2023年云南省高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年云南省高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

一.選擇題(共12小題，滿分60分，每小題5分)

1.設(shè)集合A=[l,2],B={xSZ|x2-2x-3<0},則AA8=()

A.[L2]B.(-1,3)C.{1}D.{112}

2.若復(fù)數(shù)滿足”z=-\-i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不

斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝

術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭

數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)

實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小

三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形.

▲▲

▲▲▲▲▲▲

▲▲

▲▲▲▲▲▲

▲▲▲▲

▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲

圖④圖④

若在圖④中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()

A.9B.型C.@D.

28286464

4.已知向量獲g,二國(guó)’Ui且兩向量夾120。，則|Z-E|=()

A.1B.遍C.V5D.V7

22

5.已知橢圓巳三=i(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為私且|0A|二日|0B|(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為()

A.B.見(jiàn)C.返D.返

3323

6.6知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),式—)=?-3),且xE(_3,0)時(shí)，/

(x)=log2(-3x+l),則/(2020)=()

A.4B.Iog27C.2D.-2

第1頁(yè)共23頁(yè)

7.設(shè)曲線f（x）J+c°sx在x?處的切線與直線產(chǎn)上+1平行，則實(shí)數(shù)〃等于（）

sinx3

A.-1B.2C.-2D.2

3

8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成集合A,從集合A中任取一個(gè)元素a,則

函數(shù)在（0,+8）是增函數(shù)的概率為（）

C.2D.3

34

9.在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-AiBiCi中，己知M是棱的中點(diǎn)，N是棱AC的中

點(diǎn)，則異面直線4M與BN所成角的正切值為（）

A.73B.1C.近D.返

32

10.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

11.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知力=被，c=4,COSB=3,則

4

△4BC的面積等于)

第2頁(yè)共23頁(yè)

A.3J7B.3仃C.9D.9

22

12.若關(guān)于x的不等式1n2x+lwax+b成立,則上的最小值是（）

xa

A.B.-AC.AD.-L

2eee2e

二.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

x》0,

13.已知x,y滿足《x+y》4,若x+2y的最小值為

x-2y《l.

14.已知OVyVxVii,且tanjitany=2,sinxsiny=~,則x-產(chǎn)

15.過(guò)拋物線7=2py（p>0）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于A,B兩點(diǎn)，又過(guò)4

8兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為￡>,C,若梯形A8CQ的面積為6&，則p=

16.如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，且必=PB=PC=

PD,已知四棱錐的表面積是12,則它的體積為

三.解答題（共5小題，滿分60分，每小題12分）

pn+i

17.（12分）數(shù)列｛“〃｝中，ai=2,anan+i=2（p為常數(shù)）.

（I）若51,la2,44成等差數(shù)列，求0的值；

（II）是否存在p,使得｛曲｝為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-A8c。中，底面A8C。為平行四邊形，AB=2,AO=1,

ND4B=60°,PD=BD,且尸。，平面4BCD.

（I）證明：平面P8C_L平面P8O；

（II）若Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐D-PBQ的體積.

第3頁(yè)共23頁(yè)

p

19.（12分）某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A,3兩個(gè)企業(yè)各100名員工，得到了4企業(yè)員工月均

收入的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工月均收入的統(tǒng)計(jì)圖如圖：

A企業(yè)：

工資人數(shù)

[2000,3000)5

[3000,4000)10

[4000,5000)20

[5000,6000)42

[6000,7000)18

[7000,8000)3

[8000,9000)1

[9000,10000]1

（I）若將頻率視為概率，現(xiàn)從B企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工月均收入不低于

5000元的概率；

（II）（j）若從A企業(yè)的月均收入在［2000,5000）的員工中，按分層抽樣的方式抽取7

人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，則2人月均收入都不在［3000,4000）的概率是多少？

（//）若你是一名即將就業(yè)的大學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)知識(shí)，你會(huì)

選擇去哪個(gè)企業(yè)就業(yè)，并說(shuō)明理由.

第4頁(yè)共23頁(yè)

B企業(yè):

20.-1),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的

2倍.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,1)且與橢圓C相交于A、8兩點(diǎn)(異于點(diǎn)M),記直線MA

的斜率為％，直線MB的斜率為上，證明：為定值.

1

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=lnx-mx,g(x)-.l-mx2+x,F(X)—f(x)+g(x).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值：

(2)若關(guān)于x的不等式尸(x)Wnzx-1恒成立，求整數(shù)，”的最小值.

四.解答題(共1小題，滿分1()分，每小題10分)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Ci：/-y2=2,曲線C2的參數(shù)方程為［X=2+2COS8

ly=2sin6

(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程；

(II)在極坐標(biāo)系中，射線8與曲線Ci,C2分別交于4,B兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)O),

6

定點(diǎn)M(3,0),求△M48的面積.

五.解答題(共1小題)

23.已知函數(shù)/(無(wú))=\2x+11-|JI-/H|(/MGR).

(1)當(dāng)加=1時(shí)，解不等式/(x)22；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)2|x-3|的解集包含［3,4］,求小的取值范圍.

第5頁(yè)共23頁(yè)

2023年云南省高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題，滿分60分，每小題5分）

1.設(shè)集合A=[l,2J,B={xEZ\x2-2x-3<0},則4cB=（）

A.[1,2]B.（-1,3）C.{1}D.{112}

【分析】先求出集合A,B,由此能求出4nB.

【解答】解：?.?集合A=[l,2],

B=UGZ|?-2x-3<0}={xGZ|-l<x<3}={0,1,2},

.*.AnB={l,2}.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，

考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

2.若復(fù)數(shù)滿足i-z=-1-則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【解答】解：由i，z=-1-i,得z2,z=（-I-z）i=-i-i2=l-i,

則-z=1-i,z=-1+i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,1）為第二象限，

或法2：由i'z=-1-i得z=-lY=」[‘=-l+z>對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,1）為第二

ii

象限，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)解決本題的關(guān)鍵.

3.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不

斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝

術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭

數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)

實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小

三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形.

第6頁(yè)共23頁(yè)

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圖①圖②圖③圖④

若在圖④中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()

A.AB.型C.亞D.亞

28286464

【分析】設(shè)圖①陰影面積為1,求出圖④的陰影面積，代入幾何概型的概率公式即可.

【解答】解：依題意，設(shè)圖①陰影面積為1,設(shè)圖〃的陰影面積為S”則Si=l,

則圖②陰影為圖①面積的3,52=3,

44

圖③陰影為圖②面積的3,S3=3XW=-T，

44416

圖④陰影為圖③面積的3,54=3x3x3=2工，

444464

27

在圖④中隨機(jī)選取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為尸=出生=2工，

164

故選：c

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了歸納推理及幾何概型中的面積型題型，考查推理能力和計(jì)算能力,

屬簡(jiǎn)單題.

4.己知向量7嗚，1b|=1＞且兩向量夾120。，則|H|=()

A.1B.V3C.V5D.V?

【分析】根據(jù)向量2的坐標(biāo)可求出|a|=1，并且|b|=1，兩向量夾角為120°,從而可

求出(ZA產(chǎn)=3,進(jìn)而得出|；-b|=V3-

【解答】解：|Z|=1，R1=1，且Z,E夾角為120°；

———2

,,(a-b)-a-2a?b+b=1+1+1=3;

Ala-b1=^3-

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】考查根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算.

第7頁(yè)共23頁(yè)

22

5.已知橢圓—，L=i(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為'且|OAk?|OB|(。為

“4bz

坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率為()

A.^3.B.醫(yī)■C.返D.返

3323

【分析】由題意可得。=折，再由離心率公式可得所求值；

【解答】解：(I)|。4|=&|08|,即為〃=J⑥，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題.

6.已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，f(A+x)=f且x€(_3,o)時(shí)，/

(x)=log2(-3X+1),則f(2020)=()

A.4B.Iog27C.2D.-2

【分析】根據(jù)題意，分析可得f(x+3)=fG),函數(shù)/(x)是周期為3的周期函數(shù)，進(jìn)

而可得/(2020)=/(1+2019)=/(1),結(jié)合函數(shù)的奇偶性與解析式分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，/(x)滿足f號(hào)+乂)=￡(x-3)，即/(x+3)—f(x),函數(shù)/(x)

是周期為3的周期函數(shù)，

則/(2020)(1+2019)=/(1),

又由f(x)為奇函數(shù)，則/(1)=-/(-1)=-log2(3+1)=-2,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的解析式以及函數(shù)值的

計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.設(shè)曲線￡6)=坐典在X上處的切線與直線、=奴+1平行，則實(shí)數(shù)。等于()

sinx3

A.-1B.2C.-2D.2

3

【分析】利用直線平行斜率相等求出切線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值是曲線的切

線斜率求出切線斜率，列出方程即得.

【解答】解：?.?切線與直線y=?x+l平行，斜率為“，

第8頁(yè)共23頁(yè)

2

T7-sinx-（1+cosx）cosx_-1-cosx

”一—一—~~，

sinxsmx

所以切線斜率左=/（_L）=-2,所以y="x+l的斜率為-2,

3

即a=-2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，屬于基礎(chǔ)

題.

8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，設(shè)輸出的數(shù)據(jù)構(gòu)成集合A,從集合A中任取一個(gè)元素a,則

函數(shù)y=K在（0,+8）是增函數(shù)的概率為（）

【分析】先根據(jù)流程圖進(jìn)行逐一進(jìn)行運(yùn)行，求出集合4,再求出基本事件的總數(shù)，然后

討論滿足“函數(shù)〉=產(chǎn)，x6[0,+8）是增函數(shù)”時(shí)包含基本事件，最后根據(jù)古典概型公

式求出該概率即可.

【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得A={8,3,01,

其中基本事件的總數(shù)為3,

設(shè)集合中滿足“函數(shù)y=/，xe[0,+8）是增函數(shù)”為事件E,

當(dāng)函數(shù)），=尸，x6[0,+°°）是增函數(shù)時(shí)，a>0

事件E包含基本事件為2,

第9頁(yè)共23頁(yè)

則P(￡)=2.

3

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，以及與集合和古典概型相結(jié)合等問(wèn)題，算法與

其他知識(shí)結(jié)合在近兩年的新課標(biāo)地區(qū)高考都考查到了，這啟示我們要給予高度重視，屬

于基礎(chǔ)題.

9.在各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-AiBiCi中，已知M是棱BBi的中點(diǎn)，N是棱AC的中

點(diǎn)，則異面直線4M與BN所成角的正切值為()

A.?B.1C.后D.返

32

【分析】以4為原點(diǎn)，AC為)，軸，441為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求

出異面直線4例與BN所成角的正切值.

【解答】解：高各棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱ABC-4B1C1中，棱長(zhǎng)為2,

以A為原點(diǎn)，AC為y軸，A41為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,2),M(如,1,1),

B(?,1,0),N(0,1,0),

不=(V3>1，-1)，麗=(-V3.0,0),

設(shè)異面直線4M與BN所成角為。，

AMBN代

則cose=」I=T±-I「3?=純

|A』|?|BN|V5W35

tan0=2ZK.

3_

...異面直線4M與BN所成角的正切值為逅.

3

故選：C.

第10頁(yè)共23頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的正切值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

10.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被兩個(gè)平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

【分析】由三視圖還原原幾何體，該幾何體為把正方體AG截去兩個(gè)四面體A4i小。與

CC\B\D\,其外接球即為正方體AC的外接球，求出正方體對(duì)角線長(zhǎng)，得到外接球的半

徑，代入球的表面積公式求解.

【解答】解：該幾何體是把正方體ACi截去兩個(gè)四面體AAiBi。與CCiBiDi,

其外接球即為正方體AG的外接球，

由AC1=^22+22+22=2V3,

.??外接球的半徑R=g

該幾何體外接球的表面積是4冗x（、回）2=12兀.

故選：D.

第11頁(yè)共23頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

11.ZVIBC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知匕=夜，c=4,cos8=3,則

4

△ABC的面積等于()

A.3J7B.3行C.9D.9

22

【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB的值，根據(jù)余弦定理可求a的值,

進(jìn)而利用三角形面積公式即可計(jì)算得解.

【解答】解：,；c=4,cosB=—,

4

sinB=、^~八門O2R=^^,

V1-COSD4

由余弦定理序=/+。2-2accosB,可得：7=。2+]6-2X2X4X"I"，

整理可得：a1-6?+9=0,解得：a=3,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理，三角形面積公式在解三

角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.若關(guān)于x的不等式ln2x+l/x+b成立,則電的最小值是()

xa

A.B.」C.AD.-L

2eee2e

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)Jn2x+l,利用函數(shù)圖象的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合確定電最小值即可.

Xa

—x-ln2x-l

令f(x)用曲旦-ln2x

【解答】解:(x)=-——2：-----------1

Xx

x€(0,-1),/(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增,

第12頁(yè)共23頁(yè)

xCd，400),/(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，且x>0時(shí)，/(x)>0,

很明顯。<0時(shí)不合題意，當(dāng)。>0時(shí)，令ax+6=0可得：—=_x，

a

故衛(wèi)取到最小值時(shí)，直線在X軸的截距最大,

a

令f(x)=0可得：x」，-x=->

2e2e

據(jù)此可得：2的最小值是」.

a2e

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的

數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.

填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

'x>0,

13.已知x,y滿足<x+y>4,若x+2v的最小值為5.

x-2y<1.

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x+2)，，利用數(shù)形結(jié)合即可的得到結(jié)論.

【解答】解：畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，

易求得A(3,1),B(0,4),

第13頁(yè)共23頁(yè)

z=x+2yf則y=-ir+Az,

當(dāng)直線y=--Ir+Az過(guò)點(diǎn)A(3,1)時(shí)z取到最小值,

-22

所以z=x+2y的最小值是3+2X1=5,

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題

的關(guān)鍵.

=

14.已知0＜了＜不＜71,且tanxtany=2,sinxsiny-^~,則x-y=—

3‘一3一

【分析】由題意可得cosxcosy=L進(jìn)而可得cos(x-y)=cosxcosy+sirusiny=—,由余

62

弦函數(shù)可知x-y的值.

【解答】解：由題意可得tanxtany=sinxsiny=2,

cosxcosy

解得cosxcosy=』，故cos(x-y)=cosxcos^+siarsiny=—

66

故x-y=2hi±keZ9

3

又OVyVxVir,所以O(shè)Vx-y＜n.

所以x-y=3~

3

故答案為：2L

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及兩角和與差的余弦函數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

15.過(guò)拋物線/=2py(p>0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于4,B兩點(diǎn),又過(guò)A,

8兩點(diǎn)作入軸的垂線，垂足分別為。，C,若梯形A8CD的面積為6&，則p=_，>

【分析】先根據(jù)拋物線方程得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)和過(guò)焦點(diǎn)斜率為1的直線方程，設(shè)出A,B

第14頁(yè)共23頁(yè)

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)韋達(dá)定理表示出xi+x2和川也，進(jìn)而

用A,B坐標(biāo)表示出梯形的面積，建立面積等式求得p.

【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,R),則過(guò)焦點(diǎn)斜率為1的直線方程為y=x+R,

22

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2)(x2>xi),由題意可知yi>0,y2>0.

y=x+—

由,2,消去y得7-2px-p2—0,

x2=2py

2

由韋達(dá)定理得，Xl+X2=2pfX\X2=-p

???梯形A3C7)的面積為：S=A(yi+y2)(X2-xi)=—(xi+x2+p)(X2-Jti)

22

=?4/(Xi+X2)2-4X1X2=3揚(yáng)2=6?,

又p>0,，p=&.

故答案為

y

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線的方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考

生的運(yùn)算能力，屬中檔題.

16.如圖，在四棱錐P-4BCD中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，且必=PB=PC=

PD,已知四棱錐的表面積是12,則它的體積為2返.

一3-

【分析】由已知求得正四棱錐的斜高，進(jìn)一步求得高，代入棱錐體積公式求解.

【解答】解：設(shè)正四棱錐的斜高為〃’，貝iJ2X2+4X^X2h，=12,解得》=2,

第15頁(yè)共23頁(yè)

則正四棱錐的高尸0=血肛工=次.

.?.正四棱錐的體積V=1X4X?上反?

33

故答案為：±ZI.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多面體表面積與體積的求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

三.解答題（共5小題，滿分60分，每小題12分）

n+i

17.（12分）數(shù)列｛a"｝中，ai=2,anan+l=2P（p為常數(shù)）.

（I）若-m,la2,成等差數(shù)列，求p的值；

（II）是否存在p,使得｛〃“｝為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

【分析】（I）由已知求得。2,。4,再由-ai,la2,“4成等差數(shù)列列式求夕的值；

（II）假設(shè)存在p，使得｛“”｝為等比數(shù)列，可得a22=2〃3,求解P值，驗(yàn)證得答案?

【解答】解：（I）由m=2,〃,@計(jì)1=2。"+1,

p

得2a2=291，a2=2>貝2「a3=22仃1，33=2^-

p+13p+1）=2?P

2a4=2a4,

由-m,,04成等差數(shù)列，得42=44-ai,

22

即2。=22。-2,解得：p=l；

（H）假設(shè)存在p,使得｛z｝為等比數(shù)列，

則a2=2的3,即22P=2?2.+1=20+2,則2p=p+2,即p=2.

n+1

此時(shí)anan+i=2P=^,

2n+3,

an+lan+2=-29

2-f-a222

=22=4,^~=~2~=<^'

第16頁(yè)共23頁(yè)

...存在實(shí)數(shù)p=2,使得｛念｝為等比數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8C。為平行四邊形，AB=2,AD=\,

/￡MB=60°,PD=BD,且PO_L平面ABCD

（I）證明：平面PBC_L平面PBD；

（II）若Q為PC的中點(diǎn)，求三棱錐D-PBQ的體積.

【分析】（I）由余弦定理得BD2=A82+AC>2_2A8?AD?COSA=3,從而AO_LB。，再由

AD//BC,得BCLBD,由線面垂直得PO_L8C,從而3C_L平面PBD,由此能證明平面

P8CJ_平面PBD.

（H）三棱錐力-P8Q的體積：以二&二Vn?由此能求出三棱錐力-

VD-PBQ2"D-PBC2“P-BCD

P8Q的體積.

【解答】證明：（I）在中，由余弦定理得臺(tái)/^二人爐+4力2-2AB?A￡>?COSA=3

?：AD2+BD2=AB2,:.ADLBD,

\'AD//BC,：.BC1BD.

又；平面ABCD,BCu平面ABCD：.PDLBC.

?：PDCBD=D,，BC_L平面PBO.

：BCu平面PBC,二平面PBC_L平面PBD

解：（II）?..。為PC的中點(diǎn)，.?.三棱錐。-PB。的體積：

丐-PBQ革丐-PBC’

%-PBQ卷%-PBC=4VP-BCD?M卷

二三棱錐D-PBQ的體積VMe

VD-PBQ4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、

第17頁(yè)共23頁(yè)

面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.（12分）某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了A,8兩個(gè)企業(yè)各100名員工，得到了4企業(yè)員工月均

收入的頻數(shù)分布表以及B企業(yè)員工月均收入的統(tǒng)計(jì)圖如圖：

A企業(yè)：

工資人數(shù)

[2000,3000)5

13000,4000)10

[4000,5000)20

[5000,6000)42

16000,7000)18

[7000,8000)3

[8000,9000)1

[9000,10000]1

（I）若將頻率視為概率，現(xiàn)從8企業(yè)中隨機(jī)抽取一名員工，求該員工月均收入不低于

5000元的概率；

（II）（/）若從A企業(yè)的月均收入在［2000,5000）的員工中，按分層抽樣的方式抽取7

人，而后在此7人中隨機(jī)抽取2人，則2人月均收入都不在［3000,4000）的概率是多少？

（?）若你是一名即將就業(yè)的大學(xué)生，根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，并結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)知識(shí)，你會(huì)

選擇去哪個(gè)企業(yè)就業(yè)，并說(shuō)明理由.

B企業(yè)：

【分析】（1）由餅狀圖知工資超過(guò)5000的有68人，能求出該員工月均收入不低于5000

元的概率.

（2）①A企業(yè)［2000,5000）中三個(gè)不同層次人數(shù)比為1：2：4,設(shè)［3000,4000）中兩

第18頁(yè)共23頁(yè)

人為A,B,其余5人為a,h,c,d,e,利用列舉法能求出2人月均收入都不在［3000,

4000)的概率.

@A企業(yè)的員工平均收入為5260B企業(yè)的員工平均收入為5270,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：(1)由餅狀圖知工資超過(guò)5000的有68人，

故該員工月均收入不低于5000元的概率為0.68.(4分)

(2)①A企業(yè)［2000,5000)中三個(gè)不同層次人數(shù)比為1：2：4,

設(shè)［3000,4000)中兩人為A,B,其余5人為a,b,c,d,e,取出的兩人共有如下21

種情況：

(A,B),(A,a),(A,h),(A,c),(A,d),(A,e),(B,a),(B,h),(B,c,),(B,

d),

(B,e),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),

(d,e),

符合條件的共有10種情況，故所求事件概率為也.(9分)

21

②A企業(yè)的員工平均收入為：

擊(2500X5+3500X10+4500X20+5500X42+6500X18+7500X3+8500X1+9500X

=5260

B企業(yè)的員工平均收入為：

擊(2500X2+3500x7+4500X23+5500X50+6500X16+7500X2)=52?

參考答案1：選企業(yè)B,由于B企業(yè)員工的平均收入高.

參考答案2：選企業(yè)A,A企業(yè)員工的平均收入只比B企業(yè)低10元，但是A企業(yè)有高收

入的團(tuán)體，說(shuō)明發(fā)展空間較大，獲得8000元以上的高收入是有可能的.

參考答案3：選企業(yè)8,由于B企業(yè)員工平均收入不僅高，且低收入人數(shù)少.(12分)

(如有其它情況，只要理由充分，也可給分)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)及概率相關(guān)知識(shí)

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

22

20.(12分)已知橢圓C：/汽=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,-1),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的

2倍.

(1)求橢圓C的方程；

第19頁(yè)共23頁(yè)

(2)設(shè)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,1)且與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)M),記直線MA

的斜率為公，直線M8的斜率為上，證明：&1+Q為定值.

【分析】(1)根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(0,-1),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，可得b=l,4=2,得

出橢圓方程；

(2)設(shè)直線AB斜率為聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算ki+Q化簡(jiǎn).

22

【解答】解：：(1)橢圓C：44=l(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)“(0，-1)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短

軸長(zhǎng)的2倍，

??h~—1,〃=2,

(2)證明：若直線A3的斜率不存在，則直線/的方程為x=2,

此時(shí)直線與橢圓相切，不符合題意.

設(shè)直線AB的方程為y-1=k(x-2),ERy=kx-2&+1,

y=kx—2k+1

聯(lián)立/c，得(1+4必)/-8k(2k-1)x+16必-16%=0.

22

(x+4y=4

2

設(shè)A(xi,yi),B(X2,”)，則xi+x2=§k&kxu2=建卜

l+4k2l+4k2

K,I>/VZ9

X1x2

+

.Yj+1y2l>2(kx「2k+2)+x](kx2-2k+2)

??k、+ki—+---------------------------------

X1x2xlx2

_9,_(2k-2)(X1+x2)(2k-2)8k(2k-l)1

X1x216k2-16k

所以上+心為定值，且定值為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

2

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx-mx',g(x)=—mx2+x,z??eR,F(x)=f(x)+g(x).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若關(guān)于x的不等式F(x)Wmx-l恒成立，求整數(shù)〃?的最小值.

【分析】(1)求導(dǎo)后，根據(jù)m取值的情況分類討論；

第20頁(yè)共23頁(yè)

(2)利用分離參數(shù)法，利用函數(shù)的最大值進(jìn)行求解.

2

【解答】解：(1)定義域?yàn)?0,+8),f(X)=--2fflx=l-2mx,

XX

①當(dāng)機(jī)W0時(shí)/(x)>0恒成立，在(0,+8)上是增函數(shù)，無(wú)極值，

②當(dāng)，〃>0時(shí)令/(x)>0,：.0<x<-^,

V2m

令r(%)<o,

V2m

所以函數(shù)/(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(工，+8)為減函數(shù)，

V2mV2m

所以當(dāng)時(shí)，有極大值，極大值為-上(加2機(jī)+1),無(wú)極小值，

為2

(2)：由F(x)Wm-1恒成立知上22(lnx+x+l)恒成立,

2

X+2X

令h(x)=2(lnx+x+l),

X2+2X

則h'(x)=-2(x+l)(21nx+x),

(X2+2X)2

令<p(x)=2lnx+x,因?yàn)?lt;p(A)—A-/n4<0><p(1)=l>0,則<p(x)為增函數(shù).

22

故存在xo€(A,1),使(p(xo)=0,即2歷xo+xo=O,

2

當(dāng)OVxVxo時(shí)，hf(x)>0,h(x)為增函數(shù)，當(dāng)xo<x時(shí)，hr(x)<0,h(x)為

減函數(shù).

+

ln(xnxn+l)1

所以〃(X)max=h(X0)=------------,

x0+2x°x0

而xoe(1,1),所以(1,2),所以整數(shù)，〃的最小值為2.

2x0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式問(wèn)題，屬于高檔題目，

有一定難度.

四.解答題(共1小題，滿分1()分，每小題10分)

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線Ci：/-y2=2,曲線C2的參數(shù)方程為fx=2+2cos8