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微分方程微分方程及其應(yīng)用微分方程復(fù)習(xí)一階方程類型及解法類型方程形式解法分離變量型分離變量法齊次方程變換：*一階線性常數(shù)變易法公式法貝努利方程變換：*全微分方程湊微分法微積分法線積分法例1求下列分離變量型方程：例2求下列齊次型方程：一階線性方程計(jì)算公式例3求下列一階線性方程的通解例7.試將貝努利方程化為一階線性方程，并求方程的通解例8.驗(yàn)證下列方程是否為全微分方程，并求其通解：二階方程類型及解法1。可降階的兩種類型類型1.不顯含y型，類型2.不顯含x型，解法：解法2.二階線性齊次方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)：性質(zhì)：（疊加原理）：二階線性齊次方程任意解的線性組合仍是解，即如果：是方程也是其解的解，則的任意兩個(gè)線性無關(guān)的解，則就是其通解解的結(jié)構(gòu)：如果是方程3..二階線性非齊次方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)：性質(zhì)1：：二階線性非齊次方程任意兩個(gè)解的差是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解性質(zhì)2：：二階線性非齊次方程的解與其對(duì)應(yīng)齊次方程的解的和仍是非齊次方程的解解的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)Y是二階齊次線性方程的通解，而是二階非齊次線性方程任一特解，則便是非齊次方程的通解二階線性非齊次方程解的疊加原理：設(shè)是方程的解是方程的解，則便是方程的解注：顯然疊加原理可推廣到任意有限個(gè)的情況二階線性常系數(shù)齊次方程的解法：——特征方程法解法步驟：（1）由原方程寫出相應(yīng)的特征方程（2）求出特征根（3）由特征根寫出原方程的通解特征根與方程通解對(duì)照表：特征根的情況方程的通解兩相異實(shí)根：兩相同實(shí)根：一對(duì)共軛復(fù)根例求下列線性常系數(shù)齊次方程的通解二階常系數(shù)線性非齊次方程特解求法：類型1其特解形式為是特征方程的單根時(shí)k取1是特征方程的二重根時(shí)k取2不是特征方程的根時(shí)k取0例求下列方程特解的形式類型2或其特解形式為不是特征方程的根時(shí)

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