lái)實(shí)現(xiàn)線(xiàn)段的轉(zhuǎn)化.

【解】(1)如圖①，連接CF，NBED=NACB=90°

?.,點(diǎn)尸是8。的中點(diǎn)，：.CF=EF=FB=FD.

,：NDFE=ZABD+NBEF,NABD=NBEF,

ZDFE=2ZABD.同理/CFO=2NC8O.

ZDFE+NCTO=2(NAB￡>+ZCBD)=90°,

即NCFE=90°

Cfi2=#+E產(chǎn).CE=V2EF.

①②③

(2)如圖②，連接CF,延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G.

VZACB=ZAED=90°,J.DE//BC.

：.ZEDF=NGBF.

,:NEFD=NGFB,又DF=BF,:.△EDFgAGBF.

:.EF=GF,BG=DE=AE.

"：AC=BC,：.CE=CG.

.?./EFC=90°,CF=EF.

ACE尸為等腰直角三角形.

AZC￡F=45°,CE=42EF

(3)法一：如圖③，取A￡>的中點(diǎn)M,連接EM,MF,取A3的中點(diǎn)N,連接FN,CN,

CF,MF與CN相交于點(diǎn)K.

'：DF=BF,J.FM//AB,且FA7=」AB.

2

：.AE=DE,NAE￡>=90°,

：.AM=EM,NAME=90°,

：.CA=CB,/ACB=90°,：.CN=AN^-AB,/ANC=90

2

:.MF"AN,FM=CN=AN.

：.四邊形MFNA為平行四邊形.

：.FN=AM=EM,NAMF=NFNA

：.ZEMF=NFNC.：.AEMF9叢FNC

：.FE=CF,ZEFM=ZFCN.

又M尸〃AMZANC=90°,

：.NCKF=90°

:.NFCN+NKFC=90°,

/.ZEFM+ZKFC=90°,

Z￡FC=90°.

...△CEF為等腰直角三角形.

：.ZCEF=45Q.：.CE=y/2FE

法二：如圖④，補(bǔ)全“手拉手”圖形.連接CF,延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G,使FG=EF,連接BG,

CG.延長(zhǎng)AE分別交BC,BG于點(diǎn)K,H,易證△￡)￡：/也△BGF,：.BG=AE,DE//BG.：.

NDEH=NEHB=90°,從而NHBK=NCAK.又4c=8C,AAACE^/XBCG.

：.CE=CG,NECG=90°.：.CE=yjlFE

【點(diǎn)評(píng)】幾何綜合題的輔助線(xiàn)添加是建立在對(duì)基本圖形進(jìn)行生成或者還原的基礎(chǔ)上再加以解

決的.

拓展與變式1已知正方形ABC。和正方形CGEF,且。點(diǎn)在C尸邊上，M為AE的中點(diǎn)，連

接MD,ME.

(1)如圖①，請(qǐng)直接給出線(xiàn)段用。，例尸的數(shù)量及位置關(guān)系：.

(2)如圖②，把正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，貝1](1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；

若不成立，請(qǐng)給出你的結(jié)論并證明.

【答案】1)MD=MF,MDA.MF.

(2)解:尸，尸仍成立，

證明:如圖，延長(zhǎng)OM到N,使。.連接尸。，F(xiàn)N,EN,延長(zhǎng)EN與OC相交于點(diǎn)

是中點(diǎn)，：.MA=ME,ZAMD=ZEMN,MD=MN.

：./\AMD^AEMN

NZMM=NNEM,AD=NE.

又V在正方形ABCD和CGEF中,

CF=EF,AD=DC,ZADC=90°,

NCFE=NADC=NFEG=NFCG=90°,

:.DC=NE

VZDAM=NNEM,：.AD//EH.

；.NEHD=NADC=90°

VNCKH=NEKF,：.NKCH=NKEF.

又DC=NE,:ADCFqANEF.

：.FD=FN,NDFC=NNFE.

VZCFE=90°,

:.ZDFN=90.

：.FMLMD,MF=MD.

拓展與變式2已知：△ABC中，以AC,BC為邊分別向外作等邊△AC。和BCE,M為CD

中點(diǎn)，N為CE中點(diǎn),P為A8中點(diǎn).

(1)如圖①，當(dāng)NAC8=120°時(shí)，NMPN的度數(shù)為.

(2)如圖②，當(dāng)/AC8=a(0°<?<180°)時(shí)，/MPN的度數(shù)是否變化？給出你的證明.

【答案】⑴60。

(2)取AC,5c的中點(diǎn)分別為K,T,如圖，連接MK,KP,PT,TN.

'：MK是等邊△AC。的中位線(xiàn)，

MK=-AZ)=1AC,MK//AD,

22

PT是△A5C的中位線(xiàn)，

：.PT=-AC,rr/ZAC.

2

：.MK=PT.

同理:KP=NT.

四邊形CKFT是平行四邊形，，ZCKP=NCTP.

:.ZMKC+ZCKP=NCTN+NCT尸，

即NMKP=/PTN.

:.AMKP^APTN.:.NKMP=NTPM

,.,PT〃4C,

:.NCAB=NTPB

'：ZMKC+NCKP+ZKMP+ZKPAf=180°,

又NMKC=60°,

：.ZCKP+ZKMP+NKPM=120°,

NCKP=NCAB+ZKPA,

:.ZCAH+ZKPA+ZKMP+ZKPA/=120°

■:NKMP=NTPN,ZCAB=ZTPB,

...NTP5+NKA4+NTPN+NKPM=120°,

：.ZMPN=60°.

【反思】利用中點(diǎn)構(gòu)造全等，現(xiàn)在我們除了可以考慮補(bǔ)全“手拉手”基本圖之外，還可以通

過(guò)構(gòu)造中位線(xiàn)解決問(wèn)題.

例2如圖,在線(xiàn)段AB的同側(cè)作射線(xiàn)AM和BN,若NMAB與NNBA的平分線(xiàn)分別交射線(xiàn)BN,

AM于點(diǎn)E,F,4E和8尸交于點(diǎn)P.點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線(xiàn)AM,8N交于點(diǎn)C,且NACB=

60°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：①NAPB=120°；@AF+BE=AB.那么，當(dāng)AM〃BN時(shí)：

(1)點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)求出/AP8的度數(shù)，寫(xiě)

出AF,BE,A8長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并給出證明；

(2)設(shè)點(diǎn)。為線(xiàn)段AE上一點(diǎn)，QB=5.若AF+BE=16,四邊形ABEF的面積為32G,求

AQ的長(zhǎng).

【分析】先畫(huà)出當(dāng)AM〃而V時(shí)的圖形，根據(jù)基本圖發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的相等線(xiàn)段，再由此判斷四

邊形A8E尸的形狀，利用勾股定理完成計(jì)算.

【解】(1)原命題不成立.

如圖①，"."AM//BN,：.ZMAB+ZNHA=]80°,

'：AE,BF分別平分/M48,/NBA,

：.ZEAB=-ZMAB,NFBA=L/NBA,

22

AZEAB+ZFBA=-(ZMAB+ZNBA)=90°,

2

AZAPB=90°,

,：AE平分NM4B,

NMAE=NBAE.

'SAM//BN,：.ZMAE=ZBEA.：.ZBAE=ZBEA.：.AB=BE.

同理：AF=AB.：.AF=BE=AB.

(D②③

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)尸作尸于G.

①當(dāng)點(diǎn)G在A2上時(shí)，'：AF=BE,AF//BE,

：.四邊形ABEF是平行四邊形.

'：AF=AB,四邊形4BEF1是菱形.

'：AF+BE=\6,：.AB=AF=BE=S.

,：8FG=32也,：.FG=4B：.AG^\lAF2-FG2=4.

：.GB=4.：.FB=dGB2+FG?=8.

：.AF=FB=AB.：.ZFAB=60°.

ZPAB=30°.：.PB=4.

：?PQ=ylQB。-B產(chǎn)=3.

：.AQ=APPQ=4^±3.

②當(dāng)點(diǎn)G在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖③，ZMB=120°.

,:PB=4+>5,二線(xiàn)段4E上不存在點(diǎn)Q.

綜上所述，A。的長(zhǎng)為4G±3.

【點(diǎn)評(píng)】動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題在計(jì)算過(guò)程中要注意分類(lèi)討論，特別在需要畫(huà)圖時(shí).

拓展與變式3一張矩形紙片ABCD,已知AB=8,AD=1,E為4B上一點(diǎn)，AE=5,現(xiàn)要

剪下一張等腰三角形紙片(△AEP),使點(diǎn)P落在矩形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形

AEP的底邊長(zhǎng)是.

【答案】5&或46或5

拓展與變式4在矩形ABCZ)中，AO=5,AB=4,點(diǎn)E,P在直線(xiàn)AO上，且四邊形8CFE

為菱形.若線(xiàn)段所的中點(diǎn)為點(diǎn)M,則線(xiàn)段AM的長(zhǎng)為.

［答案］0.5或5.5

【反思】分類(lèi)討論是平行四邊形計(jì)算或者證明問(wèn)題中的重要方法，是解決問(wèn)題的一種基本思

路.

例3無(wú)論“取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(a—1,2“一3)都在直線(xiàn)/上，Q(m,〃)是直線(xiàn)/上的點(diǎn)，則2加

—九+3=.

【分析】點(diǎn)P中的橫縱坐標(biāo)是有關(guān)聯(lián)的，由此可以得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)解

析式.

【提示】令l=x，貝!J2。-3=2(?！?)—l=2x—1,???直線(xiàn)/為y=2x—1.*.n=2m—\.

2m一〃+3=4.

【點(diǎn)評(píng)】利用整體思想，得到縱坐標(biāo)關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的基本策略.

拓展與變式5無(wú)論機(jī)為何值，點(diǎn)P(l+m,1—〃?)都在某個(gè)固定圖象上，若點(diǎn)Q(a,3也在這

個(gè)圖象上.則小b滿(mǎn)足的關(guān)系式是.

【答案】b=2-a

拓展與變式6若無(wú)論。取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)尸(〃一1,2〃-6)都在直線(xiàn)/上，點(diǎn)。(W〃)是直線(xiàn)上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則m2+n2的最小值為.

【答案】-

5

【反思】坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的參數(shù)若互相關(guān)聯(lián)，則可以判斷出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是沿著某種路徑

運(yùn)動(dòng)的，再運(yùn)用整體思想判斷出運(yùn)動(dòng)路徑所符合的解析式.

專(zhuān)題突破

1.無(wú)論。取什么實(shí)數(shù)，點(diǎn)A(2a,4a+l)都在直線(xiàn)/上，則直線(xiàn)/的表達(dá)式是.

【答案】j=2x4-1

2.若直線(xiàn)y=ax+l與直線(xiàn)2的交點(diǎn)在x軸上，則a：b—.

【答案】」

2

3.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形0ABe中，4(10,0),C(0,4),。為OA的

中點(diǎn),P為BC邊上一點(diǎn).若△POO為等腰三角形，則所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(3,4),(8,4),(2.5,4),(2,4)

4.我們把平面內(nèi)與四邊形各邊端點(diǎn)構(gòu)成的三角形都是等腰三角形的點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的腰

點(diǎn)(如矩形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)是矩形的一個(gè)腰點(diǎn))，則正方形的腰點(diǎn)共有個(gè).

【答案】9

5.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

(1)操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△A8C中，AB=AC,分別以A8和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等

腰直角三角形，如圖①所示，其中。尸_L4B于點(diǎn)F,EG_LAC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn)，連

接"。和ME,則下列結(jié)論中正確的是(填序號(hào)).

?AF=AG^-AB；@MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；@MD1.ME.

2

(2)數(shù)學(xué)思考：在任意△A8C中，分別以A8和AC為斜邊，向△A8C的外側(cè)作等腰直角三角

形，如圖②所示，M是8c的中點(diǎn)，連接和ME,則和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)給出證明過(guò)程.

(3)類(lèi)比探究：在任意△ABC中，仍分別以A8和AC為斜邊，向AABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三

角形，如圖③所示，M是8c的中點(diǎn)，連接MD和ME.請(qǐng)判斷的形狀是(只

需說(shuō)明輔助線(xiàn)是如何添加的即可).

②③

【答案】1)①②③④提示:連接FM,GM即可.

(2)如圖，取A8,AC的中點(diǎn)尸，G,連接。凡MF,EG,MG.

：.AF=-AB,AG=-AC.

22

?.?△A8O和△AEC是等腰直角三角形，

：.DF±AB,DF=1AB,EGLAC,EG=-AC.

22

：.ZAFD=ZAGE=90°,DF=AF,GE=AG.

是BC的中點(diǎn)，：.MF//AC,MG//AB.

:.四邊形AFMG是平行四邊形

：.AG=MF,MG=AF,ZAFM=ZAGM

：.MF=GE,DF=MG,ZAFM+ZAFD=ZAGM+ZAGE.

:.NDFM=NMGE

:.ADFM^AMGE.：.DM=ME.

(3)如圖等腰直角三角形，輔助線(xiàn)作法:分別取48,AC的中點(diǎn)乩G,連接/M,FD,BG,

MG.

6.在菱形A8C。中，ZBAD=}20°.動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，向AP右側(cè)作NAPM=60。,

且直線(xiàn)PM與直線(xiàn)CD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)Q到直線(xiàn)BC的距離為QH.

(1)如圖所示，若動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，求證：CP=DQ-,

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，探求線(xiàn)段AC,CP,Q”的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

⑶若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)，菱形ABC。的周長(zhǎng)為8,AQ=娓,求Q”的長(zhǎng)

【答案】(1)如圖，在4c上截取PK=PC,連接AQ,

...△KPC是等邊三角形.

.?.NAKP=120°,NQPC+NK尸。=60°

V四邊形ABCD是菱形，

ZBCD=NBAD=120°.：,NAKP=NPCQ.

；N4PK+NKPQ=60°,:.NQPC=NAPK.

；.4APK2AQPC.：.AK=QC,AP=PQ.

...△APQ是等邊三角形，

VZP=60°,AD=CD.

.?.△AOC是等邊三角形，：.AD=AC.

：.ZPAC+ZCAQ=ZQAD+ZCAQ=6Q°,

:.ZPAC=ZQAD.：.△APCg/MQO.

：.CP=DQ.

(2)如圖所示，NQCH=60°,.,.設(shè)C"=x,則CQ=2x.

:NQHC=90°

:.QH=yJCQ2-CH2=s/3x

...C0=竽”.

:.AC=AK+KC=CQ+PC=^QH+CP.

?.?菱形的周長(zhǎng)是8,

：.AB=AC=BC=CD=AD=2.

V瓜>2,

，點(diǎn)尸在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上或者BC反向延長(zhǎng)線(xiàn)上.

①當(dāng)點(diǎn)尸在5c延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同（2）得享。H=AC+CP.作AT_LBC于點(diǎn)T,

.,.BT=TC=1.

：.AT=dAB2-BT?=G.

:.PT=JAP2-AT?=G.：.CP=PT~TC=V3-1.

A

:.QH==5(AC+CP)=3+x/3

2

②當(dāng)點(diǎn)尸在3c反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示，同⑵得，CP==^QH+AC,CP=PT+TC

=6+1,

專(zhuān)題24強(qiáng)化提高（2）

知識(shí)要點(diǎn)

1.一次函數(shù)中最值問(wèn)題的解題技巧，在于十〃中的％的正負(fù)性進(jìn)行研究，k〉0

時(shí)，則y隨x

的增大而增大；k<0時(shí)，則y隨x的增大而減小，所以解決最值問(wèn)題的關(guān)鍵在于對(duì)于自變

量的討論，即若人>0時(shí)，自變量x最小時(shí)，函數(shù)值），也最小，自變量x最大時(shí)，函數(shù)值y

也最大；反之同理.

2.解決面積問(wèn)題與一次函數(shù)綜合問(wèn)題的常用方法：在動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中，（1）將目標(biāo)圖

形割補(bǔ)成規(guī)則圖形；（2）將目標(biāo)圖形通過(guò)全等等手段轉(zhuǎn)化至已知圖形的位置；（3）如圖24

-1，三角形面積可以用&垂高X水平寬”計(jì)算：注意分段函數(shù)中的變量情況。

2

3.一次函數(shù)與平行四邊形的綜合要注分類(lèi)討論，如圖24—2一般來(lái)說(shuō)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是以已

知線(xiàn)段為邊或

對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行討論求點(diǎn)的坐標(biāo)則可以利用平行四邊形對(duì)邊相等且平移，通過(guò)點(diǎn)平移規(guī)律解決問(wèn)

題。

仙：粉垂高EF：水平貪A(a.6)-^D,(a+p-m.6+fl-n)

圖24-1圖24-2

典例精析

例1某市A,8兩個(gè)蔬菜基地得知四川C,O兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)分別急需蔬菜240f和260

的消息后，決定調(diào)運(yùn)蔬菜支援災(zāi)區(qū)。已知A蔬菜基地有蔬菜20033蔬菜基地有蔬菜300f,

現(xiàn)將這些蔬菜全部調(diào)往C、D兩個(gè)災(zāi)民安置點(diǎn)，從4地運(yùn)往C,D兩處的費(fèi)用分別為每噸

20元和25元，從B地運(yùn)往C,。兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元，設(shè)從B地運(yùn)往C

處的蔬菜為X%

CD息計(jì)

A(240-x)t(x-40)t200t

BJCt(300-x)t300t

總計(jì)240t260t500t

(1)填寫(xiě)表格，設(shè)A,B兩個(gè)蔬菜基地的總運(yùn)費(fèi)為w元，寫(xiě)出w與x之間的關(guān)系式，并求

總運(yùn)費(fèi)最小

的調(diào)運(yùn)方案；

(2)經(jīng)過(guò)搶修，從B處到C處的路況得到進(jìn)一步改善，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少〃？

元(0〈小

<15),其余線(xiàn)路的運(yùn)費(fèi)不變，試討論總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案.

【分析】根據(jù)運(yùn)輸?shù)姆绞綄⒈砀裱a(bǔ)全，注意橫行豎列的和都應(yīng)該等于總和，再計(jì)算運(yùn)費(fèi)

寫(xiě)出函數(shù)解析式，最后根據(jù)后值大小判斷函數(shù)的增減性.

【解】(1)w=20(240-x+25(x-40)+15x+18(300-x)=2x+9200

240-x>0口40-x>0____

o.MOWxEO.

300-x>0

?.Z=2>0,隨著x的增大而增大，，當(dāng)x最小時(shí)，w最小，即x=40時(shí)，w,?,?=9280

元。

2)由題意知w—(2—〃?.)x+9200.

當(dāng)0〈根<2時(shí)，2一相>0.二(1)中調(diào)運(yùn)方案總運(yùn)費(fèi)最??；

當(dāng)%=2時(shí)，在40WxW240的前提下調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)不變；

當(dāng)2Vm〈15時(shí)，x=240總運(yùn)費(fèi)最小，此時(shí)A運(yùn)往C點(diǎn)Of,A運(yùn)往。點(diǎn)200f,8運(yùn)往C點(diǎn)

240bB運(yùn)往。點(diǎn)60%

【點(diǎn)評(píng)】方案設(shè)計(jì)類(lèi)問(wèn)趣要先根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式，再由k值對(duì)增減性進(jìn)行

討論。

拓展與變式1某鄉(xiāng)組織20輛汽車(chē)裝運(yùn)A,B,C三個(gè)品種的蘋(píng)果42r到外地銷(xiāo)售，按

規(guī)定每輛車(chē)只裝同一品種蘋(píng)果，且必須裝滿(mǎn)，每一個(gè)品種蘋(píng)果不少于2車(chē)。

革果品牌ABC

每輛汽車(chē)送載量〃2.22.12

每咤蘋(píng)果獲利/百元685

(1)設(shè)x輛車(chē)裝運(yùn)A種蘋(píng)果，用)，輛車(chē)裝運(yùn)8種蘋(píng)果，根據(jù)上表提供的信息，求)，關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系

式，并求x的取值范圍；

(2)設(shè)此次外銷(xiāo)活動(dòng)的利潤(rùn)為w(百元)，求卬與x的函數(shù)關(guān)系式以及最大利潤(rùn)，并寫(xiě)出相

應(yīng)的車(chē)輛分

配方案

1.解：(1)由題意uj知2.2x+2.ly+2(20—x-y)=42,即y=20—2

種水果裝20-廠(20—2x)=x輛車(chē).

x>2,

:.2<x<9.

20—2x22,

(2)由題意可得:w=2,2X6x+2.1X8(20-2%)+5X2x=-10.4x+336.

;女二TO.4<0,，卬隨x的增大而減小.，當(dāng)x最小時(shí)，卬最大，即x=2時(shí)，w315.2(百

元)

拓展與變式2某校預(yù)計(jì)用1500元購(gòu)買(mǎi)甲商品x個(gè)，乙商品y個(gè)，不料甲商品每個(gè)漲價(jià)L5

^6,乙商

品每個(gè)漲價(jià)1元，盡管購(gòu)買(mǎi)甲商品的個(gè)數(shù)比預(yù)定數(shù)減少10個(gè)，總金額仍多用2元。若甲、

乙商品每個(gè)都只漲價(jià)1元，并且購(gòu)買(mǎi)甲商品的數(shù)量只比預(yù)定數(shù)少5個(gè)，那么甲、乙兩商品支

付的總金額是1563.5元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若預(yù)計(jì)購(gòu)買(mǎi)甲商品的個(gè)數(shù)的2倍與預(yù)計(jì)購(gòu)買(mǎi)乙商品的個(gè)數(shù)的和大于20,但小于210,

求x、y的值。

2.解：(1)設(shè)預(yù)計(jì)購(gòu)買(mǎi)甲、乙商品的單價(jià)分別為m元和〃元,則原計(jì)劃是mx+ny=1500①

由甲單價(jià)上漲L5元這種情況，得(m+L5)(x-10)+(〃+1)=1529②

再由甲商品單價(jià)上漲1元這種情況，得(血+1)仕-5)+(〃+1)產(chǎn)1563.5③

1.5x+y-10/77=44,

將①分別代入②③可得

R+y-/w=68.5.

消rn可得x+2y=186.；?y=-0.5x+93.

(2)Vx=-2y+186,2x+y=-3y+372.

2

A205<-3y+372<210,54<y<551.

Yy是正整數(shù)，y=55,x=76.

【反思】一次函數(shù)的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題常出現(xiàn)最值或者不等式,在解題過(guò)程中要注意對(duì)k的討論。

例2如圖24—3在矩形488中，點(diǎn)E是線(xiàn)段3c的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2c〃?/s的速度

從點(diǎn)A出發(fā)，沿△4ED的邊按照A-E-A的順序運(yùn)動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn)P從A出發(fā)經(jīng)鄧（x

17

>0）后，"8尸的面積是y,當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段EZ）上時(shí)，y=]x；當(dāng)點(diǎn)p在線(xiàn)段A￡>上時(shí)，

y=32—4x。請(qǐng)根據(jù)以上信息出這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式。

圖24-3圖24-4

【分析】根據(jù)分段函數(shù)中拐點(diǎn)的特征，拐點(diǎn)一般情況下是在包含拐點(diǎn)的前段或者后段

的函數(shù)上。

【解】；四邊形ABC。是矩形，.?.NB=/C=90°,AB=DC,AD=BC。〈E為BC

中點(diǎn)，

：.BE=EC.：./\ABE^^DCE.：.AE^DE.

io

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。時(shí)，S&ABP=S4ABD,由題意得一x=32—4x,Ax=5.

5

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)A時(shí)，S&ABP=O,由題意得32—WO,X=8O

：.AD=2X（8-5）=6,ABC=6,：.BE=3.

22

VAE+ED=2X5=10,AE=59：.AB=yl5-3=4O

17

如圖24—4,作BK_LAE于點(diǎn)K,則BK?AE=A8?BE,：.BK=—又AP=2JGJ當(dāng)點(diǎn)P

5O

17

從A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)。時(shí)產(chǎn)不工（0<x<5）.

12

關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)〈MOO

32-4x（5<x<8）

拓展與變式3如圖24—5,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OA8C的頂點(diǎn)A,C坐標(biāo)

分別為（3,0）

（0,5）.設(shè)點(diǎn)P沿O-A-B-C的方向運(yùn)到點(diǎn)C（但不與點(diǎn)0、C重合）.當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到

線(xiàn)段8c上時(shí)，

△OPC的面積y與點(diǎn)尸所行路程x之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)匕』x+巨（8?11）。

2—2

ffl24-5圖24-6

【點(diǎn)評(píng)】本題創(chuàng)新地將面積問(wèn)題中的分段函數(shù)的拐點(diǎn)作為解決問(wèn)題的突破口，需要理解

清楚拐點(diǎn)的意義。

拓展與變式4如圖24—6,點(diǎn)尸是等邊aABC邊上的一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的

速度為打點(diǎn)P

從點(diǎn)A開(kāi)始沿A8邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8再沿BC邊運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C為止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,/XACP的面

積為S,若邊長(zhǎng)

—?vr(O<t<—)

4v

為“，則S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是—s

昱%巴絲)

42vv

［反思］動(dòng)態(tài)問(wèn)題中的分投函數(shù)問(wèn)題的討論要注意自變量的取值情況對(duì)圖象以及函數(shù)解析式

的影響。

例3如圖24—7,四邊形ABCO為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在），軸上，/）點(diǎn)坐標(biāo)是

（0,0）.B點(diǎn)坐標(biāo)是（3.4）.矩形ABCZ）沿直線(xiàn)EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E,

尸分別在AD,A8上，且尸點(diǎn)的坐標(biāo)是（2,4）。

（1）寫(xiě)出G點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求出直線(xiàn)EF的解析式；

（3）點(diǎn)N在x軸上，直線(xiàn)EF上是否存在點(diǎn)M,使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出/點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

BB24-7

【分析】利用勾股定理求出E、尸點(diǎn)坐標(biāo)，利用FG為邊或者對(duì)角線(xiàn)進(jìn)行分類(lèi)討論，求出M

點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖24-8

BB24-9

【解】⑴G(3,4—6);

(2)如圖24-8所示，由題意得，作EKLBC于點(diǎn)K.設(shè)OE=y,則CK=y.

GK=4-G-y.；.EK=AB=3,EG=AE=4-y。'：Gf^+Ek^EG',

：.(4-V3-y)2+32=(4-y)2?：.y=4~2^,設(shè)EF的解析式為尸履+4-2君。

VF(2,4),二所的解析式為)=石》+4—26。

(3)提示：①當(dāng)FG為邊時(shí)，如圖24—9①

?.?尸(2,4)平移到G(3,4—6).則也平移到M縱坐標(biāo)也相應(yīng)地減去6。

...點(diǎn)跖的縱坐標(biāo)是石，.?.后x+4-2出=日：.M\(3-—,石)

3

如圖24—9②，可得M(3—43,—G)

3

②當(dāng)尸G為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖24—9③.Mi(1+延，8-V3).

3

【點(diǎn)評(píng)】坐標(biāo)系中的平行四邊形問(wèn)題是一種熱門(mén)題型，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)與坐標(biāo)系內(nèi)

的點(diǎn)平移的規(guī)律是很便捷的解題方法。

拓展與變式5如圖24—10,在平面直角坐標(biāo)系中，zMC。中，ZACO=90°?/\AOB

中.AO=BO

NAOB=90°,作BOLC。于。，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,1),M是AB的中點(diǎn)，連接CM,P

是射線(xiàn)CM上

的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在P點(diǎn)，使四邊形以P、0、B、N(N為平面上一點(diǎn))

為頂點(diǎn)構(gòu)成

矩形？若存在，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為

拓展與變式6如圖24—11,在平面直角坐標(biāo)系》。），中,矩形48。。的/18邊在工軸上，

AB=3,

40=2,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)y=x-2與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E、F,在直線(xiàn)E尸上和平面直角坐

標(biāo)系內(nèi)分別

確定點(diǎn)M,N,使得以0、尸、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則M的坐標(biāo)

是。

(2,0),(0,>/2-2),(-&,-\/2_2),(_1,1)

【反思】坐標(biāo)中的平行四邊形問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于正確的分類(lèi)與應(yīng)用平規(guī)律對(duì)點(diǎn)進(jìn)行

探究。

專(zhuān)題突破

1.公式L=〃+KP表示當(dāng)重力為P時(shí)的物體作用在彈簧上時(shí)彈簧的長(zhǎng)度，及代表彈簧的初

始長(zhǎng)度，用厘米（cm）表示；K表示單位重力物體作用在彈簧上時(shí)彈簧拉伸的長(zhǎng)度，用厘

米（cm）表示下面給出的四個(gè)公式中，表明這是一個(gè)短而硬的彈簧的是（A）

A.L=10+0.5PB.L=10+5PC.L=80+0.5PD.L=80+5P

圖24-12

2.如圖24-12,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,P為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)路線(xiàn)是

A-O-C-BfA,設(shè)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)為x,以點(diǎn)A,P,。為頂點(diǎn)的三角形的面積是y,則

下列圖21—13中能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的是（B）

圖24-13

提示：0WxW4時(shí)，P在AO上運(yùn)動(dòng)，，此時(shí)，ZVIP。面積為0；

3.若直線(xiàn)y=2x+k與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是9,則k的值為±6。

4.如圖24—14①，在矩形ABC。中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC,CD,D4運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停

止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,AABP的面積為以如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖24—14②所

示，那么矩形ABC。的面積是20。

：O：

T-49~x

①②

圖24?14

5.自從湖南與歐洲的“湘歐快線(xiàn)”開(kāi)通后，湖南與歐洲各國(guó)經(jīng)貿(mào)往來(lái)日益頻繁。某歐洲客

商準(zhǔn)備在湖南采購(gòu)一批特色商品，經(jīng)調(diào)查，用16000元采購(gòu)4型商品的件數(shù)是用7500元，

采購(gòu)B型商品的件數(shù)的2倍，一件A型商品的進(jìn)價(jià)比一件B型商品的進(jìn)價(jià)多10元。

（1）一件A,B型商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

（2）若該歐洲客商購(gòu)進(jìn)A,8型商品共250件進(jìn)行試銷(xiāo)，其中A型商品的件數(shù)不大于8型

商品的件數(shù)且不小于80件.已知A型商品的售價(jià)為240元/件，8型商品的售價(jià)為220元

/件，且全部售出。設(shè)購(gòu)進(jìn)A型商品，〃件，求該客商銷(xiāo)售這批商品的利潤(rùn)v與，"之間